云南省(二模)2023届高三第二次省统考数学试卷及答案

褂密食启用前【考试时间：4月6日15；。

一117:00】
2023年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
数学
本试卷共8页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
I.答卷前，考生务必用黑色碳萦笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号．
2.回答选择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡→并交回．
－、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
l.己知集合U={0,1,2,3}.S={0,3}, T={2｝，则Cu(SUT)=
A.{ 1} c.{ l , 2 , 3}
B.{ 0, 2}
D.{ 0, l , 2 , 3 } 2+ 3i
2.己知i为虚数单位，则复数一一一在复平面内对应的点位于
2-3i
A.第一象限
B.第二象限
c.第二象限D.第四象限
3.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
叫
…5-10件I11-so件I s1-100件I101-300件1·300件以上
37元32元30元27 7G25元张师傅准备用290。

元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具
A.116·｛＇牛
B.UO件
c.1071＇牛 D.106｛，牛
数学试卷·第1页〈共8页〉
4若直线3x-4y-13
骂
0与阻（x-2)2
+(y +3i =36＇
交于A 、B 两点，则
I AB I ·:,
2
托于
B. 12
1在3
A. D. 2.fii
x 2的系
数是
c.
5在（；-x 2 ) 7的二项展开式中，35 3 -35
B. A. 140 3
-63
E 是正方体A BCD -A1B 1C 1D 1的棱cc 1上的点，若CC 1=4E C
1’则直线AE 与直线
D.C.
6.如图，e』『
、．．、－�』
＼、‘：－』－－·」
＼
：
‘
1“～
〉了’↑－、：：.－ιo-.j E
,,.... ＿＿」
l’．，
””D 1 r ～～～
～－－Jc1A 1
c
C 1叭的夹角的正切值等于
3
5
A. s
3
4－55－4
B.
c.
D. 7...设Xi 、
X2是关牙耳的方程玉
2
+(a-l)x+a+2=0的根飞着－l ＜工I <l, 1 <x2 <2，则
3 1 B.
< －一，一）
4 2
实数乱的取值范围是A. （
－
�，－·l)
（『2,-1)
D.c .
（气2, I) 8.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃t&�理量和处理设备的使用，降
低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分费在学校的全面展开，某学校举办了
一
次拉圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级
分别有2名、3名、3名同学获一
等奖．若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同幸在级向学排在一
起，则不同的棚。

法共有
A.432革中
D.72手中
c.
176种
数学试卷.j在2页（共8页〉
B.420和11
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有�项符合
题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题，错误的是
A.若随机变量X 服从正态分布N(2，σ勺，且P(X .s; 5) = 0.82，则P(X 三
－1)=0.18
B.100件产品中包含10件次品，不放固地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布
B(6, 0.1)
c.
将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D.在一元线性回归模型分析中，决定系数R 2
用来刻画两个辘型拟合的效果．若R 2
越
小，则模型的拟合效果越好
10.若f(x)=lsin斗＋
COSX ，
则
C.f(x ）的最小正周期‘为π
为
值增小递最调的单上I
H
」、，，，
L Z 2
万
－v
z f 厅一4
－’’’飞，，E、间间区区在在、BJ 、，γZ X FJ
JJ
B D
A.f(x ）是偶函数11.己知抛物线C:x 2 =2py (p>O ）的焦点为F，过F作直线l 与抛物线C交子d、B两
点，分别以A 、B为切点作抛物线C的切钱，两切线交于点T，设线段AB 的中点为M.若点T的坐标为（2,
-1
），则
A.点M 的横坐标揭去C 直线l的斜率等于2
B.点'M 的纵坐标为3
D. ITM[=5
12.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球0的球面上，且CAl.CB,CA=CB=2，球。

