2022-2023学年江苏省南京市南京师范大学附属中学实验初级中学七年级下学期3月月考数学试卷含详解

2022-2023学年度第二学期3月知识巩固
七年级数学
一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1.下列命题中，假命题是（
）A.对顶角相等
B.不相等的两个角不是对顶角
C.两直线平行，内错角相等
D.同旁内角互补
2.如图，直线a ，b 被直线c 所截，a //b ，∠1＝110°，则∠2的度数是（）
A.50°
B.60°
C.65°
D.70°
3.下列说法正确的是()A.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ∥∥，则a c
P B.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ⊥⊥，则a c
⊥C.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ⊥∥，则a c
P D.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ∥∥，则a c
⊥4.已知三角形的两边长分别为3cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A.12cm
B.10cm
C.6cm
D.3cm 5.已知直线m n ∥，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（∠ABC =30°），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
A .20° B.30° C.45° D.50°
6.观察下列算式：①2(1)(1)1x x x -+=-；②23(1)(1)1x x x x -++=-；③324(1)(1)1x x x x x -+++=-寻找规律，并判断(2011)(2017)222221++⋯+++的值的末位数字为（
）A.1 B.3 C.5 D.7
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7.成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________．
8.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．
9.若一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的边数为________．
10.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
11.若()()()()2837M x x N x x =--=--，，则M 与N 的大小关系为：M _____N .
12.如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
13.如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°．
14.如图，A 、B 、C 分别是线段111AB BC C A 、、
的中点，若111A B C △的面积是14，那么△ABC 的面积是________.
15.计算：(﹣8)2014×0.1252013=______．
16.ABC 中，BAC B ∠>∠，50C ∠=︒，将B ∠折叠，使得点B 与点A 重合．折痕P D 分别交AB 、BC 于点D 、P ，当APC △中有两个角相等时，B ∠的度数为_____．
三、解答题（本大题共9小题，共计68分）
17.
计算：（1）362·a a a a -÷；
（2）32(2)(3)a a a --⋅；
（3）20
1
123(2
--+；（4）(2)(1)2(1)x x x x ++--．18.请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AED ．求证：BD EF ．
证明：∵BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AED ，
∴∠1＝12∠AED ，∠2＝12∠ABC （
）∵BC ED ，
∴∠AED ＝
（）．∴12∠AED ＝12∠ABC （
）∴∠1＝∠2（
）∴BD EF （）
19.如图，DE //BC ，∠DEF =∠B ，求证：∠A =∠CEF ．
20.如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③AD BC．
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
21.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C均在格点上．
∥；
（1）在图中标出格点D，连接BD，使BD AC
；
（2）在图中标出格点E，连接BE，使BE AC
（3）在所画的图中，标出点F，使线段AF的长是点A到直线BE的距离；
的面积为___________．
（4）连接BC，若每个小正方形的边长为1，则ABC
22.如图，六边形ABCDEF的内角都相等．
（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
23.积的乘方公式为：（ab）m＝．（m是正整数）．请写出这一公式的推理过程．
24.证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
（在下面方框内画出图形）
已知：____________________________．
求证：____________________________．
证明：
25.【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，ABC 中，90A ∠=︒，则ABC 的三条高所在直线交于点；
②如图2，ABC 中，90BAC ∠>︒，已知两条高BE 、AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出ABC 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在ABC 中，ABC C ∠>∠，AD 平分BAC ∠，过点B 作BE AD ⊥于点E ．
①若80ABC ∠=︒，30C ∠=︒，则EBD ∠=；
②请写出EBD ∠与ABC ∠，C ∠之间的数量关系
，并说明理由．【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，ABC 中，M 是BC 上一点，则有
ABM BM ACM CM =△的面积△的面积．如图5，ABC 中，M 是BC 上一点，且13
BM BC =，N 是AC 的中点，若ABC 的面积是m ，请直接写出四边形CMDN 的面积．（用含m 的代数式表示）
2022-2023学年度第二学期3月知识巩固
七年级数学
一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1.下列命题中，假命题是（）
A.对顶角相等
B.不相等的两个角不是对顶角
C.两直线平行，内错角相等
D.同旁内角互补
【答案】D
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、不相等的两个角不是对顶角，正确，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，不正确，是假命题，符合题意；真命题应为：两直线平行，同旁内角互补．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，属于基础题目，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等知识．2.如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1＝110°，则∠2的度数是（）
A.50°
B.60°
C.65°
D.70°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，根据邻补角互补即可得到答案．
【详解】解：∵a//b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和邻补角互补的性质，掌熟练握平行线的性质是解题的关键．
