2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数分层演练理(含解析)新人教A版

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2020年高考数学专题02 函数概念与基本初等函数2(含解析)

第二章函数概念与基本初等函数2与指数函数、对数函数数相关的综合问题【背一背重点知识】1. 指数函数与对数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，当01a <<时，指数函数与对数函数在定义域上都是单调递减，当1a >时指数函数与对数函数在定义域上都是单调递增； 2．指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线y x =对称；３. 画指数函数(0,xy a a =>且1)a ≠的图象，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画对数log (0,a y x a =>且1)a ≠函数的图象应抓住三个关键点：()()1,1,1,0,,1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【讲一讲提高技能】必备技能：1. 利用指数函数、对数函数的性质比较大小解不等式方法： (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较；２．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解；３．求解指数函数、对数函数有关的复合函数问题，首先熟知指数函数、对数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次是复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助＂同增异减＂这一性质分析判断，最终将问题转化为内层函数相关问题加以解决；典型例题：例1定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2015)f 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】：当0x >时，()()()12,f x f x f x =---()()()123,f x f x f x -=---得出()()3,f x f x =--得()()6,f x f x +=∴周期为6.()()2201533661(1)log 21,f f f ∴=⨯-=-==故选C ．例2设01a <<，函数()()2log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A ．(),0-∞ B ．()0,+∞ C ．(),log 3a -∞D ．()log 3,a +∞分析：由01a <<，得a y log x =在()0,+∞上的减函数，若使()0f x <，则()2log 220x x a a a --<，从而可得2221x x a a -->，令x t a =，有0t >，可转化为2230t t -->，解可得t 的取值范围，由指数函数的性质，分析可得答案．本题考查指数、对数函数的运算与性质，解题时，要联想这两种函数的图象，特别是图象上的特殊点，这是解决本题的关键．【练一练提升能力】1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是（）A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞- 【答案】A【解析】若0a >，则1122()log 0log 001af a a a a a -=>⇒>⇒<<；若0a <，则22()log ()0log ()00110af a a a a a a -=->⇒-<⇒<-<⇒-<<；综上得，选A .2. 当102x <≤时，4log xa x <（0a >且1a ≠），则a 的取值范围是（） A ．2(0,2 B ．22C ．2)D ．2,2) 【答案】B函数的图象【背一背重点知识】1. 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如1y x x=+的函数； 2. 对于函数的图象要会作图、识图、用图：作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 3. 常见的函数数字特征有：（1）函数奇偶性：奇函数)()(x f x f -=-；偶函数)()(x f x f =-；（2）函数单调性：单调递增0)()(2121>--x x x f x f 或0))()()((2121>--x f x f x x ；单调递增0)()(2121<--x x x f x f 或0))()()((2121<--x f x f x x 。

2020高考数学复习(考试说明提点+基本脉络贯通+达标小题)第二章函数概念与基本初等函数复习理(pdf)

数与对数函数, 还有三角函数等, 也涉及了函数的所有性质,
本章概念多, 1 . 对本章的概念要特别重视理解和掌握. 具有较高的抽象性和严密性, 只有准确㊁深刻地理解它们, 才的基础上进行概括, 深入理解概念的本质和来龙去脉, 并学能用于解决问题. 要在结合具体函数㊁函数图象和实际应用
江苏卷有 1 道函数大题, 2 0 1 3 年江苏卷有 1 道函数大题,
会用适当的数学语言和形式加以准确表达.9高源自复习指导数学( 教师用书)
n 2 f( x) ( ) ; ( ) 1 4 . 已知下列三个函数: 2 x)( n为 y= ( ) y = f( gx ; ( ) 正整数) 3 .写出各个函数有意义时 o x) x) g y =l g( f(
系和函数思想方法的训练.
以理解, 因此要加强函数㊁不等式㊁数列等各章之间的知识联
始终, 代数式㊁方程㊁不等式㊁数列等, 都可以从函数的观点加
加强与其他各章知识的 4 . 深刻理解函数思想的价值, 联系, 才能灵活地加以运用. 函数的思想贯穿于中学代数的
研究函数的性质, 帮助解决问题.
强化思想方法的训练. 如数形结 3 . 以函数知识为依托, 合的思想方法是本章的一条主线, 即利用函数图象的直观性
第二章
函数概念与基本初等函数
第
二
章
函数概念与基本初等函数
其他省的高考试题中函数所 2 0 1 4年江苏卷有1道函数大题, ) , 占的分值也比较大考查的热点之一是函数的定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性以及函数的图象及其变换; 在考查函数内题, 能否充分理解并运用函数模型. 例如 2 0 0 8 年江苏高考第容的同时也注重考查能否用函数的思想观察问题㊁解决问

