第3讲 三角函数的图象与性质 讲义

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π

2，－1)，

(2π，0)．

余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π

2，0)，

(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

π

【知识拓展】 1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1

4

个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性

若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则

(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )；

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )

(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >

22，则x >π

4

.( × )

1．函数f (x )＝cos(2x －π

6)的最小正周期是( )

A.π2 B ．π C ．2π D ．4π

答案 B

解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π

2

＝π.故选B.

2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π

2]上的值域为( )

A ．[－32，3

2]

B ．[－3

2，3]

C ．[－332，332]

D ．[－33

2

，3]

答案 B

解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π

6]，

sin(2x －π6)∈[－1

2，1]，

故3sin(2x －π6)∈[－3

2，3]，

即f (x )的值域为[－3

2，3]．

3．函数y ＝tan2x 的定义域是( )

A.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π

4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π

8

，k ∈Z C.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪ x ≠k π＋π

8，k ∈Z D.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π

4

，k ∈Z 答案 D

解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π

4

，k ∈Z ，

∴y ＝tan2x 的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ≠k π2＋π

4

，k ∈Z . 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π

3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( )

A ．[－712π，－π

12]

B ．[－π，－π

2

]

C ．[－π，－712π]，[－π

12，0]

D ．[－π，－512π]，[－π

12，0]

答案 C

解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π

3)．

由－π2＋2k π≤2x －π3≤π

2＋2k π(k ∈Z )，得

－π12＋k π≤x ≤5

12π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是[－π12＋k π，5

12

π＋k π](k ∈Z )． 因为x ∈[－π，0]，

所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π

12，0]．

5．y ＝sin(x －π

4)的图象的对称中心是____________．

答案 (k π＋π

4，0)，k ∈Z

解析 令x －π

4＝k π(k ∈Z )，

∴x ＝k π＋π

4

(k ∈Z )，

∴y ＝sin(x －π4)的图象的对称中心是(k π＋π

4

，0)，k ∈Z .

题型一 三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π

6

)的定义域是____________．

(2)(2017·郑州月考)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－1

2，1]，则

实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)[π

3，π]

解析 (1)由2x ＋π6≠π

2＋k π，k ∈Z ，

得x ≠k π2＋π

6

，k ∈Z ，

所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π

6，k ∈Z }．

(2)∵x ∈[－π

3，a ]，

∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6

]，