2012考研数学一真题答案(完整版)

数一参考答案
9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12
； 13、2； 14、34
三、解答题 (15)
证明：令()2
1ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数
()2
12ln
sin 11x x f x x x x x +'=+----
()00
f '=
()()()
222221411
cos 1
111x x f x x x x x -+''=++--+--()
()
2
2
224
4
cos 120
11x x x =
--≥
->--
所以
()()00f x f ≥=
即证得：()2
1ln cos 11112
x x x x x x ++≥+-<<- (16)
解：()()()()()
2
2
2222222
2
2
2
2,10
,0
x y
x y x y x y f
x y e xe
x e
x x
f x y xe y y
+
++--
-
+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨
∂⎪=-=⎪∂⎩
得驻点()()121
,0,1,0P P -
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y
f x y xe y y
++--+-+-
⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪
=--⎨
∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以
()11
,0,P -为极小值点，极小值为
()1
2
1,0f e --=-
把()21
,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以
()21
,0P 为极大值点，极大值为
()12
1,0f e
-
=
(17) 解：（Ⅰ）收敛域
22(1)1
222
22211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1
n n n n n n n n n x
a x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令2
1x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。

所以，收敛域为(1,1)-
（Ⅱ）设
222222000
443(21)22()[(21)](1)212121n n n n
n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞
∞∞===++++===++<+++∑∑∑
令210
()(21)n
n S x n x ∞
-=
+∑，2202
()21
n n S x x n ∞
-=+∑
因为
22112
()(21)(1)1x
x
n
n n n x
S t dt n t dt x x x ∞
∞
+===+==
<-∑∑⎰
⎰ 所以2
1222
1()()(1)1(1)
x x S x x x x +'==<-- 因为21202
()21
n n xS x x n ∞
+-=
+∑ 所以2222
1
[()]222(1)1n
n n n xS x x
x x x
∞
∞
--'=
==⋅
<-∑∑
所以
220
01111[()]2()ln (1)1111x
x
x x tS t dt dt dt x t t t x
+'=⋅
=+=<-+--⎰
⎰⎰ 即201()ln
1x
x xS x x +=-，故21()ln 1x
xS x x
+=- 当0x ≠时，211()ln
1x
S x x x
+=
- 当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==
所以，222
12111ln (1,0)(0,1)
()()()(1)130
x x
x S x S x S x x x x
x ⎧+++∈-⋃⎪=+=--⎨⎪=⎩
(18)解：
曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为
sin ()
dy t
dx f t -='，过该点(,)x y 处的切线为sin cos (())()
t
Y t X f t f t --=
-'。

令0Y =得()cot ()X f t t f t '=+。

由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.
故有22[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+=，又因为'()0(0)2
f t t π
><<
所以sin ()cot t
f t t
'=
，两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+-+，又由于(0)0f =，所以C=0 故函数()ln sec tan sin f t t t t =+-
此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为：
20
cos ()4
S tf t dt π
π
'==
⎰
(19)解：
补充曲线1L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1L 围城的区域。

由格林公式可得 原式=1
1
23233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y +++--++-⎰⎰
=
1
1
2
2(313)(2)12D
L D
L x
x d y dy d ydy σσ+---=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
22222001121244222
ydy y ππ
ππ=
⋅⋅-⋅⋅-=-=-⎰
(20)解：
（I ）
414
1001000010=101(1)1010010010100
1a a a a A a a a a a a a
+⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⨯+⨯-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(II) 对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：
23
2100110011
001010101010101001000
100
010001000
10
01a a
a a a a a a a a
a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4
21001010100100
01a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有410a -=且2
0a a --=，可知1a =-
此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000-⎡⎤⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，进一步化为最简形得1
001001011001100
000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，非齐次方程的特解为0100⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，故其通解
为10111010k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(21)解： （1）
由二次型的秩为2，知()2T
r A A =，故()()2T
r A r A A == 对矩阵A 初等变换得
1011
011
011
01011011011011100
010
010
010*********a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-+++⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥
----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因()2r A =，所以1a =-
（2）令202022224T B A A ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
2
02202102
022(2)22(2)122(2)(6)022*******
E B λλλλλλλλλλλλλλ------=
--=----=----=--=-------所以B 的特征值为1230,2,6λλλ===
对于10λ=，解1()0E B X λ-=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=- 对于22λ=，解2()0E B X λ-=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=- 对于36λ=，解3()0E B X λ-=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α= 将123,,ααα单位化可得
1211111,1,1102ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
-⎭⎭⎭
正交矩阵0
Q ⎛ =
⎝
，则026T
Q AQ ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 因此，作正交变换x Qy =，二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+
（22）解：
（Ⅰ）{}{}{}1120,02,1044
P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-
cov(,)X Y EXY EXEY =-，其中2225
,1,1,,33
EX EX EY EY ====
2245
()199DX EX EX =-=-=
2252()133DY EY EY =-=-=，2
3
EXY =
所以，22
cov(,)0,cov(,),cov(,),033
XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===-=-=
(23)解：
（1）因为2(,)X N u σ ，2(,2)Y N u σ ，且X 与Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y σ=-
所以Z
的概率密度为22
26(,)()z f z z σσ-
-∞<<∞
（2）最大似然函数为
22
2261
1
()(;)),(1,2,,)i z n n
i i i i L f z z i n σσσ-
===∏=∏-∞<<∞=
两边取对数，得
22
2
21
1ln ()[ln ]26n
i i Z L σσσ==--∑
两边求导得
2222
222222
11
ln ()11[][3]()26()6()n n i i i i Z d L n Z d σσσσσσ===-+=-+∑∑ 令
22ln ()0()
d L d σσ=，得2
2113n i i Z n σ==∑ 所以2
σ的最大似然估计量2
2
1
13n i i Z n σ==∑ （3）证明：222
22111
111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑ 所以2σ
为2σ的无偏估计量。