第三讲 指数函数与对数函数
对数函数和指数函数的区别和知识点
对数函数和指数函数的区别和知识点对数函数和指数函数是两种重要的数学函数,它们在形式和性质上有很大的不同。
下面我们将从定义、图像、性质和应用四个方面来对比这两种函数。
一、定义1. 对数函数:对于正实数a(a>0)和自然数b(b>0),对数函数定义为log(a^b)=b。
也就是说,如果a的b次方等于c,那么log(a) c = b。
2. 指数函数:对于实数a(a≠0),指数函数定义为a^x。
也就是说,无论x 是什么实数,a的x次方都等于y。
二、图像1. 对数函数的图像:对数函数的图像在坐标系中是单调递增的。
当底数大于1时,图像位于第一象限和第二象限;当底数在0到1之间时,图像位于第二象限和第三象限。
2. 指数函数的图像:指数函数的图像也是单调递增的。
对于所有的实数a(a>0),图像都位于第一象限。
当a大于1时,图像在x轴上方递增;当0<a<1时,图像在x轴下方递增。
三、性质1. 对数函数的性质:对数函数是反函数,即如果log(a^b)=c,那么a^c=b。
此外,对数函数还有对数的换底公式,即log(a) b = c 可以转化为log(m) b = c/log(m) a。
2. 指数函数的性质:指数函数是幂运算的推广,具有连续性、周期性、奇偶性等性质。
指数函数也可以表示为exp(x),其中exp表示自然指数函数的底数,约等于2.71828。
四、应用1. 对数函数的应用:对数函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。
例如,在物理学中,声学和光学中的分贝和折射率可以通过对数函数计算;在金融学中,复利和折旧可以通过对数函数计算;在信息论中,对数函数用于描述信号强度和噪声的关系。
2. 指数函数的应用:指数函数在自然科学、社会科学和工程学等领域也有广泛的应用。
例如,在生物学中,细胞增长和繁殖可以用指数函数描述;在经济学中,复利和折现也可以用指数函数计算;在物理学中,放射性衰变和电路中的电压可以用指数函数描述。
指数函数与对数函数的运算
指数函数与对数函数的运算指数函数与对数函数的运算是高等数学中一种重要的数学运算方法。
指数函数是一种以底数为常数,指数为变量的函数,表示为f(x) = a^x,其中a为底数。
对数函数是指数函数的逆运算,表示为f(x) = log_a(x),其中a为底数。
指数函数与对数函数之间存在一种特殊的运算关系,即指数函数和对数函数是互为反函数的。
这意味着,对于任意的底数a和指数x,有a^log_a(x) = x,以及log_a(a^x) = x。
这一性质使得指数函数和对数函数可以进行运算,并且能够相互抵消。
一、指数函数的运算性质指数函数的运算包括指数相加、指数相减、指数相乘以及指数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 指数相加:对于相同底数a,两个指数相加的结果等于将底数相乘,指数相加的结果为b^x1*b^x2 = b^(x1+x2)。
例如,2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数相减:对于相同底数a,两个指数相减的结果等于将底数相除,指数相减的结果为b^x1/b^x2 = b^(x1-x2)。
例如,5^8 / 5^3 = 5^(8-3) = 5^5。
3. 指数相乘:对于相同底数a,两个指数相乘等于底数为b,指数为(x1*x2)的指数函数,即(b^x1)^x2 = b^(x1*x2)。
例如,(6^3)^2 =6^(3*2) = 6^6。
4. 指数的幂运算:指数的幂运算即多次将相同的底数相乘,指数的幂运算的结果为(b^x)^n = b^(x*n)。
例如,(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8。
二、对数函数的运算性质对数函数的运算包括对数相加、对数相减、对数相乘以及对数的幂运算等。
下面将一一介绍这些运算性质。
1. 对数相加:对于相同底数a,两个对数相加的结果等于将指数相加,对数相加的结果为log_a(x1) + log_a(x2) = log_a(x1*x2)。
例如,log_2(4) + log_2(8) = log_2(4*8) = log_2(32)。
高中数学指数函数与对数函数
高中数学指数函数与对数函数在高中数学的学习中,指数函数与对数函数是非常重要的两个部分。
它们不仅在数学理论中有着重要的地位,还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。
首先,让我们来认识一下指数函数。
指数函数的一般形式为 y =a^x (a > 0 且a ≠ 1)。
其中,a 被称为底数,x 是指数。
当 a > 1 时,函数单调递增;当 0 < a < 1 时,函数单调递减。
比如说,y = 2^x 就是一个底数为 2 的指数函数。
当 x 逐渐增大时,y 的值增长得非常快。
而 y =(1/2)^x ,由于底数 1/2 小于 1,所以当 x 增大时,y 的值会越来越小。
指数函数有很多有趣的性质。
指数函数的图像总是经过点(0, 1),因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。
而且,指数函数的定义域是全体实数,值域是(0, +∞)。
接下来,我们再看看对数函数。
对数函数是指数函数的反函数,一般形式为 y =logₐx (a > 0 且a ≠ 1)。
如果 y = a^x ,那么 x =logₐy 。
以 y = log₂x 为例,它表示 2 的多少次方等于 x 。
对数函数的定义域是(0, +∞),值域是全体实数。
对数函数也有自己独特的性质。
比如,logₐ1 = 0 ,因为任何非零数的 0 次方都等于 1 。
还有logₐa = 1 ,因为 a 的 1 次方就是 a 本身。
指数函数和对数函数之间有着密切的关系。
它们的图像关于直线 y= x 对称。
通过这种对称关系,我们可以利用一个函数的性质来推导出另一个函数的性质。
在实际应用中,指数函数和对数函数的用处可不少。