的
表面积为12疗，三棱锥P-ABC 的体积为主，记点A到平面BOC 的距离为d，则
3 A .P C
斗
c.
d =.Ji
B.PO =O B ＝主
2
盘史学讯将·绢’
3页导央8页）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知平面向茹：二＝( -1 , 2) ,
b = ( 2 , 2m ) .若a II b ，
则m=
"14.某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校JOO 名男生的
体重，并将这100名男生的体重〈单位：kg）分成以下六组：（54,58),[58,62), [62,66),
[66,70), [70,74), (74,78］，绘制成如下的频率分布直方图：
率距
频－组0.09 0.07•
0.04 0.02 0.01
54 58 62 66 70 74 78重量也g)
该校保重（单位：kg）在区间［70,78］上的男生大约有
人．
15.己知双曲线C的中j 心在原点，焦点在x 轴上，Fj 、F 2分别为双曲线C的左、右焦点，A i 、
�分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点F i 且与以《岛为直径的困相切于点M.若直线l与双幽线C的右支交于点A ，且写M=.!.MA，则双曲线C的离心率等于
3
16.己知e 是自然对数的底数，函数f(x)=(ae x
+l)x+lnx+l 只有一个零点，则实数。

的
取值范围为
数敬试卷·第4页（共8页）
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11.
oo 分〉
某研究机构随机抽取了新近半｜块的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进
行了调查，得到如下数据（单位：人〉：
男性
女性
合计
喜欢15 30 45 不喜欢85 70 155 合计
100
100
200
根据上述信息，解决下列问题：
Cl ）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；(2）现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众〈注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名〉
．
求在第一次抽到的
是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．
附：Y.2
n(ad-bc)2
'.Y = ，其中n ＝α＋b+c+d.'" （σ＋ b)(c + d)(a + c)(b + d)
α
0.15 0.10 0.05 0.010 X cc
2.072
2.706
3.841
6.635
数学t:,1；在.，ffi 5 ].U (;t
岛8班〉
0.001 10.828
18.<12分）
LlAJJC中，内角A、8、C的对边分别为。

、b、C, A＝立．
3 （！）若b=2,C=3.求证：一旦一＋＿！！＿＿＝m:
tanA sinB
(2）若D为BC边的中点，且D.ABC的面积为6../3，求AD长的最小值
19.02分〉
己知数列｛a n｝的每一项都是正数，a1=3，α：“－2a; =a n a n+I +3x2" （α，，＋a11+1)记数州
项和为丸
列（号）胁
（：〉求Sn,Tn;
（？，）直接写出S，，与T，，的大小关系〈不要求证明〉．
·数学试卷·．第6页〈共8页〉
20.( 12分〉
如图，四船在P-ABCD中p四边形ABCD是平行四边形，点E为线段AP的中点．
(l）求证：CP11.lf面BDE;
(2）若四边形ABCD为菱形，且AC=6,BD=8, CP=lO, AP」．平面ABCD，求平面BDE与平面PCD所成二面角的正弦值．
c
21.(12分〉
已知椭圆附心是坐标原点叫点在y铀上，离心率等于子，F是椭圆E叫
点，盯在第一象限，点P和点（－:E_,/3）都在椭圆E上，且t:iPOF的面积等于主A、
2
8是椭圆E上异于P的不同的动点，且ζAPF＝ζBPF.
(1）求椭圆E的方程；
(2）求证：直线AB的斜率是定值．
数学试卷·第Z页（共8页〉
22.(12分〉
已知m>O,e是自然对数的底数，函数f(x)=e x+m-mln(mx-m).
( l ）若m.=2，求函数F(x）町’＂＇＋兰－4x+2-f(x）的极值；
2
(2）是否存在实数m,'v'x>l，都有／（x）注（）？若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．
数学试卷·第8页（共8页〉
2023年云南省第二次高中毕业生复习统一检测
数学参考答案及评分标准
一、选捧题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有－
项是符合题吕要求的。

I. A 2. B 7. A
8.A
3.C
4.C
5.B
6. D
二、选捧题：本题共4小题．每小题5分，共20分。

在每小题始出的选项中，有�项符合
题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2纱，有选错的得0分。

