三角函数的图像与性质

3π 7π f(x)的单调递减区间为kπ＋ 8 ，kπ＋ 8 (k∈Z)．
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求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简 成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只
需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即
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两种方法 求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ
的范围，结合图象写出函数的值域； (2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解 决．
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考点自测 1．函数
)．
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1 1－cos 2x 1 1 解析 f(x)＝sin x－2＝ －2＝－2cos 2x， 故函数 2 的最小正周期为 T＝π，且为偶函数．
2
答案 D
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3．(2013· 安顺模拟)已知函数
π f(x)＝sinωx＋3(ω>0)的最小正
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π 5π 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为4， 4 ，再结合正弦、余 弦函数的周期是 2π，所以原函数的定义域为
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ 4 4 ，k∈Z.
法二
利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦
解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋ k的形式，再求最值(值域)； ②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化
为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(siபைடு நூலகம் x±cos x)＋c的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
π xx≠ ＋kπ，k∈Z x≠1，即 4
，
， .
π π 故函数的定义域为：xx≠4＋kπ且x≠2＋kπ，k∈Z
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(2)y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x) ＝2sin x－sin 又
，k∈Z
答案 A
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1 2．(2013· 中山调研)若函数 f(x)＝sin x－ (x∈R)，则 f(x)是 2
2
( π A．最小正周期为2的奇函数 B．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为 2π 的偶函数 D．最小正周期为 π 的偶函数
π＝0.
答案 B
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4． 下列函数中， 周期为
π A．y＝sin2x＋2 π C．y＝sinx＋2
π π π， 且在4，2上为减函数的是( π B．y＝cos2x＋2 π D．y＝cosx＋2
π 将 x－4视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可 π 知 2kπ≤x－4≤π＋2kπ，k∈Z， π 5π 解得 2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z.
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 所以定义域为 4 4 .
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π y＝tan4－x的定义域为 ，k∈Z ，k∈Z
(

)．
π xx≠kπ－ A. 4 π xx≠kπ＋ C. 4
π xx≠2kπ－ ，k∈Z B. 4 π xx≠2kπ＋ D. 4
解析
π π π f(x)＝2sinx＋3，∵x∈－2，2，
π 1 π π 5π ∴x＋3∈－6， 6 ，∴sinx＋3∈－2，1，
∴f(x)∈[－1,2]．
答案 [－1,2]
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7 (2)8
2
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考向二 三角函数的单调性 sin x－cos xsin 2x 【例 2】►(2012· 北京)已知函数 f(x)＝ . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递减区间．
[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即 可；先化简原函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期及 单调区间．
π 7π π 2x＋ 的单调递增区间为 kπ－ ， 故 y＝cos 6 12 kπ－12(k∈Z)．
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π x x π (2)y＝3sin3－2＝－3sin2－3，
π x π 3π 5π ∴由2＋2kπ≤2－3≤2kπ＋ 2 ，k∈Z，得 4kπ＋ 3 ≤x≤4kπ＋ 11π ，k∈Z. 3 故
π 5π 线，要使 sin x≥cos x，即 MN≥OM，则4≤x≤ 4 (在[0,2π] 内)．∴定义域为
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 4 4 .
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法三
sin x－cos x＝
π 2sinx－4≥0，
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1 【训练 1】 (1)函数 y＝ 的定义域为________； tan x－1 (2)当
π 7π x∈6， 6 时，函数
y＝3－sin x－2cos2x 的最小值为
________，最大值为________．
解析 (1)由题意知：tan
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 又 2
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[审题视点] (1)求使sin x≥cos x的x的集合，可用图象或三角函 数线解决；
(2)先化成形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再由x的范围求解．
解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利 用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图 象，如图所示．
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解 (1)由 sin x≠0，得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}， sin x－cos xsin 2x 因为 f(x)＝ ＝2cos x(sin x－cos x) sin x ＝sin 2x－cos 2x－1＝
π 2sin2x－4－1，
π x y＝3sin3－2的单调递增区间为
5π 11π 4kπ＋ ，4kπ＋ (k∈Z)． 3 3
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考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
π π 【例 3】►(1)若 0＜α＜ ，g(x)＝sin2x＋4＋α是偶函数，则 α 2
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对称中心 对称轴
(kπ，0) π x＝kπ＋2
π kπ＋ ，0 2
kπ ，0 2
x＝kπ
无
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【助学·微博】
一点提醒
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号， 只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π.
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π (2)将 2x－ 看做一个整体，根据 y＝sin x 的单调递减区间列 4 不等式求解． π 3π 函数 y＝sin x 的单调递减区间为 2kπ＋2，2kπ＋ 2 (k∈Z)． π π 3π 由 2kπ＋2≤2x－4≤2kπ＋ 2 ，x≠kπ(k∈Z)， 3π 7π 得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8 所以
考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题 【例 1】►(1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)函数 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 在 大值为________，最小值为________．
π 3π x∈8， 4 上的最
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周期为 π，则该函数的图象 π A．关于直线 x＝3对称 π C．关于直线 x＝－6对称
(
π B．关于点3，0对称 π D．关于点6，0对称
)．
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2π 解析 由题意知 T＝ ω ＝π，则 ω＝2，所以 f(x)＝
π 2 π π sin2x＋3，又 f3＝sin3π＋3＝sin
可，注意要先把ω化为正数．
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【训练 2】 求下列函数的单调递增区间：
π x π (1)y＝cos2x＋6；(2)y＝3sin3－2.
π 解 (1)将 2x＋ 看做一个整体，根据 y＝cos x 的单调递增 6 区间列不等式求解．函数 y＝cos x 的单调递增区间为[2kπ π －π，2kπ]，k∈Z.由 2kπ－π≤2x＋6≤2kπ，k∈Z，得 kπ 7π π － ≤x≤kπ－ ，k∈Z. 12 12
第3讲 三角函数的图象与性质
【2014年高考会这样考】 考查三角函数的单调性、奇偶性和周期性．
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考点梳理
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z).
函数 图象

y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
x x∈R，且x≠
π kπ＋2，k∈Z
2 ，1， 2
故 f(x)max＝ 2，f(x)min＝－1.
答案
π 5π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z (1) 4 4

(2) 2 －1
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(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解 简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求
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(2)f(x)＝2cos xsin x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x ＝
π 2sin2x－4，
π 3π 5π π ∵x∈8， 4 ，∴2x－ ∈0， 4 ， 4 π ∴sin2x－4∈－
2
x＋1＝2sin
12 7 x－4 ＋ . 8
π 7π x∈6， 6 ，∴sin
1 x∈－2，1，
1 7 ∴当 sin x＝ 时，ymin＝ ； 4 8 1 当 sin x＝－2时，ymax＝2.
答案
π π (1)xx≠4＋kπ且x≠2＋kπ，k∈Z
定义域
R
R
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值域 周期性 奇偶性
[－1,1] 2π 奇函数
[－1,1] 2π 偶函数
R π 奇函数
π π 2kπ－2， 2kπ＋2 [2kπ， 2kπ＋π] π π kπ－2， kπ＋2 π 单调性 为增；2kπ＋ ， 为减；[2kπ－ 2 为增 π，2kπ]为增 3π 2kπ＋ 2 为减
)．
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解析
(筛选法)由函数的周期为 π.则排除 C，D，又函数在 B.
π π ， 上是减函数，排除 4 2
答案 A
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5．(课本改编题)函数 f(x)＝sin x＋ 3cos 是________．
π π xx∈－2，2的值域