数学---贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高一(上)第三次月考试卷(解析版)

贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高一（上）
第三次月考数学试卷
一．选择题
1．（5分）sin600°的值是（）
A．B．C．D．
2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）
A．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z D．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
3．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x 4．（5分）下列不等式中，正确的是（）
A．tan＜tan B．sin＞cos（﹣）
C．sin（π﹣1）＜sin1°D．cos＜cos（﹣）
5．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称
6．（5分）设集合A={a，b}，B={0，1}，则从A到B的映射共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，则（）A．a≥3B．a＞0 C．a≤3D．a＜3
8．（5分）函数f（x）=ln x+3x﹣10的零点所在的大致范围是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
9．（5分）函数的递减区间为（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
10．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
11．（5分）若x∈（﹣∞，﹣1]时，不等式（m2﹣m）•4x﹣2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣4，3）C．（﹣1，2）D．（﹣3，4）
12．（5分）已知函数，且函数y=f（x）﹣x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）
二．填空题
13．（5分）计算=．
14．（5分）已知sin，α∈（0，π），则tanα=．
15．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．16．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x，当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=．
三．解答题
17．（10分）（1）计算lg25+lg2﹣lg﹣log29•log32
（2）已知，求tanα的值．
18．（12分）设函数f（x）=ln（2x﹣m）的定义域为集合A，函数g（x）=﹣的定义域为集合B．
（Ⅰ）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=，且＜α＜，求cosα﹣sinα的值．
20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，且e为自然对数的底数）．
（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
21．（12分）探究函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如表：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）在区间上递减；
函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）在区间上递增．
当x=时，y最小=．
（2）证明：函数f（x）=x+（x＞0）在区间（0，2）递减．
22．（12分）函数f（x）=a ln（x2+1）+bx，g（x）=bx2+2ax+b，（a＞0，b＞0）．已知方程g（x）=0有两个不同的非零实根x1，x2．
（1）求证：x1+x2＜﹣2；
（2）若实数λ满足等式f（x1）+f（x2）+3a﹣λb=0，求λ的取值范围．
【参考答案】
一．选择题
1．D
【解析】sin600°=sin（2×360°﹣120°）
=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）
=﹣sin60°=﹣．
故选D.
2．C
【解析】函数f（x）=有意义，
可得1﹣（log2cos x）2＞0，
即有（log2cos x）2＜1，
即﹣1＜log2cos x＜1，
可得＜cos x＜2，
解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，
则定义域为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．
故选C．
3．B
【解析】A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），
故A错；
B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C错；D．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错．
故选B．
4．D
【解析】A：＞0，==﹣tan＜0
则，故A错误，
∵=，而y=sin x在（0，）上单调递增，且，
∴sin即，故B错误，
C：由于y=sin x在（0，）上单调递增，且，则sin（π﹣1）=sin1＞sin1°，故C错误，
D：，
∴，故D正确，
故选D.
5．C
【解析】∵，
∴﹣，=，可得f（﹣x）=﹣f（x），
又∵函数定义域为{x|x≠0}，
∴函数f（x）在其定义域是奇函数，
根据奇函数图象的特征，可得函数f（x）图象关于原点对称，
故选C.
6．C
【解析】根据映射的定义可知，对应集合A中的任何一个元素必要在B中，有唯一的元素对应．
则a可以和0对应，也可以和1对应．同理b可以和0对应，也可以和1对应．
所以a有两个结果，b也有两个结果，所以共有2×2=4种不同的对应．
即f：a→0，b→0，f：a→1，b→1，f：a→0，b→1，f：a→1，b→0．
故选C．
7．A
【解析】函数f（x）=x2﹣2ax+6的开口向上，对称轴为x=a，
函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，
∴a≥3．
故选：A．
8．C
【解析】函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数至多有一个零点．
又∵f（2）=ln2+6﹣10=ln2﹣4＜0，f3）=ln3+9﹣10=ln3﹣1＞0，
∴f（2）•f（e）＜0，
故在（2，e）上函数存在唯一的零点，
∴函数f（x）=ln x+3x﹣10的零点所在的大致范围是（2，3）．
故选：C．
9．D
【解析】设t=x2+2x﹣3，则函数等价函数y=，
∵y=是增函数，
∴根据复合函数单调性的性质可知，要求函数的单调递减区间，即求函数t=x2+2x﹣3的单调递减区间，
∵函数t=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），
故函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），
故选：D．
10．B
【解析】1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
11．C
【解析】∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立
∴（m2﹣m）＜在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，
由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减，
∴f（x）≥2，
∴m2﹣m＜2，
∴﹣1＜m＜2，
故选C.