9. B、C、D
IO. A 、D II. A 、C 、D 12. B 、C
三、镇窒题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-2
14.240
15.三
3
16.(O.+co)U{-1}
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.( 10分〉
解：（I）等假设为Ho：观众在欢i亥影片与观众的性别无关联．自己知i得
.l 2 -200×（ 15 x 70 -85 x 30) 2 200 14 － ＝一一＝6一＞3.84) = XnM ••••••••••…......... 4分
IOOxIOOx45xl55 31 31
v ,v,
根据小概率伯α＝0.05的独立性检验，我们彼l 所H 。

不成立.I!日认为观众咨欢该彤片与现余的性别有关，此报lt1i 犯错误的概恕不大于0.05.············.. ·6分(2）记事件A
，
第一次拍到的是咨欢该影片的观众．
事件B：第二次ilh 到的是不喜欢该影片的观众．
45 9 A!sA,'ss 45xl55 9x31
根据己知1得P(A ）＝－一＝一，P(A 的＝一一一－＝一－一一一＝一一一.......g分
200 40 A午200×1998xl99
数学参考答；提及w分杯i1t.m I页〈共8页）
9×31
I P(AB) 8×199 9×31 40 155
:. P(B I A）＝一一一＝一一一＝一一－x一＝一一．
I P(A) 9 8x 199 9 199
40
答：在第一次拍到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次:Jill到的是不喜欢该f;彭片
18.(12分〉
155
的观众的概率为一一．….........….........…........................................10分199
( I）证明：·：A＝主，3 b=2 c=3,
:. a2 =b2 +c2 -2bccosA =4 +9-2×2×3×工＝7
2
:. a=J=i .........…….......…….................…..................................... 3分
•• a b a a
－－－一＋－－－－＝－－－一＋－－－－
tan A sin B tan A sin A
J=i J=i J=i 2 J=i r::7
=-..... －＝一－－＝…
t a n主.s i n主fj fj
…
．·．」一＋」一＝占T.………………………………………........................6分tan A sin B
(2）解：由S6ABC= i阳川而导be=24.
·: D为边BC的中点，
石＝�品无）8分·｜石｜寸l石♂｜＝卢布τ
=ilis2 +2石无＋无2=i.Jc2可-::i;·· 10分=i.Jc2万τ2；三j同＝iFbc=iFx五＝3.fi..
吐b=c=2,/6毗｜石l=iJ?百-::i;= i.fi.4可τ24=3布，
:. AD伏的最小值为3.fi.，………………………………………………………u分数学参考答案及评分标准·m2页（共8页｝
19.( 12分〉
解：（I)·; a; .. 1 -2a; =a n a n+I +3x 2" （。

”＋α川），
二（a ，川
＋a.,)(a 叫
－
2a.,-3x 2’＇）＝0.
·．·数列（。

，，）的每一项都是正数，
:. a ，川＋。

”＞0.
二a ,,,1-2a 11 -3×2”
＝0.
．
·．。

，，刊＝2a ,,+3×2”. .
........….........…......................................…·2分．·．年子＝半了刊，即年卡－�＝6.2俨’
211－
ι
2
俨＇
2
’，－. 数岁。

｛｝是以尹叫酬，6为公差的等差数列
I a I 11(11 -1）×6 2 二数11J 」」7』的前11J'ffi.；和－：）
9611 ＋＝3,?＋初，…···············4分I 2”－，
I
2
｛�叫协项和s ,,= 3112
+ 311-3112 + 180 = 3,, + 180 6分
2
俨
2
／。

