3.1 空间中向量的概念和运算
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加法交换律：
对实数加法的分配律：
(1 2 )a 1 a 2 a
C
空间向量的数量积及运算律
向量的数量积：
a b a b cos b 1.( a) b (a b)
请牢记
B
2.a b b a 3.a (b c) a b a c
2.a b b a 0, a 0 a总与a平行
课程讲授 ——空间向量
向量的概念： 既有大小又有方向的量称为向量。 a, b, c,... 有向线段表示向量的：
A B
D
a AB CD AB
D
C 方向和长度相同两个向量相等。
向量的加减法： 空间中任何两个向量都可以看成同一个平面内 的向量。所以其加减法与平面向量相同。
如图AB BC CD与 AD有什么关系？
AB BC CD AD
C A A、B、C共面 A、C、D共面 B
与平面向量相同！
空间向量的运算律
ab ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 对向量加法的分配律： (a b) b a
(1) AB AC 2 2 cos 600 2B (2) AD BD 2 2 cos 60 2
0
D G C
(3)GF AC 1 2 cos180 2
0
(4) EF BC 1 2 cos 60 1
0
注意： 两向量的夹角！
复习回顾
平面向量
1.向量的相关概念
(1)定义:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)模:向量的长度叫做向量的模,记作 a 或 AB
(3) 零向量和单位向量:长度为零的向量叫做零向量, 长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. (4)共线向量与相等向量:方向相同或相反的向量是共线向量; 长度相等且方向相同的向量是相等向量. 零向量方向不确定,它与任何向量共线.
(4)运算法则与运算律
A C
(a b) a b
（5）向量的数量积： a b
(3)数乘向量
a
a b cos
λ>0,向量方向不变,模长变为原来的λ倍.
λ<0,向量方向相反,模长变为原来的-λ倍.
1.( a) b (a b) 3.a (b c) a b a c
.
2.向量的运算 (1)加法:三角形法则;平行四边形法则.
B A C D
A
B
(2)减法:三角形法则.
C a b b a ( a b) c a (b c ) ( a ) ( )a
( )a a a
a
A
例1：已知空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，点E、 F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下列数量积：
(1) AB AC; (2) AD BD; (3)GF AC; (4) EF BC ;
A
Hale Waihona Puke 解：由题设知道△ABC、△ABD、 △BCD、△ADC都是等边三角形， 于是：
E F
对实数加法的分配律：
(1 2 )a 1 a 2 a
C
空间向量的数量积及运算律
向量的数量积：
a b a b cos b 1.( a) b (a b)
请牢记
B
2.a b b a 3.a (b c) a b a c
2.a b b a 0, a 0 a总与a平行
课程讲授 ——空间向量
向量的概念： 既有大小又有方向的量称为向量。 a, b, c,... 有向线段表示向量的：
A B
D
a AB CD AB
D
C 方向和长度相同两个向量相等。
向量的加减法： 空间中任何两个向量都可以看成同一个平面内 的向量。所以其加减法与平面向量相同。
如图AB BC CD与 AD有什么关系？
AB BC CD AD
C A A、B、C共面 A、C、D共面 B
与平面向量相同！
空间向量的运算律
ab ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 对向量加法的分配律： (a b) b a
(1) AB AC 2 2 cos 600 2B (2) AD BD 2 2 cos 60 2
0
D G C
(3)GF AC 1 2 cos180 2
0
(4) EF BC 1 2 cos 60 1
0
注意： 两向量的夹角！
复习回顾
平面向量
1.向量的相关概念
(1)定义:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)模:向量的长度叫做向量的模,记作 a 或 AB
(3) 零向量和单位向量:长度为零的向量叫做零向量, 长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. (4)共线向量与相等向量:方向相同或相反的向量是共线向量; 长度相等且方向相同的向量是相等向量. 零向量方向不确定,它与任何向量共线.
(4)运算法则与运算律
A C
(a b) a b
（5）向量的数量积： a b
(3)数乘向量
a
a b cos
λ>0,向量方向不变,模长变为原来的λ倍.
λ<0,向量方向相反,模长变为原来的-λ倍.
1.( a) b (a b) 3.a (b c) a b a c
.
2.向量的运算 (1)加法:三角形法则;平行四边形法则.
B A C D
A
B
(2)减法:三角形法则.
C a b b a ( a b) c a (b c ) ( a ) ( )a
( )a a a
a
A
例1：已知空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，点E、 F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下列数量积：
(1) AB AC; (2) AD BD; (3)GF AC; (4) EF BC ;
A
Hale Waihona Puke 解：由题设知道△ABC、△ABD、 △BCD、△ADC都是等边三角形， 于是：
E F