高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数 6 第6讲对数与对数函数课件理

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4．已知 log23＝a，3b＝7，则 log3 72 21的值为________．
解析：由题意 3b＝7，所以 log37＝b.
所以 log3
72
21 ＝ log
6384＝来自log284 log263
＝
log2（22×3×7） log2（32×7）
＝
2＋2lolog2g32＋3＋lolgo2g32·3·lolog3g737＝2＋ 2a＋a＋abab.
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)
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2.对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：___(0_，__＋__∞_)__
值域：R 过定点__(1_，__0)_
当 x>1 时，y>0
[迁移探究 2] (变条件)若本例(2)变为：当 0<x≤14时， x<logax，求实数 a 的取值范围．
解：若 x<logax 在 x∈0，14成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象在 y＝logax 图象的下方，如图所示，
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由图象知
14<loga14，所以0a<12>a14<，1，
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1．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.6 含解析

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1).2．对数log a N (a >0，a ≠1)具有下列性质 (1)N >0；(2)log a 1＝0；(3)log a a ＝1. 3．对数运算法则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M α＝αlog a M . 4．对数的重要公式 (1)对数恒等式：log a Na＝N .(2)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b .5．对数函数的图象与性质6.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m n a b .提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________. 答案 2 3．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．函数y 23log (21)x -______．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析由23log (21)x －≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y 23log (21)x -⎝⎛⎦⎤12，1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.答案－20解析原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________. 答案 6解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝3log 23＋3log 29＝2＋9log 49＝2＋4＝6.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )答案 C解析先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． (2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数即方程|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x的解的个数，即函数y ＝|log 0.5x |与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． (3)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(3)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例2 设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．a >c >b D ．c >b >a答案 A解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数方程、不等式例3 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案 x ＝ 5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，12解析原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解．所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用例4 (1)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f (x )＝log 2x ·)2log 2x 的最小值为______．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. (3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1,2]解析当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，00，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c答案 B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >b >c解析因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .(4)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号) ①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c a >c解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c.1．log 29·log 34等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．(2018·宁夏银川一中模拟)设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a log 0.40.4＝1， c ＝log 80.4<log 81＝0，∴a ，b ，c 的大小关系是c <a 0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72答案 A解析由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝31log 23－＋1＝3log 23＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5.4．函数f (x )＝x log a |x ||x |(0<a <1)的大致图象是( )答案 C解析当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C.5．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝1 009(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝2 018， ∴1 009(a ＋b )＝2 018，∴a ＋b ＝2. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a(a )a ，即a＝2a a ，即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12log x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝()12log x -．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝()12log x -，所以函数f (x )的解析式为()()1212log ,00=0log ,0.x x f x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞，＝，，＜(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2，所以x ＝1或x ＝－1. 所以－5<x < 5.所以不等式的解集为{x |－5<x <5}．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN最接近的是1093.故选D.14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1 D.⎣⎡⎭⎫23，1 答案 A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________. 答案 2解析令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74.当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2. 16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1.(1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lgm(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1＋x 1－x ＝0，∴f (x )为奇函数．故f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9. ∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9. 即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第二章第6讲对数与对数函数含解析

