千题百炼- 立体几何空间距离与截面100题(原卷版)

专题18 立体几何空间距离与截面100题
任务一:空间中的距离问题1-60题
一、单选题
1．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且1PA =，2AB AD ==，则点A 到平面PBD 的距离为（ ）
A ．
3 B C D
2．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为0,1,1s
，则点4,3,2P 到l 的距离为（ ）
A B C D
3．在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，若PA ⊥平面ABC ，4PA =，则点P 到BC 的距离是（ ）
A B ．5 C ．D ．
4．在四面体P ABC -中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设PA PB PC a ===，则点P 到平面ABC 的距离为（ ）
A B C ．3a D
5．已知直线l 的方向向量为()=1,0,1a ，点()1,2,1A -在l 上，则点()3,1,1P 到l 的距离为（ ）
A ．
B ．1
C ．3
D ．2
6．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为1A B 和11B D 的中点，则点B 到EF 的距离为（ ）
A B C ．2 D
7．若平面α的一个法向量为()1,2,2n →=，点()3,0,2A ，()5,1,3B ，A α，B α∈，A 到平面α的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知(2,1,0),(1,0,1),(3,2,3)A B C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）
A B C D
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为（ ）
A B
C D 10．如图所示的三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，π2
ABC ∠=，若PA a =，AB c =，10PB =，
BC =ac 取最大值时，点A 到平面PBC 的距离为（ ）
A B C ．D ．5
11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为A 1B 1的中点，下列说法中正确的是（
）
A ．ED 1与
B 1
C 所成的角大于60°
B ．点E 到平面AB
C 1
D 1的距离为1
C ．三棱锥E ﹣ABC 1
D ．直线C
E 与平面ADB 1所成的角为4π
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的点，且
(02)CN a a =<<，现有下列结论： ①当2
3a =时，//AM 平面BDN ；
②存在(0,2)a ∈，使得MN ⊥平面BDN ；
③当1a =时，点C 到平面BDN ；
④对任意(0,2)a ∈，直线AM 与BN 都是异面直线．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
13．重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线
的交点.若正三棱锥H ABC -的底面边长为2，侧棱长为G 到底面的距离为（ ）
A B C D
14．三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（ ） A ．
125 B ．95 C ．65 D ．35
15．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AD ，1AA ，11A B 的中点，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）．
A ．12
a B C ．a D
16．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG =2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则点B 到平面GEF 的距离为（ ）
A B C D
17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，12CC =，E 是CD 的中点，求D 到面1D EB 的
距离为（ ）
A B
C D
18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA E ，F 分别是平面1111D C B A 与平面11BCC B 的对角线交点，则点E 到直线AF 距离为（ ）
A B C D 19．已知AB ⊥平面α，垂足为点B ，且AO 与α相交于点O ，60AOB ∠=︒，射线OC 在α内，且30BOC ∠=︒，6OA =，则点A 到直线OC 的距离是（ ）
A ．6
B
C D ．
20．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）
A ．
2 B C ．12 D ．13
21．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是
（ ）
A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等
B ．PN 与QM 为异面直线
C ．90PNM ∠=
D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形
22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，G 为1AA 的中点，则直线BD 与平面11GB D 的距离为( )
A B C D
23．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（ ）
A B ．和EF 的长度有关
C D ．和点Q 的位置有关
24．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论是（ ）
A ．直线MN 与AC 所成的角为45°
B ．直线AM 与BN 是平行直线
C ．二面角N B
D C --D ．点C 与平面MAB
25．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==PA =O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则点O 到平面PAB 的距离为（ ）
A B C D
26．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，14,8AB BC AA ===，点H 在棱1AA 上，且12HA =，在侧面11BCC B 内作边长为2的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 的距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面11BCC B 上运动时，2HP 的最小值是（ ）
A ．12
B ．24
C ．48
D ．64
27．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足