比如在金融领域,计算利息的复利问题就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔钱,年利率为 r ,如果按照复利计算,经过 t 年后,你的存款总额就可以用指数函数来表示。
在科学研究中,比如研究细菌的繁殖、放射性物质的衰变等,也常常会用到指数函数。
而对数函数在测量声音的强度、地震的震级等方面发挥着重要作用。
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。
指数函数的一般形式是$y=a^x$,其中$a$是底数,$x$是指数。
当$01$时,函数图像是上升的。
对数函数的一般形式是$y=\log_a x$,其中$a$是底数,$x$是真数。
当$01$时,函数图像是下降的。
指数函数和对数函数有许多重要的性质,例如它们的定义域和值域,单调性等。
比较大小时,可以利用指数函数和对数函数的单调性。
对于同底指数函数,可以直接比较大小。
对于异底指数函数,可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。
对于同底数对数函数,可以直接利用单调性求解,但如果底数是字母,需要分类讨论。
对于异底数对数函数,可以采用化同底(换底公式)、寻找中间量(-1,1),或者借助图象高低数形结合来比较大小。
换底公式是比较常用的公式之一,可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。
常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$,$log_a b^m=m\log_a b$,$a^{\log_a b}=b$等。
练题:1.若$3a=4b=6c$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为(B)。
2.计算:1)若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$,则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$;2)设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$,则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$;3)若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$,则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。
3.(1)函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数;2)设函数$f(x)$在定义域上是奇函数,则$f(0)=0$。
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容,它们在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像和实际问题四个方面,介绍指数函数与对数函数的相关知识。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以底数为常数的数学函数,其自变量为指数。
一般形式为 f(x) = a^x,其中 a > 0 且a ≠ 1。
指数函数具有以下基本性质:1. 当 x = 0 时,f(x) = a^0 = 1,即指数函数的零次幂等于1。
2. 指数函数的底数 a 大于1时,函数增长趋势明显,图像呈现上升趋势。
底数 a 在0和1之间时,函数呈现下降趋势。
3. 当 x 为正无穷大时,函数无穷逼近于正无穷大。
当 x 为负无穷大时,函数无穷逼近于0。
4. 指数函数具有对称性,即 f(-x) = 1 / a^x。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以某一正数为底数的对数运算与自变量的函数关系。
一般形式为f(x) = logₐ(x),其中 a > 0 且a ≠ 1。
对数函数具有以下基本性质:1. 对数函数的定义域为正实数集,即 x > 0。
2. 当 x = 1 时,f(x) = logₐ(1) = 0,即对数函数的底数为1时,结果为0。
3. 对数函数的底数 a 大于1时,函数增长趋势明显,图像呈现上升趋势。
底数 a 在0和1之间时,函数呈现下降趋势。
4. 当 x 为正无穷大时,函数无穷逼近于正无穷大。
当 x 为0时,函数无穷逼近于负无穷大。
三、指数函数与对数函数的图像与性质对应指数函数与对数函数是互为反函数的关系,其图像呈现镜像对称。
指数函数的增长趋势对应着对数函数的上升趋势,指数函数的收敛趋势对应着对数函数的下降趋势。
以底数为2的指数函数和对数函数为例,它们的图像如下所示:(插入图像)四、指数函数与对数函数的实际应用指数函数和对数函数在自然科学、经济学、生物学等领域中有着广泛的应用。
以下举几个例子:1. 化学反应速率:化学反应速率常常遵循指数函数的规律,通过实验测量反应物和生成物的浓度随时间变化的关系,可以确定反应速率常数。
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2:a-b=ln22-ln33=3ln2-6 2ln3 =16(ln8-ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a,∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4.考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点,其难度 不大,属中低档题,但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解,因而也是易错题. [例 4] 函数 f(x)= 31x-2 x+lg(3x+1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1-2
ba)×3 ab;
(2)求值:12lg3429-43lg 8+lg 245.