，。

×
＋
ro t －俨且．
·．主！..：6×2俨2=3x
2俨I ,
n
数列（针是首阳3公比为2阳数列I a I
3×（I -2") ．·．数列」.::!!... �的前n 项和T .. ＝＝3×2”－3.…….............…··8分
I n l
”
1-2 (2）当l 豆n 王6时，S,,＞凡，...........................….......................……·10分
当，1主7时，
Sn
＜
兀...· •
· · · · · · · · · · · · · · · · · · • · · · • · · • · · · • · · · · · · · · • · · · · · · • · · · · · · · · • · · · · · · · 12分数学参考答案及i 于分标准
·�D页（共8页〉
20.(12分）
( 1）证明：设AC n BD=O，连接0£.….................…............................…l分
p ·．·凶边J厉ABCD是平行四边形，
(2）解，3设PC的中点为M，连续OM.
:. OM是MAC的中位线．
:. OM/I AP.
·: AP i平而A.B CD,
:. OM .L->Jl.丽ABCD.:. 0是AC的中点．
·．·点5为线段A户的中点，
:.0£是MAC的中位线．
:. 0£/IC P.……........….........……·3分又·：CP er.平而BDE,OE c平而BDE, :. CP II平面BDE.········….........…·4分
·: OA c平而ABCD,OBc平而ABCD,
:. AP.LOA , OM.LOA , OM.LOB , AP= J歹芒万i-=M亏了＝8.
叉·．·四边形ABCD为菱形，
:. OB .L OA . :. OA、OB、OM两两互相垂直．
分别以射线OB、OA、OM为λ·轴、y轴、z铀的非3夜半和11建立如图r1坏的空间应角坐标系。

－xyz，则8(4,0,0),D(-4,0,0), E(0,3,4), P(0,3,8), C(O, -3, 0), DB=(8,0,0), DE=(4,3,4), CP=(0,6, 8), CD=(-4,3, 0) .··············……·6分数学参考答案及词＇分标准·窍l4页（�8页〉
设吕＝（x,y,z ）为平而BDE 的一个法i句聋，
由｛月芝＝0，得（衍＋O J
，驭z=3，得v=-4.月·DE =O
4λ·＋3y+4z=O , ,
:. 日= (0, -4,3）是平丽BDE 的一个法向量.········…····························8分
设，II=（坷，Y,,z ，）是平面PCD 的一个法向毡，
句、d
－ ”，“ 句‘d － x n 守，V T A吨＝VJ 取Aυ 白叫＝－h t ·句、d
z 8＋
＋γ叫比1A U 『a v r’’BE《E’得仇。

＝＝ －P ’一。

一C －c －m －m ，tEE，‘SE 囱．·．’”＝ (3, 4, -3）是平面PCD 的一个法向蛊．……..............…....•····· 10分
设平而BD E 与平而P CD 所成二而角的大小为θ，则0＜θ＜T[
，
且
－｜川I_1-16-91 _ sF4!cos θ｜－一一
－－一一｜司机
:,sinfJ＝�斗宇生＝孚
- 3.J'l,t "
:. sp:而BDE 与平而PCD 所成一面角的正弦值为一乙二．…...............··· 12分
34
21.( 12分〉
解：（I ）根据已氮｜．设符Ii 阻I E 的方程为主－
＋兰
＝l(c,a ιb ι
c .fi.
(I
2
’
［。

＝2,
3 I I c 则�---:;-+ ----;;-=
I ，解方程组得｛b =./2,a' 2扩I 严
a 2=b2+c 2
,
L C ＝、／2．·．椭圆E 的方程为L ＋兰＝I …......................…….........….......…·4分
4
2
数学参考答案及w分非;j;1f�•
ms 页〈共8页〉。

