高考数学复习课件：函数的奇偶性与周期性

数 f(x)是偶函数
数 f(x)是奇函数
图象特征
关于_y_轴__对称
关于_原__点_对称
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条 件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ff－xx＝－1. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ff－xx＝1.
[跟进训练]
4x＋t， x≥0，
1．函数 f(x)＝gx， x＜0
为定义在 R 上的奇函数，则
f(log2 13)等于(
)
A．23
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3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝
－4x2＋2，－1≤x＜0， x，0≤x＜1，
则f 32＝________.
1 [f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1.]
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4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5] 时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为 ________．
(2)[解] ①由3x2－－x32≥ ≥00， ， 得x2＝3，解得x＝± 3， 即函数f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
1－x2＞0， ②由|x－2|≠2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称， ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－－xx2. 又∵f(－x)＝lg(1－x－x2)＝－lg1－－xx2＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则 ①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x) ＝2b. (4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)． (5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
(1)－3 (2)－2 [(1)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可 知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax， 则f(ln 2)＝e－aln 2＝8， ∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln
法二：(特值法)因为函数f(x)＝1k＋－k2·2x x为奇函数，所以f(－1)＝ －f(1)，即1k＋－k2·2－－11＝－1k＋－22k，
即22k＋－k1＝22k－＋k1.整理得k2＝1，解得k＝±1.经检验，当k＝±1时， 函数f(x)为奇函数．]
点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用 f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求 解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般 利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．
2．函数的周期性 (1)周期函数． 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域 内的任何值时，都有_f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_____，那么就称函数 y＝f(x)为周期 函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期． 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数__，那么这 个_最__小__的__正__数__就叫做 f(x)的最小正周期． 提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x) 的周期．
2．设函数f(x)＝ex－2e－x，则下列结论错误的是(
)
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
D [∵f(x)＝ex－2e－x， 则f(－x)＝e－x2－ex＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． ∵f(|－x|)＝f(|x|)， ∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]
(－2,0)∪(2,5] [由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0； 当2＜x≤5时，f(x)＜0， 又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]
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02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
数，不是奇函数，排除A. 对于B，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇
非偶函数，排除B.
对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是 增函数，排除C.
对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝ x2，x≥0 x|x|＝－x2，x＜0 ，则函数为增函数，故选D.]
2．周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝f1x，则T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝－f1x，则T＝2a(a＞0)．
3．函数的图象的对称性 (1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函 数)，则 ①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)． (2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇 函数)，则 ①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)； ③f(2a－x)＝－f(x)．
f(x)＋f(－x)的值，再求所求．
求函数解析式
[典例2－2] (2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝
ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 C．－e－x－1
B．e－x＋1 D．－e－x＋1
D [当x<0时，－x>0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 故选D.] 点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间 上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．
2)＝－f
ln
12＝－
(－ealn )＝8，∴aln 12＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3. (2)∵f(a)＋f(－a)＝ln( 1＋a2－a)＋1＋ln( 1＋a2＋a)＋1
＝ln(1＋a2－a2)＋2＝2. ∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.] 点评：本例T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对 称．
∵当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函 数f(x)为奇函数．
二、教材习题衍生
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x3
B．y＝x2
C．y＝|ln x|
D．y＝2－x
B [A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
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Baidu Nhomakorabea
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋ x)，则f(－1)＝________.
－2 [f(1)＝1×2＝2， 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
函数奇偶性的判断 函数奇偶性的应用 函数的周期性、图象的对称性及应用
考点一 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶× 偶＝偶，奇×偶＝奇．
[典例1] (1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
函数的奇偶性与周期性
[考试要求] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数 的周期性．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能
1．函数的奇偶性
项目
偶函数
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 定义 都有__f(_－__x_)_＝__f(_x_)_，那么函 都有_f_(_－__x_)＝__－___f(_x_)，那么函
令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝ －F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．
令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)， ∴F4(x)为偶函数，故D错误．]
点评：(1)本例T(2)第②小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对 值号是解题的关键．
(2)y＝ln11－ ＋xx，y＝lg( x2＋1＋x)都是奇函数．
[跟进训练]
1．下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋1
B．y＝11－＋xx
C．y＝－1x
D．y＝x|x|
D [对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．( ) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞ 0)的周期函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[常用结论] 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在 关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a) 是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
利用奇偶性求参数的值 [典例2－3] 若函数f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.
±1 [法一：(定义法)因为函数f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义域上为奇函 数，所以f(－x)＝－f(x)，即1k＋－k2·2－－x x＝－1k＋－k2·2xx，
化简得(k2－1)(22x＋1)＝0， 即k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝±1时，函数f(x)为奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用 已知函数奇偶性可以解决的三个问题
利用函数的奇偶性求值 [典例2－1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时， f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________. (2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln( 1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则 f(－a)＝________.
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； ②f(x)＝|lxg－12－|－x22 ； ③f(x)＝x－2＋x2＋x，xx，＜x0＞，0.
(1)C [令F1(x)＝f(x)·g(x)， 则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x) ＝－F1(x)， ∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误． 令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x) ＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．