321432
AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）
A ．34
B
C ．45 D
28．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，13B AB π∠=
，E 是1D D 的中点，则11A C 到平面EAC 的距离
为（ ）
A B ．C D 29．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为（ ）
A ．
B
C ．3
D ．4
30．已知△ABC 在平面β内，不重合的两点P ，Q 在平面β同侧，在点M 从P 运动到Q 的过程中，记四面体M -ABC 的体积为V ，点A 到平面MBC 的距离为d ，则可能的情况是（ ）
A ．V 保持不变，d 先变大后变小
B ．V 保持不变，d 先变小后变大
C ．V 先变大后变小，d 不断变大
D ．V 先变小后变大，d 不断变小
二、多选题
31．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （O 为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，M 为AC 的中
点，2AB BD ==，AD AC BD ⊥，则（ ）
A ．BM ⊥平面ACD
B ．O ∉平面ABC
C ．O 到AC
D ．二面角A CD O --
32．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，
12BC CD D C ===，1D C ⊥底面ABCD ，则（ ）
A ．BC ⊥平面1ACD
B ．直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4
π
C ．平面11ABC
D 与平面ABCD 夹角的余弦值为
7
D ．点C 到平面11ABC D 33．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在线段AC 上移动，点M 为棱1BB 的中点，则下列结论中正确的有（ ）
A ．1//D O 平面11A BC
B ．1D OM ∠的大小可以为90°
C ．异面直线1
D O 与11A C D ．存在实数[]0,1λ∈，使得()111312D M C B D C AB λλ---=成立
34．在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点，下列判断正确的是（
）
A ．1
B
C ∥平面1A B
D B ．面1A BD ⊥面11AAC C
C ．直线1B C 到平面1A BD
D ．点1A 到直线BC
35．关于棱长为()0a a >的正方体1111ABCD A B C D -，下列结论正确的是（ ）
A ．11A
B AD ⊥ B ．点
C 到平面1A BD
C ．异面直线1B
D 与1C D 所成的角是60︒
D ．二面角11A BD C --的余弦值为13
36．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，
1AB AA = ）
A ．1
B 坐标是()1,1,1
B ．平面1OBB 的法向量()1,1,1n =-
C ．1A C ⊥平面1OBB
D ．点A 到平面1OBB 37．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
E ，
F ，
G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）
A ．直线1D D 与直线AF 垂直
B ．直线1A G 与平面AEF 平行
C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92
D ．点C 到平面AEF 的距离为23
38．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面P AD 是边长为
面ABCD 为矩形，且CD =Q 是PD 的中点，则下列结论描述正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面P AD
B ．B ，Q 两点间的距离等于
C ．DC 与平面AQC 所成的角为60°
D ．三棱锥B AQC -的体积为12
39．如图，在菱形ABCD 中，AB =60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距
离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当AQ QC =，4PD D
B =时，点D 到直线PQ
B ．线段PQ
C ．平面AB
D ⊥平面BCD
D ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD
40．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒
B ．点A 到平面BCD
C ．AB C
D ⊥
D ．四面体ABCD
第II 卷（非选择题）
三、填空题
41．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，异面直线1BB 与AC 的距离为____________.
42．已知直线l 过点(0,0,0)A ，点(1,1,0)B ，则点(0,1,1)C 到直线l 的距离是_________．
43．如图，正三角形ABC 的边长为2，P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，且1PA =，则P 到BC 的距离为___________.
44．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为______．
45．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，12AA =，则点C 到平面1ABC 的距离为____________.
46．如图，已知,,60,1AP BP AP PC ABP ACP BAC PA ⊥⊥∠=∠=∠=︒=，D 是BC 中点，则点B 到平面APD 的距离是___________.
47．在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1A C 的距离为___________.
48．如图所示，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点M 在线段BF 上运动，记BM a =，则当=a ___________时，点M 到直线AC 的距离有最小值.
49．如图，已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，点1C 到平面1AB D 的距离为_____________．
50．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为11A D 中点，点P ､M 在四边形ABCD 内（包括边界），点P 到平面11ABB A 的距离等于它到点D 的距离，直线1//MB 平面1EC D ，则PM 的最小值为___________.
四、解答题
51．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠=，1A AC 是边长为2的等边三角形.
