高中数学第一章1.3.3已知三角函数值求角预习导航学案新人教B版必修8

1.3.3 已知三角函数值求角
预习导航
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arcsin_y 11,2
2y x π
π⎛
⎫
-≤≤-
≤≤
⎪⎝
⎭
． 注意：(1)arcsin y 的含义：表示,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上正弦等于y 的那个角，即sin(arcsin y )＝y (－1≤y ≤1)．
(2)当0<y ≤1时，arcsin y ∈0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
； 当y ＝0时，arcsin y ＝0； 当－1≤y <0时，arcsin y ∈,02π⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭
． (3)arcsin(－y )＝－arcsin y ． 2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)．
注意：(1)符号arccos y 的含义：①arccos y 表示一个角；②－1≤y ≤1，且0≤arccos
y ≤π．③cos(arccos y )＝y ．
(2)当0<y ≤1时，arccos y ∈0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
；当y ＝0时，arccos y ＝2π；当－1≤y <0时，arccos y ∈,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
． (3)arccos(－y )＝π－arccos y ．如cos x ＝
23，则x ＝arccos 23，若cos x ＝－23
，则x ＝arccos 23⎛⎫
-
⎪⎝⎭
＝π－arccos 23，则x ＝arccos y 表示[0，π]内的一个角． 3．已知正切值，求角
如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )，且x ∈,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y ,22y R x ππ⎛
⎫∈-<< ⎪⎝⎭
． 注意：(1)arctan y 的含义：①arctan y 表示一个角；②y ∈R ，且－2π<arctan y <2
π
；③tan(arctan y )＝y ．
(2)当y <0时，arctan y ∈,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； 当y ＝0时，arctan y ＝0； 当y >0时，arctan y ∈0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
． (3)arctan(－y )＝－arctan y ． 4．已知三角函数值求角的基本类型 剖析：
提示：已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：
第一步，确定角x可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1．
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2π)内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π．
第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．。