人教版数学九年级上册第24章《圆》ppt章末复习课件

O．
AB交小圆于C、D,则:
AC E DB
AC=BD
若大圆的弦切小圆于C,则
∟ ∟
AC=BC
O
．
两圆之间的环形面积
A
C
B
S= 1 πAB2
4
与圆有关的辅助线的作法：
辅助线， 莫乱添，
弦与弦心距， 亲密紧相连；
规律方法记心间；
圆半径，
切点和圆心，
不起眼，
连结要领先；
角的计算常要连， 遇到直径想直角，
A
B
•
O
C D
例2. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，
则弦AB所对的圆周角为__5_0__0或__1_3__0_0_.
P1
切记：
O
A
B
P2
一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的 圆周角却有两类，是互补的。
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系 (1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
第24章 《圆》知识体系复习
本章知识结构图
圆的对称性
圆的基本性质
弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆
与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆
圆和圆的位置关系
圆
正多边形和圆 等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
本 第1部分 圆的基本性质
∟
O．
∴ OA⊥ l
A
l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
二、过三点的圆及外接圆 1.怎样的三点确定一个圆？ ＿不在同一直线上 三点确定一个圆
2. 如何作过不在同一直线上的三点的圆（或 三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个 村庄距离相等）？
例2.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分 线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 证明:AC是⊙D的切线.
技巧：
过圆心D点作DF⊥AC于F，
F
然后证明垂线段DF＝半径BD
即可。
条件中不知道要证的切线 是否经过了圆上的点。
切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径. .
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
时针方向转动一次,使它转到ABC 的位置。若 BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过 的路线长。
A′ C
A
B C′
l
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900。 (1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?
(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ (3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表 面积吗？
(3)弦心距
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形, 经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴.圆有无数 条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何角度 都能与自身重合。
．
2.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧.
C
∵CD是圆O的直
径,CD⊥AB
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于 900(直角) 。 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的 直径..
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
3.6
技巧：
作圆的直径找900的圆周角 也是圆里常用的辅助线
A
D P
C
.o
F
E
B
4 ． 如 图 ， 已 知 △ ABC 的 三 边 长 分 别 为 AB=4cm ， BC=5cm，AC=6cm，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 别是E、F、G，则AE= ，BF= ，CG= 。
圆与圆的位置关系:
.
外离
.
外切
.
相交
.
.
内切
．．
O1
O2
．．
O1 O2
．．
O1 O2
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等.
(3)在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它所对
的劣弧与优弧分别相等,所对的圆心角相等.
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB
O
∴ AB = CD
C ∴AB=CD
A
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做 圆的内接三角形。
C
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
O
B
A
三角形的外接圆
A．
B． O．
．
C
三角形的外心就是三角形 三边垂直平分线 的 交点.外心到三角形 三个顶点 的距离相等。
思考：三角形的外心一定在三角形内吗？
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外
d＞r
B
2.直线和圆的位置关系:
．
．
．
O
O
O
l
l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做
直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
A
．
P
B ∴A︵︵APD=B=P,︵︵BD
AC = BC
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D
判断：平分弦的直径垂直于弦（×）
C
C
A
B O
A
D
垂径定理的推论：
．
PB D
平分弦（非直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.
1、如图,已知⊙O的半径OA长 为5,弦AB的长8,OACC⊥=BACB于C, 则OC的长为 ___3____.
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝ 2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助 线。
把圆心到弦的垂线段、
半径、一半弦长构成直角 三角形，便将问题转化为 直角三角形的问题。
MA
P O
方法、技 巧
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
O
半径
弦心距
垂径定理
A
C 半弦长 B
的应用
方法：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心距d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据 垂径 定理构造直角三角形求
出第三个量。
垂径定理的
应用
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝，
O
求半径OC的长。
D
A
B
C
方法：
在应用垂径定理进行计算时（多数在求半径 时）经常需要列方程。
CC
C
C
AA
OO
B
B
B
A
O
B
A
O
⊿ABC是直角三角形
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
三角形的外心位置：
锐角三角形的外心在三角形__内__， 直角三角形的外心在三角形在_ 斜边的中点_，处 钝角三角形的外心在三角形__外__。
三角形的内切圆:
B
A
．
O C
三角形的内心就是三角形 三内角平分线 的 交点.内心到三角形 三边 的距离相等。
B
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相 交的角，叫做圆周角.
性质 (1)：在同一个圆中,同弧所对 的圆周角等于它所对的圆心角的 一半.
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有 的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
．．
OO12
．．
OO2 1
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系及识别方法 d＞R+r
d=R+r R-r＜d＜R+r
d=R-r d＜R-r
三.正多边形:
A
B
１叫.做中这心个：正一多个边正形多的边中形心外．接圆的圆心F O
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这
个正多边形的半径．
EG
3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
2.弧长的计算公式
L=
nπr 180
3.扇形的面积公式
．r
O
S = nπr2
360
或
S
=
1
2
lr
4.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
a 侧面
底面
1、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时, 传送带上的物体A平移的距离为______.
A
2.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线 上l ，按顺
．．A C．E P
O
．D
B (1) △PCD的周长=2PA
(2) ∠COD= 900- 1∠APB
2
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
练习题：
1.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是__2_2_c_m__.
2.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_2_c_m__.
G E
FH
3.如图， ⊙O为△ABC的内切圆，切点分 别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若 ∠A+ ∠C=110度，则∠FPE=_____度
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时＿d＞＿r
(2)当直线与圆相切时＿d ＿=r ;
(3)当直线与圆相交时d＿＜＿r..
1.与圆只有一个公共点的直线。
2.圆心到直线的距离等于圆的半径
4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距．
C
D
3 正多边形和圆
E
D
（1）.有关概念
（2）.常用的方法
F
中心角
O.
半径R
C
（3）.正多边形的作图
边心距r 边
O
R
A
1 2
a
d C
(1 a)2 d 2 R2 a2
B
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr 面积s=πr2
A
C
B
A
D
C
B
分析：
以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底 面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积 就是求两个圆锥的侧面积。
4.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为 8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬 行的最短路线长是多少？
A’
O
A
B
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则:
章 第2部分 与圆有关的位置关系
重
点 第3部分 正多边形和圆
内 容
第4部分
弧长和面积的计算
第5部分 有关作图
一.圆的基本概念:
1.圆的定义:到定点的距离等于定长 的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
．
O
(2)弧、优弧、劣弧、等弧 （能完全重合的弧，只能 在同圆或等圆中出现）
的直线是圆的切线。
3.经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
例1 AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线 上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°
证明：CD是⊙O的切线
C
方法：
A
O
只要连接OC，然
后证明OC⊥CD
B
D
条件：已经知道要证的直线经过了圆上 的一点。
重要结论
等边三角形的外心与内心 重合.. 内切圆半径与外接圆半径的比是 1:2. 。
A
O
B
D
C
A
重要结论
D．．．F
若 △ABC各边分别切圆O 于点D、E、F.
B
O．
E
(1) ∠D0F= 1800- ∠A C
B
．A
D． ．F
(2) ∠DEF= 900- 12∠A
1
O．
E
(3) S △ABC= 2 (a+b+c)r C
重要结论
A
在Rt △ABC中, ∠ACB=900,三边
分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:
内切圆半径r= a+b-c
． D． ．F
C
O．
E
2 或者由
1
1
S △ABC= 2 (a+b+c)r= 2 ab
B
ab
求得r= a+b+c
常见的基本图形及结论:
1.如图,在以O为圆心的
两个同心圆中,大圆的弦