（1）求二面角1A BC A --的大小的正切值；
（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.
52．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形，已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =
（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；
（2）求点B 到平面AED 的距离.
53．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BB BC ===，E 是面对角线1CD 上一点，且145
CE CD =.
（1）求证：1AE CD ⊥；
（2）设异面直线1AB 与1BD 所成角的大小为α，求cos α的值. （3）求点A 到平面1BCD 的距离.
54．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M 、N 分别是线段AD 、BD 的中点，
1MC =，AB BD ==
（1）证明：平面MNC ⊥平面BCD ；
（2）若60CBD ∠=︒，求点B 到平面MNC 的距离.
55．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，点N 为1CC 的中点.
（1）求证：直线//MN 平面11A BC ；
（2）求直线MN 到平面11A BC 的距离.
56．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒.
（1）求证：//BF 平面CDE ；
（2）求点D 到平面BEF 的距离.
57．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2PA AB BC AD ===，点E 为PB 的中点.
（1）求证：//AE 平面PCD ；
（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求点A 到平面PCD 的距离.
58．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE =//ED AF 且90DAF ∠=︒．
（1）求BD 和面BEF 所成的角的正弦； （2）求点C 到直线BD 的距离；
（3）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．
59．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，2AP AD ==，60ABC ∠=︒.点E ，F 分别在棱P A ，PB ，且//EF AB .
（1）求证：//EF CD ；
（2）若直线PD 与平面CEF （i ）求点P 与到平面CEF 的距离；
（ii ）试确定点E 的位置.
60．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直
角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，AD =M ，N 分别是PD ，PB 的中点．
（1）求证：//MQ 平面PCB ；
（2）求点A 到平面MCN 的距离．
任务二:几何体截面问题1-40题
一、单选题
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是空间中任意一点，有下列结论：
△若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD ；
△若P 在线段1A B 上运动，则1AP PD + △若P 在以CD 为直径的球面上运动，当三棱锥P ABC -体积最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为
2π；
△若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α 其中正确结论的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
2．已知正方体1111ABCD A B C D -，平面π和线段1AA ，1BB ，1CC ，1DD 分别交于点E ，F ，G ，H ，则截面EFGH 的形状不可能是（ ） A ．梯形 B ．正方形 C ．长方形 D ．菱形
3．如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→
→
=，则下列结论错误的是（ ）
A ．当102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭,时，Ω为四边形
B ．当12
λ=时，Ω为等腰梯形
C ．当3,14λ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，Ω为六边形
D ．当1λ=时，Ω
4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）
A ．三角形
B ．平面四边形
C ．平面五边形
D ．平面六边形
5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D 1、E 的截面过（ ）
A ．A
B 中点 B ．B
C 中点 C ．C
D 中点 D ．BB 1中点
6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）
A ．5
B ．
C ．
D ．
7．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ） A ．等腰梯形 B ．非矩形的平行四边形 C ．正五边形 D ．正六边形
9．如图，正方体111ABCD A B C D -的棱长为1△P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当1
02
CQ
时，S 为四边形； ②当3
4CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113
C R ； ③当
314
CQ
时，S 为六边形；
④当1CQ =时，S 则下列选项正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题中正确命题的个数为（ ）
①当1
02
CQ
时，S 为四边形； ②当1
2
CQ 时，S 为等腰梯形； ③当34CQ 时，S 与11C D 的交点1R 满足1113C R =；
④当
314
CQ
时，S 为六边形；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
①直线1GA 与平面AEF 平行；
②平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
；
③直线1A G 与直线EF 所成的角的余弦值为； ④点C 与点B 到平面AEF 的距离相等. A ．①④ B ．①②
C ．①②④
D ．①②③④
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）
A ．13
B ．35
C ．
2547 D ．79
13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A ．BD CP ⊥
B ．三棱锥
C BP
D -的体积为定值
C ．过P ，C ，1
D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为13
14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，12B P PC =，113D Q QC =，用经过B ，P ，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A
．B ．C D ．
15．如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值
B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ）
A ．平行四边形
B ．等腰梯形
C ．五边形
D ．六边形
17．如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过
E ，
F ，
G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）
A ．4
B ．
C
D ．
18．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则下列说法错误的是（ ）
A ．直线A 1G 与平面AEF 平行
B ．直线DD 1与直线AF 垂直
C ．异面直线A 1G 与EF