是坐标Jm、点
，
(2）证明：
·：F 是椭圆E 的上焦点，:. F 的坐标为（0，在）, IOFl =c =.12.
P在第一象限，且A阳的丽积等于手
在X p
.f2
··川
IOFl x x p ＝－一＝一，附X p =E
2
2
·: p 在第一象限，椭圆E经过点P,
:. YP >0，且xl ＋王I:_=xl ＋土＝I ，解得Y P ＝在
’
4 2 4 2
’ 人点P的坐标为（1,./2）.…........…··……...............….....................···6分
.12 -.12
:. k FP ＝
寸τγ
＝0
，
即直线FP 的斜率等于0.
由P在第一象l 恨得直线FP II x和h .
B是将Ii囚E上异于P的不同的z;!J 点，且L:.APF ＝ζBPF,
·: A
、
．·．直线AP 、直线BP 的倾斜角互补，且都有斜2号�－
．·．直线AP 、直线BP 的斜率互为相反敛，设直线AP 的斜率为k，则直线BP 的斜率为－
k.
．·．直线川的方程为y -.12=k(x-1), 1.Wy =kx+(.12-k).
f y =kx+(.12
－的，
由�v2 J 得（k 2+2)x 2 +2k(.12-k)x+(.12-k )2
-4=0.
I .：：＿＋ι二＝I I 4 2
品
d
川
川
d
a
h
d
a t y
数学参考答案及评分际准·m6页〈共8页〉
22.( 12分〉
k2 -2..fi.k -2 -2.J2k2 -4k r:
••A的坐标为｛、， 、+ .../2 ).
k" +2 kφ＋2
k2 + 2..fi.k2-2..fik2 + 4k r:
同理可得8的坐标为（、， 、+ .../2 ) .........……· 10分
k'+2k'+2
-2..fi.k 2+ 4k r::-2 ..fi k2 -4k r:
+.Jt. --.Jl
．·．庭线础的斜率k,,,=
k' +2k' +2 -..fi..
AD k2 + 2.J2k-2 k2 -2.J2k -2
k2+2 k2+2
．
·
．直线础的斜率是定值，这个定值为.fi..….......……................…·12分
，τ2 2
解：（I) ·; m = 2, F(x) = e x ＋一－4x +2 -f(x) ＝一－4x+ 2l n(2x-2),
2
x F飞x) F(x) :. F（功的定义域为（l,+oo),
x2 -5x+6 (x-2）（λ－3)
Fυ）＝x-4＋一一＝＝.........…··…........······2分x-1x-1x-1
(I, 2) 2 (2, 3)
＋ 。

!'p.调递增21n2-6 单调递减
3 。

41n 2『一15
2
(3,+oo)
＋
i语调递增
15 :. F(x）的极大值为F(2)=2ln2-6:F（功的极小值为F(3)= 4l n2-2…··4分
(2)·: m>O，由I/IX-Ill>0得x>I, :. f（功的定义域为（l,+oo｝.……·········5分
当m>O,x>I时，
f(x)=e
'+m-mln(mx-m）三O
停e" + 111注，，I ln(mx -m) = 111 l n 111 + 111 l n(x -I)。

土e"'+ 1三lnm+ln(x-1）φ土e"-I n m主ln(x -1)-1
m”1
数学参考答案及评分标准·骂：7页〈共8页〉
φe x-I n”’－J n m主ln(x-1)-1。

e x-l n m+ (,t -In m）注ln(x-I)+ (x -I)= e1•<.•-1> + l n(x -1)
.... ··· ··· ......... 7分
设h(x)=e·'+x，贝I]e·•-l n m + (x -In m）注e1"(.<-I)+ l n(x -1)。

h(x-lnm）主h[l n(x-I)).
·: h'(x) = e x +I> 0,
:. h（均为单调递给函数．
:. h(x-In 111）运h(l n(x-1)] 停x -In 111呈ln(x-1)。

lnm:Sx-ln(x-1)....... 9分
I x-2
设H(x)=x-ln(x-1），则H’。

）＝I－－一＝一一．
x-1 x-1
x-,
．·．当X e(l,2）时，H’（x)＝一一子＜0,flP H(x）单调淄减：
X-1
x-'
当X E(2,+co）时，H’。

）＝－一手＞0，即H（λ·）单调递增．
x-1
…………........................... , l分．·．当xe(I, +co）时，H(x)min=H(2)=2.
:. In m:,; H(x)min = 2，郎，II豆e2.
．.．存在实数m，且m的取值范围为（0,e汗，v'x >I, /(x）主0 (2)
请注意2以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分．
敛学参考’答案及词’分标准•＊S页〈共8页｝。