[基础达标]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10 D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0. 3．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A ．3p ＋q 5B ．1＋3pq p ＋qC ．3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝a x －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x)＝log a 1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32.所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C. 5．(2019·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( ) A ．(0，2] B ．⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故选B.7．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k ，b ＝5k ，a ＋b ＝10k ，所以ab ＝10k ，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2019·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎫193，11 11．函数f (x )＝log 12(a x －3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x －3＝2x －3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1，由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x －3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. 12．(2019·浙江高考调研(一))已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.[能力提升]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k 98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2019·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e －2x ＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]．答案：1 [－13，15]4．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎡⎦⎤13，3 5．(2019·金华十校联考)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1.解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.6．已知函数f (x )＝log 2(mx 2－2mx ＋1)，m ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围；(2)设函数g (x )＝f (x )－2log 4x ，若对任意x ∈[0，1]，总有g (2x )－x ≤0，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，即mx 2－2mx ＋1>0在R 上恒成立，当m ＝0时，1>0恒成立，符合题意；当m ≠0时，必有⎩⎨⎧m >0Δ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >04m 2－4m <0⇒0<m <1. 综上，m 的取值范围是[0，1)．(2)因为g (x )＝f (x )－2log 4x ＝f (x )－log 2x ，所以g (2x )－x ＝f (2x )－2x ＝log 2(m ·22x －2m 2x ＋1)－2x ，对任意x ∈[0，1]，总有g (2x )－x ≤0，等价于 log 2(m ·22x －2m ·2x ＋1)≤2x ＝log 222x 在x ∈[0，1]上恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ·22x －2m ·2x ＋1>0，（*）m ·22x －2m ·2x ＋1≤22x 在x ∈[0，1]上恒成立．设t ＝2x ，则t ∈[1，2]，t 2－2t ≤0(当且仅当t ＝2时取等号)．(*)⇔⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0，（**）m （t 2－2t ）＋1≤t 2在t ∈[1，2]上恒成立．当t ＝2时，(**)显然成立．当t ∈[1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0m （t 2－2t ）＋1≤t2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1t 2－2t m ≥t 2－1t 2－2t在t ∈[1，2)上恒成立．令u (t )＝－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m 0，t 2－2t <0，且h (1)＝0，所以t 2－1t 2－2t≤0.故m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，1)．。

浙江专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数练习含解析

第6讲对数与对数函数[基础达标]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A ．3p ＋q5B ．1＋3pq p ＋qC ．3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2019·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.7．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2019·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，8310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1，由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 12 1＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min>a －2－3≥0，解得0<a ≤33. 12．(2019·浙江高考调研(一))已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中x >0，a >0.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.[能力提升]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2019·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]．答案：1 [－13，15]4．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 5．(2019·金华十校联考)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1. 解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.6．已知函数f (x )＝log 2(mx 2－2mx ＋1)，m ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围；(2)设函数g (x )＝f (x )－2log 4x ，若对任意x ∈[0，1]，总有g (2x)－x ≤0，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，即mx 2－2mx ＋1>0在R 上恒成立，当m ＝0时，1>0恒成立，符合题意；当m ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >04m 2－4m <0⇒0<m <1.综上，m 的取值范围是[0，1)．(2)因为g (x )＝f (x )－2log 4x ＝f (x )－log 2x ，所以g (2x )－x ＝f (2x )－2x ＝log 2(m ·22x －2m 2x＋1)－2x ，对任意x ∈[0，1]，总有g (2x)－x ≤0，等价于log 2(m ·22x－2m ·2x ＋1)≤2x ＝log 222x在x ∈[0，1]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ·22x－2m ·2x＋1>0，（*）m ·22x －2m ·2x ＋1≤22x在x ∈[0，1]上恒成立．设t ＝2x ，则t ∈[1，2]，t 2－2t ≤0(当且仅当t ＝2时取等号)．(*)⇔⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0，（**）m （t 2－2t ）＋1≤t 2在t ∈[1，2]上恒成立．当t ＝2时，(**)显然成立．当t ∈[1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧m （t 2－2t ）＋1>0m （t 2－2t ）＋1≤t 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1t 2－2t m ≥t 2－1t 2－2t在t ∈[1，2)上恒成立．令u (t )＝－1t 2－2t，t ∈[1，2)，只需m 0，t 2－2t <0，且h (1)＝0，所以t 2－1t 2－2t≤0.故m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，1)．。