3.下列说法正确的是()
A.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ∥∥，则a c
P B.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ⊥⊥，则a c
⊥C.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ⊥∥，则a c
P D.在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且,a b b c ∥∥，则a c
⊥【答案】A
【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可．【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知A 选项正确，符合题意，B 、C 、D 选项错误，不符合题意．
故选A ．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题．
4.已知三角形的两边长分别为3cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A.12cm
B.10cm
C.6cm
D.3cm 【答案】B 【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【详解】根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即936-=，9312+=．
∴第三边取值范围应该为：6＜第三边长度＜12，
故只有B 选项符合条件．
故选B ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
5.已知直线m n ∥，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（∠ABC =30°）
，其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
A.20°
B.30°
C.45°
D.50°
【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【详解】因为m n ∥，所以∠2=∠1+30°，
所以∠2=30°+20°=50°，
故选D ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
6.观察下列算式：①2(1)(1)1x x x -+=-；②23(1)(1)1x x x x -++=-；③324(1)(1)1x x x x x -+++=-寻找规律，并判断(2011)(2017)222221++⋯+++的值的末位数字为（
）A.1
B.3
C.5
D.7
【答案】C 【分析】根据题意找出规律111..(..1)(1)n n n x x x x x -+++-++=-，当2x =时代入规律求解，再找出2的次方末尾数字规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
111..(..1)(1)n n n x x x x x -+++-++=-，
当2x =时，
(2011)(2017)22011+1(21)22221=21⎡⎤-++⋯+++-⎣⎦
，∴2011+1(2011)(2017)2
201221222212121-++⋯+++==--，∵122=，224=，328=，4216=，5232=，
∴尾数是4个一循环，
∵20124503÷=，
∴尾数为：615-=，
故选C ；
【点睛】本题考查规律，解题的关键是根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7.成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________．
【答案】6
4.610-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10n -，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】数据0.0000046用科学记数法表示为：64.610-⨯，
故答案为：6
4.610-⨯【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于确定a 和n 的值．
8.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：_______．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．
【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
9.若一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的边数为________．
【答案】6
【分析】设这个正多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式()1802n ︒-和外角和360︒列方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，
根据题意，得()18023602n ︒-=︒⨯，
解得6n =，
∴这个正多边形的边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正多边形的内角和和外角和，熟记多边形的内角和公式以及外角和为360︒是解答的关键．
10.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
【答案】22°##22度
【分析】延长CE ，交AD 与点F ，根据平行的性质有∠2=∠DFE ，再根据∠1+∠DFE =90°，即可求出∠DFE ，则问题得解．
【详解】延长CE ，交AD 与点F ，如图，
根据题意有：AD BC ∥，∠DEC =90°，
∴∠2=∠DFE ，∠DEF =∠DEC =90°，
∴△DEF 是直角三角形，即∠1+∠DFE =90°，
∵∠1=68°，
∴∠DFE =90°-∠1=22°，
∴∠2=22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
11.若()()()()2837M x x N x x =--=--，，则M 与N 的大小关系为：M _____N .
【答案】<
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可求解．
【详解】解：M=（x-2）（x-8）=x 2-10x+16，
N=（x-3）
（x-7）=x 2-10x+21，M-N=（x 2-10x+16）-（x 2-10x+21）=-5，
则M ＜N ．
故答案为＜．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的法则．
12.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．
【答案】48°
【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．13.如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°．
【答案】65
【分析】利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：如图，
由翻折不变性可知：∠2=∠3，
∵AB CD ∥，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠4=180°−130°=50°，
∴∠1=∠2=1
2(180°−50°)=65°．
故答案为65．
【点睛】本题考查翻折、平行线的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握翻折、平行线的性质和三角形的内角和定理．14.如图，A 、B 、C 分别是线段111AB BC C A 、、
的中点，若111A B C △的面积是14，那么△ABC 的面积是________.
