平行四边形单元提高题检测试题

平行四边形单元提高题检测试题

一、解答题

1．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．

（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>

；

（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长． 2．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？

（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．

（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接

DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．

（1）求证：GF GC =；

（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．

4．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．

（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；

（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．

5．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且

DF BE ＝，求证：CE CF ＝；

拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，

16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．

6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．

（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．

（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求

PE PF PG ++的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．

7．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使

AE AD =，EAD BAC ∠=∠．

（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）

①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；

（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

8．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．

（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝

1

4

S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝1

4

S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；

（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝1

4

S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．

9．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1

2

CBE ABF ∠=

∠．

（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；

（2）如图2，当3

2

b a =

时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；

②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．

10．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．

（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．

（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．

（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．

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一、解答题

1．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）410

DE =． 【分析】

（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，

①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；

②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点

M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理