【2020】高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第6讲 (2)

【最新】20xx版【2020】【2020】高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第6讲 (2)1．函数f(x)＝的定义域为( )A．B．(2，＋∞)C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)解析：选C.要使函数有意义，(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，所以x>2或0<x<，即函数f(x)的定义域为(0，)∪(2，＋∞)．2．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72，又0<log25<log26<log27，所以log52>log62>log72>0，所以a>b>c，故选D.4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1解析：选A.由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，loga b)，由函数图象可知－1<loga b<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.5．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为( )A． B.22C． D.12。

2019-2020年高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质2.6对数与对数函数课件理

(2)已知
a
2 3
＝49(a>0)，则
log2
3
a＝__3______.
解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＝lg 2，1b＝lg 5，∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1.
(2)因为
a
2 3
＝49(a>0)，所以
a＝94
3 2
＝323，
故
log2
3
a＝log2
3
323＝3.
撬法·命题法解题法
[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．
命题法对数的运算及对数函数的图象和性质的应用
典例 (1)函数 f(x)＝2ln x 的图象与函数 g(x)＝x2－4x＋5 的图象的交点个数为( )
性
质
当 x>1 时， y>0 当 0<x<1 时， y<0
当 x>1 时，y<0 当 0<x<1 时， y>0
在(0，＋∞)上是增函在(0，＋∞)上是减函
数
数
注意点对数的运算性质及公式成立的条件
对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现
log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误.
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)已知函数 f(x)＝|lg x|，若 a≠b，且 f(a)＝f(b)，则 a＋b 的取值范围是( )
A．(1，＋∞)

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6课时对数与对数函数学案(含解析)(1)(20

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对数与对数函数1．对数： (1）定义：如果Na b =)1,0(≠>a a 且,那么称为，记作 ,其中a 称为对数的底，N 称为真数。

① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2）基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log ．（3）运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝（n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝（a >0，a ≠1，m >0，m ≠1,N 〉0）⑤ log m na a nb b m= 。

2．对数函数:① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为（；2）函数的值域为；3）当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4）函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。

2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数分层演练理(含

第6讲对数与对数函数1．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是( ) A ．[1，2]B ．[1，2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选D.要使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 23（2x －1）≥0，解得：12<x ≤1，故定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A.由题意知f (x )＝log a x ，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1.所以a ＝2.所以f (x )＝log 2x . 3．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A.函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.4．(2019·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，b ＝log 0.40.5∈(0，1)，c ＝log 80.4<0，所以a >b >c .故选B. 5．(2019·河南平顶山模拟)函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0，a ≠1)，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，则( )A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数C ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，则说明函数f (x )关于直线x ＝－1对称，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，即|x ＋1|∈(0，1)，f (x )>0，则0<a <1.又u ＝|x ＋1|在(－∞，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，－1)上是增函数，选D.6．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x＋b 的图象上，则f (log 23)＝________．解析：由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1. 答案：－17．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 答案：38．若函数f (x )＝log a 2－1(2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以2x ＋1∈(0，1)，且log a 2－1(2x ＋1)>0，所以0<a 2－1<1，解得－2<a <－1或1<a <2；所以实数a 的取值范围是(－2，－1)∪(1，2)．答案：(－2，－1)∪(1，2)9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x－1>0，得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<a x1<a x2，故0<a x1－1<a x2－1，所以log a (a x1－1)<log a (a x2－1)．所以f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．1．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞)解析：选A.令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．2．函数f (x )＝|log 2x |，若0<a <1<b 且f (b )＝f (a )＋1，则a ＋2b 的取值范围为( ) A ．[4，＋∞) B ．(4，＋∞) C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：选D.画出f (x )＝|log 2x |的图象如图：因为0<a <11＋41＝5，所以a ＋2b 的取值范围为(5，＋∞)，故选D.3．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．答案：[1，2)4．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________．解析：显然x >0，所以f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 答案：－145．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．6．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1.解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈ (1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2.所以a ＋b2>1.。