【答案】2
【分析】连接AB 1，BC 1，CA 1，设△ABC 的面积为S ，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB 1，△A 1AB 1的面积，从而求出△A 1BB 1的面积为2S ，同理可求△B 1CC 1的面积，△A 1AC 1的面积，然后相加即可得到111A B C △的面积，再根据111A B C △的面积为14即可求得答案.
【详解】如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，设△ABC 的面积为S ，
∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，
∴1ABB ABC S S S == ，
111A AB ABB S S S == ，∴111112A BB A AB ABB S S S S S S =+=+= ，
同理：11112S 2S B CC A AC S S == ，，
∴111111111 7A B C A BB B CC A AC ABC S S S S S S =+++= ，
∵111 14A B C S = ，
∴S=2，即△ABC 的面积为2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
15.计算：(﹣8)2014×0.1252013=______．
【答案】8
【分析】逆用利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而结合积的乘方运算法则求出答案．
【详解】解：(﹣8)2014×0.1252013
=(﹣8)2013×0.1252013×(﹣8)
=(﹣8×0.125)2013×(﹣8)
=8．
故答案为8．
16.ABC 中，BAC B ∠>∠，50C ∠=︒，将B ∠折叠，使得点B 与点A 重合．折痕P D 分别交AB 、BC 于点D 、P ，当APC △中有两个角相等时，B ∠的度数为_____．
【答案】32.5︒或40︒或25︒；
【分析】分C APC ∠=∠，C PAC ∠=∠，PAC APC ∠=∠三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：①当C APC ∠=∠时，
∵50C ∠=︒，
∴50APC ∠=︒，
∴18050130APB ∠=︒-︒=︒，
∵将B ∠折叠，使得点B 与点A 重合，∴1(180)252
B BAP APB ∠=∠=︒-∠=︒，此时1805025105BA
C B ∠=︒-︒-︒=︒>∠，符合题意；
②当C PAC ∠=∠时
∵50C ∠=︒，
∴50PAC ∠=︒，
∴180505080APC ∠=︒-︒-︒=︒，
∴18080100APB ∠=︒-︒=︒
∵将B ∠折叠，使得点B 与点A 重合，∴1(180)402
B BAP APB ∠=∠=︒-∠=︒，此时180504090BA
C B ∠=︒-︒-︒=︒>∠，符合题意；
③当PAC APC ∠=∠时
∵50C ∠=︒，∴1(18050)652
PAC APC ∠=∠=︒-︒=︒∴18065115APB ∠=︒-︒=︒
∵将B ∠折叠，使得点B 与点A 重合，∴1(180)32.52
B BAP APB ∠=∠=︒-∠=︒，此时1805032.597.5BA
C B ∠=︒-︒-︒=︒>∠，符合题意；
综上所述答案为：32.5︒或40︒或25︒；
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．
三、解答题（本大题共9小题，共计68分）
17.计算：
（1）362·a a a a -÷；
（2）32(2)(3)a a a --⋅；
（3）20
1
123(2
--+；（4）(2)(1)2(1)x x x x ++--．【答案】（1）0
（2）3
17a -
（3）2
-（4）252
x x -++【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则直接运算后再合并同类项即可得到答案；
（2）根据幂的乘方，积的乘方法则直接计算即可得到答案；
（3）根据0指数幂，负指数幂直接运算即可得到答案；
（4）先根据整式乘法法则展开，再合并同类项即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式44
a a =-0=；
【小问2详解】
解：原式33
89a a =--317a =-；
【小问3详解】
解：原式412
=-+⨯2=-；
【小问4详解】
解：原式222222x x x x x
=+++-+252x x =-++；
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方法则，零指数幂，负指数幂，整式乘法法则，解题的关键是注意符号的选取．
18.请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AED ．求证：BD EF ．
证明：∵BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AED ，
∴∠1＝12∠AED ，∠2＝12∠ABC （
）∵BC ED ，
∴∠AED ＝
（）．∴12∠AED ＝12∠ABC （
）∴∠1＝∠2（
）∴BD EF （）
