相似三角形判定(二)
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A’
∴△ABC∽△A’B’C’ ABC∽△ B C
A
B
C
B’
C’
练习:下列图形中两个三角形是否相似？ 练习 下列图形中两个三角形是否相似？ 下列图形中两个三角形是否相似
A 2 D 4 B
图 (1)
A 3 E 6 6 B C A 4 D 6 B
图( 3) 图 (2)
4 E 2 D 3
C
5 E 3 C
，
C
E
求证：（1）∆ABC∽∆ADE ∽
（2）∠1=∠2 ） ∠
猜想： 猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边 对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A＝ ABC和 BC中
AB AC ∠A’， ， = , A ' B ' A 'C '
相似三角形判定（ 相似三角形判定（二）
全等三角形 的判定方法
相似三角形 的判定方法
全等三角形 的判定方法
•定义 定义 •边边边公理 边边边公理 边边边 •边角边公理 边角边公理 边角边 •角边角公理 角边角公理 角边角 •角角边定理 角角边定理 角角边 •斜边、直角 斜边、 斜边 边公理
相似三角形 的判定方法
全等三角形 的判定方法
•定义 定义 •边边边公理 边边边公理 边边边 •边角边公理 边角边公理 边角边 •角边角公理 角边角公理 角边角 •角角边定理 角角边定理 角角边 •斜边、直角 斜边、 斜边 边公理
相似三角形 的判定方法
定义 ；预备定理 边边边定理 边角边定理
已知： 平分 平分∠ 的垂直平分线交AD于 例3.已知：AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交 于 已知 的垂直平分线交 延长线于F， 交BC延长线于 ， 延长线于
求证： ABC∽△ B C 求证：△ABC∽△A’B’C’
A M B C B’
A’ N C’
结论： 结论： 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对 应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 在△ABC和△A’B’C’中， ABC和 BC中
AB AC = , ∠A＝∠A’， ∠A ∵ ， A ' B ' A 'C '
B
A D
E
C
3.求证：如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边的对应比相等，那么 这两个三角形相似.
4.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中 已知：如图， 已知 中 ＝ ， 是中 上一点， 线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长 是 上一点 作 ∥ ，延长BP 交AC于E，交CF于F． 于 ， 于 ． 2 求证： 求证：BP = PEiPF ．
A D
C
B
(1)若CD:CB=______,△CBD∽△ (1)若CD:CB=______,△CBD∽△CAB; (2)若CB2=______,△CBD∽△CAB; (2)若 =______,△CBD∽△ (3)若CD:CA=BD:BA,能否判断△CBD∽△ (3)若CD:CA=BD:BA,能否判断△CBD∽△CAB? 能否判断
A B D
1 2
O
3
C
E
例1.已知：如图所示：点C为∆ADE边DE边上的点， 边 边上的点 边上的点，
AB AC BC = = （1） AD AE DE ）
，
AB AD （2）∠1=∠2, ） ∠ = AC AE
求证： ∆ABC∽∆ADE ∽
例2 如图, 如图,点D是△ABC中AC边上的一点, ABC中AC边上的一点, 边上的一点
A Q P
D R
F
B
C
E
G
5.如图：△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角 如图： 如图 、 、 是三个全等的等腰三角 底边BC、 、 在同一直线上 在同一直线上， 形，底边 、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1， ， ， 连接BF，分别交AC、 、 于点 于点P、 、 。 连接 ，分别交 、DC、DE于点 、Q、R。 求证： 求证：△BFG∽△FEG，并求出 的长 ∽ ，并求出BF的长
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这 三组对应边的比相等 A’ 两个三角形相似 相似。 两个三角形相似。
A
B
C B’ C’
在△ABC和△A’B’C’中, 和 中
AB BC AC ∵ = = A' B ' B ' C ' A' C '
∴△ABC∽△A’B’C’ ∽
FD 求证： 求证：
2
= FBiFC
E
A
B
D
C
F
已知： 例4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 已知 如图， △ 中 ＝ 90°，AB＝BE＝EF＝FC。 ° ＝ ＝ ＝ 。 求证： 求证：△AEF∽△CEA ∽
变式： 变式：∠AFE+∠ACE= ∠
°
练习： 练习： 1.如图 如图, AD·AB=AE AC,则 AB=AE·AC, 1.如图, 若AD AB=AE AC,则 _______∽ ______, △_______∽△______,且 B=_____ _____. ∠B=_____. 2.