2020高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-6对数与对数函数教师用书理苏教

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-6对数与对数函数教师用书理苏教1.对数的概念一般地，如果a (a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N 的对数，记作logaN＝b，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R).(2)对数的性质①＝ N ；②log aaN＝ N (a>0且a≠1).log a Na(3)对数的换底公式logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)＝logab.logm nab其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( ×)(2)logax·l ogay＝loga(x＋y).( ×)(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数.( ×)13log(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( ×)(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √)(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.( √)1.(教材改编)的值为 .答案23解析原式＝＝＝＝.2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为 .答案(－∞，]解析由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0，2]，故所求函数的值域为(－∞，].3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0，0<c<1，则logca 与logcb 的大小关系为 . 答案 logca<logcb解析 ∵0<c<1，∴y＝logcx 在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴logca<logcb. 4.(2017·徐州月考)函数y ＝的定义域为 . 答案 (，1]解析由log0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得<x≤1.5.(教材改编)若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是 . 答案 ∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，loga<logaa ＝1，∴0<a<；当a>1时，loga<logaa ＝1，∴a>1. ∴实数a 的取值范围是∪(1，＋∞). 题型一对数的运算例1 计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2＋lg ＋lg(0.01)－1； (2)2log32－log3＋log38－3log55. 解 (1)原式＝lg 112122[25210(10)]--⨯⨯⨯ ＝lg(5×2××102)1210＝lg ＝.7210(2)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3＝－1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝ .(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝ .答案(1) (2)1解析(1)∵a＝log43＝3＝log23＝log2，log22∴2a＋2－a＝log log+22-＝＋log2＝＋＝.(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋2－＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 .①a>1，c>1; ②a>1，0<c<1；③0<a<1，c>1; ④0<a<1，0<c<1.(2)(2016·宿迁模拟)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是 .答案(1)④(2)(，1)解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a<1，∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，]上的图象，可知f()<g()，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为(，1).思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数y ＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 .(2)已知f(x)＝|lg x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 . 答案 (1)② (2)f(c)>f(a)>f(b)解析 (1)由题意y ＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝()x ，显然图象错误；②中，y ＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y ＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log3(－x)的图象与y ＝log3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.(2)先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x|的图象，如图.由图可知，f(x)＝|lg x|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f()＞f(a)＞f(b)，而f()＝|lg |＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).所以f(c)＞f(a)＞f(b). 题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 (2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log0.53)，b ＝f(log25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 c ＜a ＜b解析由f(x)＝2|x －m|－1是偶函数可知m ＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a ＝f(log0.53)＝－1＝2，0.52log 3log 321=2-b ＝f(log25)＝－1＝－1＝4，2log 522log 52c ＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.命题点2 解对数不等式例4 (1)若loga<1，则a 的取值范围是 . (2)设函数f(x)＝－，))若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是 .答案 (1)(0，)∪(1，＋∞) (2)(－1，0)∪(1，＋∞)解析 (1)当a>1时，函数y ＝logax 在定义域内为增函数，所以loga<logaa 总成立. 当0<a<1时，函数y ＝logax 在定义域内是减函数，由loga<logaa ，得a<，故0<a<.综上，a 的取值范围为(0，)∪(1，＋∞).(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>－log2a或－－解得a>1或－1<a<0.