【答案】角平分线的定义；∠ABC ；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】根据角平分线的定义得出∠112=∠AED ，∠212
=∠ABC ，根据平行线的性质定理得出∠AED ＝∠ABC ，求出∠1＝∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AED ，
∴∠112=∠AED ，∠212
=∠ABC （角平分线的定义），∵BC ED ，
∴∠AED ＝∠ABC （两直线平行，同位角相等），∴12∠AED 12
=∠ABC （等量代换），∴∠1＝∠2（等量代换），
∴BD EF （同位角相等，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义；∠ABC ；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
19.如图，DE //BC ，∠DEF =∠B ，求证：∠A =∠CEF ．
【答案】见解析．
【分析】根据平行线的性质得出DEF EFC ∠=∠，求出B EFC ∠=∠，根据平行线的判定得出AB //EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明： DE //BC
DEF EFC
∴∠=∠
又 ∠DEF=∠B
∴∠=∠
B EFC
∴AB//EF
∴∠=∠
A CEF
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．20.如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③AD BC．
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据命题的概念、给出的条件写出命题；
（2）根据平行线的性质定理和判定定理证明结论．
【小问1详解】
解：如果AB CD，∠A＝∠C，那么AD BC；
【小问2详解】
这个命题是真命题，
证明：∵AB CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠A＝180°，
∴AD BC．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．21.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C均在格点上．
（1）在图中标出格点D，连接BD，使BD AC
∥；
（2）在图中标出格点E，连接BE，使BE AC
⊥；
（3）在所画的图中，标出点F，使线段AF的长是点A到直线BE的距离；（4）连接BC，若每个小正方形的边长为1，则ABC
的面积为___________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
（4）17 2
【分析】（1）结合方格作出平行线即可；
（2）结合方格，找出格点，作出垂线即可；
（3）根据点到直线的距离结合（2）即可；
（4）由方格组成的矩形面积减去三个三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点E即为所求；
【小问3详解】
由（2）中作图得BE AC
⊥,
∴AF BE
⊥，
∴线段AF的长是点A到直线BE的距离；
【小问4详解】
如图所示：ABC
的面积为矩形面积减去三个三角形的面积，
即
11117 45231543
2222 ABC
S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
．
【点睛】题目主要考查在方格中作平行线、垂线，点到直线的距离，三角形面积等，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
22.如图，六边形ABCDEF的内角都相等．
（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
【答案】（1）60°（2）平行，理由见解析
【分析】（1）由六边形的内角和为720︒，六边形ABCDEF的内角都相等得到每个内角的度数为120°，而∠1＝60°，根据四边形的内角和是360°，即可求解本题；
（2）四边形ABCD的内角和为360︒，∠B=∠C=∠CDE=120°，由此即可求出∠EDA=120°-∠CDA=∠1，即可得到平行．
【小问1详解】
六边形的内角和为720︒，六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为120°，
∵四边形ABCD的内角和为360︒，∠B=∠C=120°，∠1=60°,
∴∠ADC=360°-∠B-∠C-∠1=60°．
【小问2详解】
AB∥ED，理由如下：
∵四边形ABCD的内角和为360︒，∠B=∠C=∠CDE=120°，
∴∠1+∠ADC=360°-∠B-∠C=120°，
又∵∠EDA+∠ADC=∠EDC=120°，
∴∠1=∠EDA，
∴．
AB ED
//
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解答此题的关键．23.积的乘方公式为：（ab）m＝．（m是正整数）．请写出这一公式的推理过程．
【答案】：a m b m，见解析.
