单容水箱水位控制

单容水箱是一个自衡系统，自衡调节过程比较缓慢，液位很难达到预期值。

加入闭环调整后，系统的性能有所改善。

但是，实际过程中往往要求要求水箱系统超调小、响应快、稳态误差小。

并且要求水箱在一定扰动下，即出水阀门打开后，液位能够平稳、快速、准确地恢复到一个恒定值。

因此，在水箱液位控制过程中引入PID调节。

原理图：
单容水箱液位闭环控制系统
系统闭环结构框图：
系统闭环机构框图
电位器模型：
通过杠杆原理将液面高度与电压的关系联系起来，且两者的关系为正比关系。

假设h 为液位的增量，u为电位器电压，则电位器传递函数为
电动机及减速器模型：
假设:Lα为电机电感，Rα为电枢电阻，iα为电枢电流，Eα为电枢反电势，C e为电枢反电势系数, ω为电机轴的角速度, J m为电机和负载的转动惯量, f m为电机和负载的黏性摩擦系数，M m为电机产生的主动力力矩，M e为负载力矩，C m为电机转矩系数，θ为电机轴转过角度，b 为调节阀开度增量。

电枢回路电压平衡方程：
电动机轴上的转矩平衡方程：
电磁转矩方程：
整理得
对上式取拉氏变换，设初始条件为零，得到电机传递函数为
设减速器减速比为K S,则减速器传递函数为
则电机及减速器传递函数为
其中，
调节阀与水箱模型
假设: Q i为输入水流量的稳态值，q i为输入水流量的增量，Q0为输出水流量的稳态值，q0为输出水流量的增量，H为液位高度，H0为液位稳态值，S为水箱横截面积，R为流出端负载阀门的阻力即液阻(液位的变化量/出料流量的变化量)，K u为阀门流量系数。

假设初始时刻处于平衡状态: Q0=Q i，h=H0。

在dt时间内，水箱内水量变化为(q i-q0)dt=Sdh
当调节阀压差不变时，有q i=K u b
输出水流量Q与液位高度H的关系为，这是一个非线性关系式，在平衡点(H0,Q0)附近进行线性化，得
整理得
经整理得，系统的开环传递函数为
假设K1=0.5，K2=1，K3=1，T2=0.5，T3=3，则系统开环传递函数为
水箱的出水量与水压有关，而水压又与水位高度近乎成正比。

这样，当水箱水位升高时，其出水量也在不断增大。

所以，若入水阀门开度适当，在不溢出的情况下，水位的上升速度将逐渐变慢，最终达到平衡。

由此，单容水箱系统是一个自衡系统。

但是，单容水箱的自衡过程比较缓慢，而且液位很难达到预期值。

加入闭环调整以及PID控制后，系统的性能有所
改善。

用Simulink建立模型并进行分析。

系统模型框图如下
由系统的开环传递函数可知该系统为I型系统, 对于单位阶跃输入来说，稳态误差为0。

因此, K i=0。

在保证响应快、超调小的基础上，利用试凑法联合调节K p、K d。

当K p=9，K d=10.5时，稳态误差为零，超调量较小，响应时间为14s，仿真结果如下:
Bode图
Nyquist图
前面的单闭环控制系统设计，系统调节时间较长，最大偏差较大，单环控制效果不佳，采用串级控制可提高系统性能，减少调节时间，减小最大偏差。

下图为串级控制系统仿真框图：
对副调节器进行整定，参数为K p=1.5，K i=0，K d=0.5，得到串级控制系统仿真如下图所示，调节时间减少到8s，最大偏差减小。

Bode图
Nyquist图。