命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ，则t(x)＝3－ax 为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a ，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立. ∴3－2a>0，∴a<.又a>0且a≠1，∴a 的取值范围为(0，1)∪. (2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a ，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x 的取值范围是 .(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为 .答案 (1)[0，＋∞) (2)[1，2)解析 (1)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1. 综上可知x≥0.(2)令函数g(x)＝x2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2).3.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例(1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0，0<c<1，则下列不等式正确的是 .①logac<logbc; ②logca<logcb；③ac<bc; ④ca>cb.(2)(2016·南京模拟)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则a，b，c的大小关系为 .(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是 .①a<b<c；②b<a<c；③c<b<a；④a<c<b.解析(1)对①：logac＝，logbc＝，因为0<c<1，所以lg c<0，而a>b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以①错；对②：logca＝，logcb＝，而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以②正确；对③：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以③错；对④：由y＝cx在R上为减函数，得ca<cb，所以④错.(2)因为20.3>20＝1，0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos 100<log41＝0，所以a>b>c.(3)由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.对照所给不等式可知①中关系不可能成立.答案(1)②(2)a>b>c (3)①1.(教材改编)给出下列4个等式：①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝；④＝4.其中正确的等式是 .(写出所有正确的序号)4答案①③④解析②中＝log23，故②不正确，①③④都正确.52log32.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为 .答案c<a<b解析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.3.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是 .答案①解析函数f(x)＝ln(x2＋1)是偶函数，排除③；当x＝0时，f(x)＝0，排除②、④.4.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝则f(2 018)＝ .答案 2 019解析由已知f(2 018)＝f(2 017)＋1＝f(2 016)＋2＝f(2 015)＋3＝…＝f(1)＋2 017＝log2(5－1)＋2 017＝2 019.5.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝ .答案－1解析由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝＝－1.24log51(2)5-+6.若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(，＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 .答案 (0，＋∞)解析令M ＝x2＋x ，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y ＝logaM 为增函数，又M ＝(x ＋)2－，因此M 的单调递增区间为(－，＋∞). 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 7.(2015·安徽)lg ＋2lg 2－－1＝ . 答案－1解析 lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2 ＝lg －2＝1－2＝－1.8.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab ＋logba ＝，ab ＝ba ，则a ＝，b ＝ . 答案 4 2解析令logab ＝t ，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab ＋logba ＝，得t ＋＝，解得t ＝或t ＝2(舍去)，即logab ＝，∴b＝，又ab ＝ba ，∴＝()a ，即，亦即＝，解得a ＝4，∴b＝2.2a a9.已知函数f(x)＝loga(2x －a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a 的取值范围是 . 答案 (，1)解析当0<a<1时，函数f(x)在区间[，]上是减函数，所以loga(－a)>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是(，1).*10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.其中是真命题的序号为 .答案①③④解析∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0，1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是 .答案(－2，0)∪(2，＋∞)解析当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1， f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－2<x<0；当x>0时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，综上，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是 .答案7解析由f(m)＋f(2n)＝3，得log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，由基本不等式得()2≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.*13.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).*14.(2016·盐城模拟)已知函数f(x)＝ln .(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln ＝ln x－1x＋1＝ln()－1＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)＝ln 是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，∴>>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第六节对数与对数函数课件理

