湖南省株洲市八团中学2018年高三数学理月考试卷含解析

湖南省株洲市八团中学2018年高三数学理月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数则f(x)－f(－x)＞－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B. ∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D. ∪(0,1)
参考答案：
【知识点】函数单调性的性质B3
【答案解析】B 解析：解：当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1，解得x＜，则0＜
x≤1.
故所求不等式的解集为∪(0,1]． B正确
【思路点拨】已知f（x）为分段函数，要求f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集，就必须对其进行讨论：①若﹣1≤x＜0时；②若x=0，③若0＜x≤1，进行求解
2. 已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )
(A). 若m//n，nα，则m// α
(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.
(C) .若l⊥n ，m⊥n,则l//m
(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β
参考答案：
A选项，直线可能在平面内；B选项，如果直线不在平面内，不能得到；C选项，直线与可能平行，可能异面，还可能相交；故选.
3. 已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
4. 要得到一个奇函数，只需将函数的图象（）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
参考答案：
B
5. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=（）
A．4 B．2 C．1 D．
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平面向量的数量积定义，写出，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及||?cos∠DAC=||，即可得到答案．
【解答】解：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，则AC⊥BD，且AO=AC=．
由平面向量的数量积定义可知： =||?||cos∠DAC=||?||=1×=，
故选：D．
【点评】本题考查两平面向量的数量积的定义，借助菱形的对角线互相垂直平分，考查基本的三角函数的运算，是一道基础题．
6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
① 若；② 若；
③ 若；④ 若
其中正确命题的序号是（）
A. ①③
B. ①②
C. ③④
D. ②③
参考答案：
D
略
7. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么正确的是（）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
参考答案：
B
8. 下面四个条件中，使>成立的充分而不必要的条件是（）
A. >+1
B. >-1
C. >
D. >
参考答案：
A
9. 函数的图象大致是
参考答案：
B
10. 在中，“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，ED=，则角A= ．
参考答案：
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得：，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
【解答】解：∵ED=，∴AD=DC=．
在△BCD中，由正弦定理可得：．
∵∠BDC=2∠A，∴，
∴cosA=，∴A=．
故答案为：
12. 已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则?A B= ．
参考答案：
{3}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B?A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得
B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、
【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B?A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，
分析可得a=2，
即B={2，4}，
则?A B={3}，
故答案为：{3}．
【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．13. 已知两条相交直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直
线最多有6个交点点，五条直线最多有10个交点.由此可归纳n条直线最多
交点个数为__________.
参考答案：
14. 在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点
不重合），若，则的取值范围是．
参考答案：
15. 曲线在点处的切线方程为___________________.
参考答案：
2x-y+1=0
略
16. 定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣
1的解集是．
参考答案：
（﹣∞，﹣2）∪（0，）
【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），
①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，
解得0＜x＜，
②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，
则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，
综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．
17. 已知函数,
若,则实数的取值范围是___.
参考答案：
(-6,1)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）某市拟定2016年城市建设A，B，C三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对A，B，C
三项重点工程竞标成功的概率分别为a，b，（a＞b），已知三项工程都竞标成功的概率
为，至少有一项工程竞标成功的概率为．
（1）求a与b的值；
（2）公司准备对该公司参加A，B，C三个项目的竞标团队进行奖励，A项目竞标成功奖励2万元，B项目竞标成功奖励4万元，C项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出a与b的值．
（2）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X，则X的值可以为0，2，4，6，8，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【解答】解：（1）由题意得，
由a＞b，解得a=，b=．
（2）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X，则X的值可以为0，2，4，6，8，10，
P（X=0）=，
P（X=2）==，
P（X=4）==，
P（X=6）==，
P（X=8）==，
P（X=10）==，
P（X=12）==，
∴X的分布列为：
E（X）=+=．
【点评】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
19. 如右图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点
，的平分线分别交于点.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，求的值.
参考答案：
略
20. 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．
参考答案：
(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)．
∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.
即log4＝－2kx，
log44x＝－2kx，
∴x＝－2kx对一切x∈R恒成立．∴k＝－．
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x，
∴m＝log4＝log4(2x＋)．
∵2x＋≥2，∴m≥．
故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范围为m≥．
21. 椭圆：，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为，直线l与椭圆交于，两点. （1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求点D的轨迹方程；
（3）设直线OA，l，OB的斜率分别为，，，其中且.设的面
积为S.以OA、OB为直径的圆的面积分别为，，求的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意知a＝2b，且，由此能求出椭圆方程．
（2）先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，和椭圆的方程联立，结合
向量的垂直关系即可找到找m，k的关系式，从而求得．再验证斜率不存在时也满足，则可得点的轨迹方程.
（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围．
【详解】（1）由题可知，，且，解得：，，
故椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由可得，由韦达定理有：
且
∵，∴，即
∴
由韦达定理代入化简得：
∵垂直直线，∴
当直线斜率不存在时，设：，易求，此时
所以点的轨迹方程为.
（3）设直线的方程为，
由可得，由韦达定理有：
且
∵，∴，即
由韦达定理代入化简得：.
∵，∴
此时，即.
故
又
为定值.
∴
∴当且仅当时等号成立.
综上：.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．
22. 如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB为边长为的正三角形，底面ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的的余弦值.
参考答案：
证明：（Ⅰ）取中点，连结．
，．
，．，
平面．----3分
平面，
，又∵，∴- ----6分
解：（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．设．---8分
，，．----9分
取中点，连结．，，
，．
是二面角的平面角．
，，
，---10分
．
二面角的余弦值为
．-------- -12分。