(课件)概率论与数理统计：单正态总体均值与方差的区间估计

X
n
/ 2 )
1
P(1.495 0.0006 1.96 1.495 0.0006 1.96) 1
6
6
直径均值 的置信度为95%的置信区间为(1.4754,1.5146)
P( X
n
/ 2
X
n
/2 ) 1
（1）区间以 X 为中心的对称区间。
（2）区间长度
l
2
n
2
越小，区间长度越小，精度越高。
6.262
P( 15 6.2022 15 6.2022 ) 0.95
27.488
6.262
总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间（4.58,9.6）
小结：区间估计的统计量分布
待估参数 其他参数
单正态总体 的区间估计
2 已知 2 未知
统计量的分布
X ~ N (0,1) n
X ~ t(n 1)
S 1 1 n1 n2
S12
2 1
S22
22
~ F (n1 1, n2 1)
思考题：
随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差 s 11(m / s) ，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的
炮口速度的标准差 的置信水平为0.95的置信区间。
谢谢聆听！
直径为（单位：mm） 1.46 1.51 1.49 1.49 1.52 1.51
求 的置信度为95%的置信区间。
解： 因为
P(1.96
2 0.0006
X
统计量U ： X
1.96) 1
n
~
N (0,1)
nLeabharlann X 1.495 n 61 0.95 0.05 0.025
2
P( / 2
1)
2
(n
2 1
2
1)S 2 (n 1)
]
1
方差 2在置信度为1 的置信区间为
(n
2
1)S 2 2 (n 1)
， (n 1)S 2
2 1
2 (n
1)
例3 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准
差 的置信水平为0.95的置信区间。
解： 要求 2的置信区间：(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
其中：S 6.2022
n 16
n 1 15
0.05
2 0.025
(15)
27.488
2 0.975
(15)
6.262
P(15 6.2022 2 15 6.2022) 0.95
27.488
解： 2未知, 所以X ~ t(n 1)
Sn
其中： X 503.75 S 6.2022 n 16 n 1 15
2 0.025 t 2 (15) 2.1315
P(2.1315 X 2.1315) 0.95
Sn
P(503.75 6.2022 2.1315 503.75 6.2022 2.1315) 0.95
n 越大，区间长度越小，精度越高。
越大，区间长度越小，精度越高。
2、 2 为未知：
统计量的分布： U
X
~
N (0,1)
n×
T
X
S
~ t(n 1)
n
P(t
2 (n 1)
X
S
t
2 (n 1)) 1
n
P(X
S n
t
2 (n
1)
X
S n
t
2 (n
1))
1
均值在置信度为1的置信区间为 ( X
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2 (n
1)
例2 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值
的置信水平为0.95的置信区间。
Sn
2
未知
双正态总体 的区间估计
1 2 1 2
2 1
,
2
2
已知
12 22 2
未知
12 22
1 , 2 未知
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
2 2
n1
n2
( X Y ) (1 2 ) ~ t(n1 n2 2)
单正态总体 的区间估计
均值 的置信区间
已2 知 未2 知
方差 2 的置信区间 未知
一、均值 的置信区间：
1、 2 为已知： X ~ N (, 2 )
U
X
~
N (0,1)
n
P(u / 2
X
n
u / 2 )
1
P(X
n u / 2
X
n
u
/2
)
1
例1 滚珠直径 X ~ N (,0.0006) ，从某天生产的滚珠中随机抽取6个测得
16
16
总体均值 的置信水平为0.95的置信区间（500.4,507.1）
二、方差 2 的置信区间：（ 未知）
2的无偏估计为S 2
统计量的分布：
2
(n 1)S 2
2
~ 2 (n 1)
P[
2 1
2 (n 1)
(n 1)S 2
2
2 2 (n 1)] 1
P[
(n
2
1) S 2 (n
2