(3)已知 2x＝12，log213＝y，则 x＋y 的值为________． (4)设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[ 听前试做 ] (1) log232－4log23＋4 ＝ log23－22 ＝ 2 － log23，又 log213＝－log23，两者相加即为 B.
)
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则实数 a 的取值范围是________．
[听前试做] (1)f(x)＝lg|x＋1 1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y
＝－lg|x|的图象左移 1 个单位得到．由 y＝－lg|x|的图象可知选 D.
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax.当 a>1 时不满足条件；当
1．对数的概念如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ；②logaMN＝ logaM-logaN ；
(4)函数 y＝log2x 及 y＝log133x 都是对数函数．(
)
(5) 对数函数 y ＝ logax(a>0 ，且 a≠1) 在 (0 ，＋ ∞) 上是增函数．( )
(6) 函数
y
＝
ln
1＋x 1－x
与
y ＝ ln(1 ＋ x) － ln(1 － x) 的定义域相
同．( )
3．函数 y＝ log133x＋4的定义域为________．答案：－43，－1

2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.6 对数与对数函数

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1).2．对数log a N (a >0，a ≠1)具有下列性质 (1)N >0；(2)log a 1＝0；(3)log a a ＝1. 3．对数运算法则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M α＝αlog a M . 4．对数的重要公式 (1)对数恒等式：log a Na＝N .(2)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b .5．对数函数的图象与性质6.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m n a b .提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________. 答案 2 3．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．函数y______．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析由23log (21)x －≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y⎝⎛⎦⎤12，1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________. 答案－20 解析原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________. 答案 6解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝3log 23＋3log 29＝2＋9log 49＝2＋4＝6.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )答案 C解析先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． (2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数即方程|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x的解的个数，即函数y ＝|log 0.5x |与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． (3)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(3)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例2 设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．a >c >b D ．c >b >a答案 A解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数方程、不等式例3 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案 x ＝ 5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，12解析原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解．所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用例4 (1)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为______．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. (3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1,2]解析当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，00，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c答案 B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >b >c解析因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .(4)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号) ①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c a >c解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c.1．log 29·log 34等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析方法一原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．(2018·宁夏银川一中模拟)设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a log 0.40.4＝1， c ＝log 80.4<log 81＝0，∴a ，b ，c 的大小关系是c <a 0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.72答案 A解析由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝31log 23－＋1＝3log 23＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5.4．函数f (x )＝x log a |x ||x |(0<a <1)的大致图象是( )答案 C解析当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C. 5．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝1 009(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝2 018， ∴1 009(a ＋b )＝2 018，∴a ＋b ＝2.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴(a )a ，即2a a ，即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12log x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝()12log x -．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝()12log x -，所以函数f (x )的解析式为()()1212log ,00=0log ,0.x x f x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞，＝，，＜(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2，所以x ＝1或x ＝－1. 所以－5<x < 5.所以不等式的解集为{x |－5<x <5}．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN最接近的是1093.故选D.14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1 D.⎣⎡⎭⎫23，1 答案 A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________. 答案 2解析令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74.当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2. 16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1.(1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lgm(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1＋x 1－x ＝0， ∴f (x )为奇函数．故f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9. ∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9. 即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数教案理(含解析)新人教A版

第6讲对数与对数函数基础知识整合1．对数的定义如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作□01x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么(1)log a (M ·N )＝□02log a M ＋log a N ， (2)log a M N ＝□03log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．3．对数函数的图象与性质4．反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝□07log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□08y ＝x 对称．1．对数的性质(a ＞0且a ≠1)(1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)alog aN ＝N . 2．换底公式及其推论(1)log a b ＝log c b log c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)； (2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a； (3)log a m b n ＝n mlog a b ；(4)log a b ·lo g b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2018·广东湛江模拟)函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( )A ．(0，e)B ．(0，e]C ．[e ，＋∞) D．(e ，＋∞)答案 B解析要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－ln x ≥0，x >0，解得0<x ≤e，则函数f (x )的定义域为(0，e]．故选B.2．(2019·吉林模拟)不等式log 3(2x －1)≤2的解集为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 C ．(－∞，5]D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72 答案 B解析 ∵log 3(2x －1)≤2可化为log 3(2x －1)≤log 39，∴0<2x －1≤9，∴12<x ≤5.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5.故选B. 3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值是( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1，0<22<1，2>1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝f (2)＝log 22＝12，故选C. 5．(2019·长沙模拟)函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是( )A ．[0,1]B ．[0，＋∞) C．(－∞，0] D ．[1，＋∞)答案 B解析－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)，故选B.6．(2015·浙江高考)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案 433解析原式＝2log 43＋2－log 43＝3＋13＝433. 核心考向突破考向一对数的化简与求值例1 (1)化简12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 答案 12。

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