D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
2
19．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，M ､N 分别为棱11A D ､11A B 的中点，令过点B 且平行于平面AMN 的平面α被正方体的截面图形为Ω，若在Ω内随机选择一点P ，则点P 在正方体1111ABCD A B C D -内切球内的概率为（ ）
A ．427
π B ．
1681
π
C ．
827
π D ．
3281
π
20．已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： △若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； △若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； △若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；
△E 为AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 以上命题为真命题的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、多选题
21．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的有（ ） A ．异面直线1CA 与11B D 所成角的大小为π
3
B ．若E 是直线A
C 上的动点，则1
D
E ∥平面11A BC
C
D ．若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α
22．如图，棱长为1的正方体111ABCD A BC D -中P 为线段1A B 上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）
A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6
π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱雉1D CDP -的体积为定值
D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形
23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为
α，则下列说法正确的是（ ）
A ．1EFD △为等边三角形；
B ．平面α交正方体1111ABCD A B
C
D -的截面为五边形；
C ．在正方体1111ABC
D A B C D -中，存在棱与平面α平行； D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直；
24．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，若1AC ⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A ．截面形状可能为正三角形
B ．截面形状可能为正方形
C ．截面形状可能为正六边形
D ．截面形状可能为五边形
25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点
P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )
A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43
B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
C ．1//B
D 平面PMN
D ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为
26．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．直线AM 与BN 是平行直线
B ．直线MN 与A
C 所成的角为60°
C ．直线MN 与平面ABC
D 所成的角为45°
D ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为32
27．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法正确的是（ ）
A ．BD CP ⊥
B ．三棱锥
C BP
D -的体积为定值
C ．过P ，C ，1
D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为13
28．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．1//
B
C MN
B ．若P 为直线1C
C 上的动点，则111B P BC ⋅为定值
C ．点A 到平面1C MN 的距离为13
D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38
π
29．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，则以下说法正确的是（ ）
A ．平面EFC 截正方体所得截面周长为
B ．1BB 上存在点P ，使得1
C P ⊥平面EFC
C ．三棱锥B EFC -和1
D FB C -体积相等
D ．1BB 上存在点P ，使得//AP 平面EFC
30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线AF 垂直
B ．直线1A G 与平面AEF 平行
C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98
D ．点B 到平面AEF 的距离为13
第II 卷（非选择题）
三、填空题
31．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB =
=，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.
32．正三棱锥P ABC -AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.
33．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，下列四个选项
①直线1D D 与直线AF 垂直
②直线1A G 与平面AEF 平行
③平面AEF 截正方体所得的截面面积为98
④点C 和点G 到平面AEF 的距离相等;
其中正确的是____________
35．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q
的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①当10
2CQ 时，S 为四边形； ②当12CQ
时，S 为等腰梯形； ③当34CQ
时，S 与11C D 的交点R 满足113
C R ； ④当314CQ 时，S 为六边形 四、解答题
36．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.
（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小.
37．已知正三棱柱的所有棱长都是1
（1）画经过ABC 三点的截面
（2）过棱BC 作和底面成60二面角的截面，求此截面面积.
38．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点．求证：
（1）直线//EG 平面11BDD B ；
（2）平面//EFG 平面11BDD B ；
（3）若正方体棱长为1，过A ，E ，1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
39．（1）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 是棱11A B ，11A D 的中点，在图中画出过底面ABCD 中的心O 且与平面AMN 平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面PQR 与四棱锥ABCDE 的截面，截面多边形的边数为______．
40．如图①，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点
A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .
（1）若12CQ <<，请在图①中作出截面S （保留尺规作图痕迹）；
（2）若1CQ =（如图②），试求截面S 将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比.。