【分析】先写出题目中式子的结果，再写出推导过程即可解答本题．
【详解】解：（ab ）m ＝a m b m ，
理由：（ab ）m ＝ab ×ab ×ab ×ab ×…×ab
＝aa …abb …b
＝a m b m
故答案为a m b m ．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是明确它们的计算方法．
24.证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．（在下面方框内画出图形）
已知：____________________________．
求证：____________________________．
证明：
【答案】图见详解，证明见详解；
【分析】根据题意直接写出已知、求证，结合两直线平行同旁内角互补，结合角平分线整体代换即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
已知：AB CD ，FG 平分EFD ∠，EG 平分FEB ∠，
求证：EG FG ⊥；
证明：
∵AB CD ，
∴180BEF DFE ∠+∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，EG 平分FEB ∠，∴1()902GEF GFE BEF DFE ∠+∠=
∠+∠=︒，∴90G ∠=︒，
∴EG FG ⊥；
【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，三角形内角和180︒，解题的关键是注意整体代换的思想．25.【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，ABC 中，90A ∠=︒，则ABC 的三条高所在直线交于点；
②如图2，ABC 中，90BAC ∠>︒，已知两条高BE 、AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出ABC 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在ABC 中，ABC C ∠>∠，AD 平分BAC ∠，过点B 作BE AD ⊥于点E ．
①若80ABC ∠=︒，30C ∠=︒，则EBD ∠=；
②请写出EBD ∠与ABC ∠，C ∠之间的数量关系
，并说明理由．【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，ABC 中，M 是BC 上一点，则有
ABM BM ACM CM =△的面积△的面积．如图5，ABC 中，M 是BC 上一点，且13
BM BC =，N 是AC 的中点，若ABC 的面积是m ，请直接写出四边形CMDN 的面积．（用含m 的代数式表示）
【答案】（1）①A ；②见解析
（2）①25︒；②2EBD ABC ACB
∠=∠-∠（3）512
m 【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE 、DA 交于点F ，连接CF ，延长BA 交CF
于点G ，则CG 为ABC 的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得1352
BAE BAC ∠=∠=︒，再由直角三角形的性质得55ABE ∠=︒，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；（3）连接CD ，由中线的性质得ADN CDN S S = ，同理ABN CBN S S = ，设ADN CDN S S a == ，则12ABN CBN S S m ==
，再求出212333CDM DBC S S m a ==- ，2233ACM ABC S S m == ，然后由面积关系求出14
a m =，即可解决问题．【小问1详解】
解：① 直角三角形三条高的交点为直角顶点，90A ∠=︒，
ABC ∴∆的三条高所在直线交于点A ，
故答案为：A ；
②如图2，延长BE 、DA 交于点F ，连接CF ，延长BA 交CF 于点G ，则CG 为ABC 的第三条高；
【小问2详解】
解：①80ABC ∠=︒ ，30ACB ∠=︒，
70BAC ∴∠=︒，
AD 平分BAC ∠，
1352
BAE BAC ∴∠=∠=︒，BE AD ⊥ ，
90AEB ∴∠=︒，
903555ABE ∴∠=︒-︒=︒，
805525EBD ABC ABE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为：25︒；
②EBD ∠与ABC ∠，C ∠之间的数量关系为：2EBD ABC ACB ∠=∠-∠，理由如下：
BE AD ⊥ ，
90AEB ∴∠=︒，
90ABE BAD ∴∠=︒-∠，
90EBD ABC ABE ABC BAD ∴∠=∠-∠=∠+∠-︒，
AD 平分BAC ∠，
12
BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠，180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠ ，
119022
BAD ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠，11119090902222
EBD ABC BAD ABC ABC C ABC ACB ∴∠=∠+∠-︒=∠+︒-∠-∠-︒=∠-∠，2EBD ABC ACB ∴∠=∠-∠，
故答案为：2EBD ABC ACB ∠=∠-∠；
【小问3详解】
解：连接CD ，如图5
所示：
N Q 是AC 的中点，∴1ADN CDN S AN S CN
==△△，ADN CDN S S ∴= ，
同理：ABN CBN S S = ，
设ADN CDN S S a == ，
ABC 的面积是m ，
12ABN CBN S S m ∴==
，12
BCD ABD S S m a ∴==
- ，13BM BC = ，∴
12BM CM =，∴12BDM CDM S BM S CM == ，12ABM ACM S BM S CM == ，2CDM BDM S S ∴= ，2ACM ABM S S = ，
22112()33233CDM BCD S S m a m a ∴==⨯-=- ，2233
ACM ABC S S m == ，ACM ADN CDM CDN ADN CMDN S S S S S S =+=++ 四边形，
即：212
333
m m a a a
=-++，
解得：
1
4
a m
=，
12115
334412 CDM CDN
CMDN
S S S m m m m ∴=+=-⨯+=
四边形
，
故答案为：5
12 m．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系．。