练习：下面两个三角形是否相似 为什么 为cm 5cm C 2cm E 3.5cm 2.5cm F
A B D
1 2
O
3
例1.已知：如图所示：点C为∆ADE边DE边上的点， 边 边上的点 边上的点，
AB AC BC = = AD AE DE
定义 ；预备定理 ？ ？
猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等， 猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。 那么这两个三角形相似。
如图,在 如图 在△ABC和△A’B’C’中, 和 中 A A’ AB BC AC = = A' B ' B ' C ' A' C ' 求证:△ 求证 △ABC∽△A’B’C’ ∽ D E C B 证明:在线段 在线段A’B’(或它的延长 证明 在线段 或它的延长 上截取A’D=AB,过点 作 过点D作 线)上截取 上截取 过点 B’ C’ DE//B’C’,交A’C’于点 于点E, 交 于点 ∴△A’DE∽△A’B’C’ ∽ 同理 DE = BC A' D DE A' E ∴ = = ∴△A’DE≌△ABC ≌ A' B ' B ' C ' A' C ' BC AC 又 AB = = , A' D = AB ∴△ABC∽△A’B’C’ ∽ A' B ' B ' C ' A' C ' A' E AC ∴ = ∴ A' E = AC A' C ' A' C '
∴△ABC∽△A’B’C’ ABC∽△ B C
A
B
C
B’
C’
练习:下列图形中两个三角形是否相似？ 练习 下列图形中两个三角形是否相似？ 下列图形中两个三角形是否相似
A 2 D 4 B
图 (1)
A 3 E 6 6 B C A 4 D 6 B
图( 3) 图 (2)
4 E 2 D 3
C
5 E 3 C
，
C
E
求证：（1）∆ABC∽∆ADE ∽
（2）∠1=∠2 ） ∠
猜想： 猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边 对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A＝ ABC和 BC中
AB AC ∠A’， ， = , A ' B ' A 'C '
相似三角形判定（ 相似三角形判定（二）
全等三角形 的判定方法
相似三角形 的判定方法
全等三角形 的判定方法
•定义 定义 •边边边公理 边边边公理 边边边 •边角边公理 边角边公理 边角边 •角边角公理 角边角公理 角边角 •角角边定理 角角边定理 角角边 •斜边、直角 斜边、 斜边 边公理
相似三角形 的判定方法
全等三角形 的判定方法
•定义 定义 •边边边公理 边边边公理 边边边 •边角边公理 边角边公理 边角边 •角边角公理 角边角公理 角边角 •角角边定理 角角边定理 角角边 •斜边、直角 斜边、 斜边 边公理
相似三角形 的判定方法
定义 ；预备定理 边边边定理 边角边定理
已知： 平分 平分∠ 的垂直平分线交AD于 例3.已知：AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交 于 已知 的垂直平分线交 延长线于F， 交BC延长线于 ， 延长线于
求证： ABC∽△ B C 求证：△ABC∽△A’B’C’
A M B C B’
A’ N C’
结论： 结论： 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对 应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 在△ABC和△A’B’C’中， ABC和 BC中
AB AC = , ∠A＝∠A’， ∠A ∵ ， A ' B ' A 'C '
B
A D
E
C
3.求证：如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边的对应比相等，那么 这两个三角形相似.
4.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中 已知：如图， 已知 中 ＝ ， 是中 上一点， 线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长 是 上一点 作 ∥ ，延长BP 交AC于E，交CF于F． 于 ， 于 ． 2 求证： 求证：BP = PEiPF ．
A D
C
B
(1)若CD:CB=______,△CBD∽△ (1)若CD:CB=______,△CBD∽△CAB; (2)若CB2=______,△CBD∽△CAB; (2)若 =______,△CBD∽△ (3)若CD:CA=BD:BA,能否判断△CBD∽△ (3)若CD:CA=BD:BA,能否判断△CBD∽△CAB? 能否判断
A B D
1 2
O
3
C
E
例1.已知：如图所示：点C为∆ADE边DE边上的点， 边 边上的点 边上的点，
AB AC BC = = （1） AD AE DE ）
，
AB AD （2）∠1=∠2, ） ∠ = AC AE
求证： ∆ABC∽∆ADE ∽
例2 如图, 如图,点D是△ABC中AC边上的一点, ABC中AC边上的一点, 边上的一点
A Q P
D R
F
B
C
E
G
5.如图：△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角 如图： 如图 、 、 是三个全等的等腰三角 底边BC、 、 在同一直线上 在同一直线上， 形，底边 、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1， ， ， 连接BF，分别交AC、 、 于点 于点P、 、 。 连接 ，分别交 、DC、DE于点 、Q、R。 求证： 求证：△BFG∽△FEG，并求出 的长 ∽ ，并求出BF的长
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这 三组对应边的比相等 A’ 两个三角形相似 相似。 两个三角形相似。
A
B
C B’ C’
在△ABC和△A’B’C’中, 和 中
AB BC AC ∵ = = A' B ' B ' C ' A' C '
∴△ABC∽△A’B’C’ ∽
FD 求证： 求证：
2
= FBiFC
E
A
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C
F
已知： 例4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 已知 如图， △ 中 ＝ 90°，AB＝BE＝EF＝FC。 ° ＝ ＝ ＝ 。 求证： 求证：△AEF∽△CEA ∽
变式： 变式：∠AFE+∠ACE= ∠
°
练习： 练习： 1.如图 如图, AD·AB=AE AC,则 AB=AE·AC, 1.如图, 若AD AB=AE AC,则 _______∽ ______, △_______∽△______,且 B=_____ _____. ∠B=_____. 2.
练习：下面两个三角形是否相似 为什么 为cm 5cm C 2cm E 3.5cm 2.5cm F
A B D
1 2
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3
例1.已知：如图所示：点C为∆ADE边DE边上的点， 边 边上的点 边上的点，
AB AC BC = = AD AE DE
定义 ；预备定理 ？ ？
猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等， 猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。 那么这两个三角形相似。
如图,在 如图 在△ABC和△A’B’C’中, 和 中 A A’ AB BC AC = = A' B ' B ' C ' A' C ' 求证:△ 求证 △ABC∽△A’B’C’ ∽ D E C B 证明:在线段 在线段A’B’(或它的延长 证明 在线段 或它的延长 上截取A’D=AB,过点 作 过点D作 线)上截取 上截取 过点 B’ C’ DE//B’C’,交A’C’于点 于点E, 交 于点 ∴△A’DE∽△A’B’C’ ∽ 同理 DE = BC A' D DE A' E ∴ = = ∴△A’DE≌△ABC ≌ A' B ' B ' C ' A' C ' BC AC 又 AB = = , A' D = AB ∴△ABC∽△A’B’C’ ∽ A' B ' B ' C ' A' C ' A' E AC ∴ = ∴ A' E = AC A' C ' A' C '