12．C
【解析】∵当x≥0时，f（x）=f（x﹣1），
∴此时的周期为1，对于所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相当于在[﹣1，0）重复的周期函数，
当x∈[﹣1，0）时，y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+1+a，
图象为开口向下的抛物线，对称轴x=﹣1，顶点（﹣1，1+a），
结合二次函数的图象可知：
（1）如果a＜﹣1，函数y=f（x）﹣x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=﹣1，则y有一个零点在区间（﹣1，0），有一个零点在（﹣∞，﹣1），一个零点是原点；
（3）如果a＞﹣1，则有一个零点在（﹣∞，﹣1），y右边有两个零点，
综上可得：实数a的取值范围是[﹣1，+∞）
故选：C．
二．填空题
13．+
【解析】=+，
故答案为：．
14．﹣
【解析】已知sin，α∈（0，π），sin2α+cos2α=1，sinα＞0，∴sinα=，cosα=﹣，
则tanα==﹣，
故答案为：﹣．
【解析】S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．
故答案为：2．
16．
【解析】∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为：．
三．解答题
17．解：（1）算lg25+lg2﹣lg﹣log29•log32=lg5+lg2﹣lg0.1﹣=1+﹣2=﹣．
（2）∵已知=，∴tanα=﹣．
18．解：由题意得：A={x|x＞}，B={x|1＜x≤3}，
（Ⅰ）若B⊆A，则≤1，即m≤2，
故实数m的范围是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）若A∩B=∅，则≥3，
故实数m的范围是[6，+∞）．
19．解：（1）f（α）==sinαcosα=sin2α．
（2）f（α）=sinαcosα=，
∴（cosα﹣sinα）2=cos2α+sin2α﹣2sinαcosα=1﹣2×=，
∵＜α＜，∴cosα﹣sinα＜0．
∴cosα﹣sinα=﹣．
20．解：（1）∵f（x）=e x﹣e﹣x，
函数y=e x为增函数，函数y=﹣e﹣x为增函数
∴f（x）在R上是增函数．
（亦可用定义证明）
∵f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，
则f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切都成立
⇔f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）对一切x∈R都成立
⇔x2﹣t2≥t﹣x对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤x2+x=（x+）2﹣对一切x∈R都成立
，
又，
∴，
∴，
∴存在，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈R都成立．21．（1）解：观察f（x）=x+，x∈（0，+∞）对应的表，
得到函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）在区间（0，2）上递减，
函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）在区间（2，+∞）上递增，
当x=2时，y最小=4．
故答案为：（0，2），（2，+∞），2，4．
（2）证明：任取x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，
则，
∵x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1，x2＞0，x1，x2＜4，x1，x2﹣4＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数在区间（0，2）递减．
22．（1）证明：由方程g（x）=bx2+2ax+b=0有两个不同的非零实根，
得△=4a2﹣4b2＞0，
因此a＞b＞0，
所以＞1；
所以x1+x2=＜﹣2；
（2）解：由（1）知x1x2=1，
f（x1）+f（x2）+3a
=a ln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+3a
=a ln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+3a
=a ln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+3a
=2a ln+a，
由f（x1）+f（x2）+3a﹣λb=0得λ=ln+，
设t=＞2，则λ=t ln t+是增函数．
因此λ＞2ln2+1
11。