(2)解法一 12lg3429-43lg 8+lg 245 =lg472-lg4+lg7 5 =lg(472×14×7 5) =lg 10=12lg10=12.
解法二 原式=12(5lg2-2lg7)-43·32lg2+12(2lg7+lg5) =52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5 =12lg2+12lg5 =12(lg2+lg5) =12lg10=12.
[例7]求不等式x-1<log6(x+3)的所有整数解. [解析]设y1=x-1,y2=log6(x+3),在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示,两图像有两个交点,一交点的横坐标
显然在-3和-2之间,另一个交点设为P.
因为x=1时,log6(1+3)-(1-1)>0,x=2时, log6(2+3)-(2-1)<0,所以1<xP<2.
2.指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数. (2)y=ax(a>0,a≠1)的图像
0<a<1
a>1
指数函数与对数函数的基本概念
指数函数与对数函数的基本概念指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念,它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将对指数函数和对数函数的基本概念进行详细介绍,包括定义、性质以及它们之间的关系。
一、指数函数的基本概念指数函数是以指数为自变量、底数为常量的函数。
具体而言,一个指数函数可以写成f(x)=a^x的形式,其中a为正实数且不等于1,x为实数。
1.1 指数函数的定义与表示指数函数可定义为一个实数集上的函数,可以通过底数和指数的关系来表示。
例如,当底数a=2时,指数函数f(x)=2^x可以表示成表达式f(x)=2^x。
指数函数的自变量可以是任意实数,其定义域是全体实数,即D_f={x|x∈R}。
1.2 指数函数的性质指数函数具有以下基本性质:(1)指数函数的图像: 当底数a>1时,指数函数f(x)=a^x是增函数,在坐标平面上呈现出从左到右逐渐增长的趋势;当0<a<1时,指数函数是减函数,在坐标平面上呈现出从左到右逐渐减小的趋势。
(2)指数函数的特殊值: 指数函数在x=0时的函数值为1,即f(0)=1。
这是因为任何数的0次幂都等于1。
(3)指数函数的逆运算: 指数函数与对数函数是互相逆运算的。
即指数函数f(x)=a^x和对数函数g(x)=logₐx满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的关系。
二、对数函数的基本概念对数函数是指以某个正实数为底数,对应的幂指数函数的逆函数。
具体而言,一个对数函数可以写成f(x)=logₐx的形式,其中a为正实数且不等于1,x为正实数。
2.1 对数函数的定义与表示对数函数可定义为一个正实数集上的函数,可以通过底数和真数的关系来表示。
例如,当底数a=2时,对数函数f(x)=log₂x可以表示成表达式f(x)=log₂x。
对数函数的定义域是正实数集,即D_f={x|x>0}。
2.2 对数函数的性质对数函数具有以下基本性质:(1)对数函数的图像: 当底数a>1时,对数函数f(x)=logₐx是增函数,在坐标平面上呈现出从左到右逐渐增长的趋势;当0<a<1时,对数函数是减函数,在坐标平面上呈现出从左到右逐渐减小的趋势。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数类型。
它们在数学和实际应用中具有广泛的作用和重要性。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在数学和实际中的应用。
一、指数函数指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数。
一般形式为 y =a^x,其中 a 是底数,x 是指数,y 是函数值。
指数函数的定义域为实数集,值域为正实数集。
指数函数的特点是当底数大于 1 时,随着指数的增加,函数值增加;当底数小于 1 且大于 0 时,随着指数的增加,函数值减小。
当底数为 1 时,指数函数为 y = 1,是一个常函数。
指数函数在数学中有广泛的应用,例如在复利计算、人口增长和物质衰变等方面。
在实际应用中,指数函数也常用于描述增长或衰变速度较快的现象,如病菌增长和药物浓度的降解等。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为y = logₐ(x),其中 a 是底数,y 是指数,x 是函数值。
对数函数的定义域为正实数集,值域为实数集。
对数函数的特点是当底数大于 1 时,随着函数值的增加,指数也增加;当底数小于 1 且大于 0 时,随着函数值的增加,指数逐渐变小。
对数函数在数学中有广泛的应用,特别是在解决指数方程和指数不等式时常被用到,例如求解 2^x = 8 的 x 值时,可以通过对数函数得到log₂(x) = log₂(8),进而得到 x = 3。
在实际应用中,对数函数也常用于衡量物质的浓度、信号的强度和地震的能量等。
三、指数函数与对数函数的性质和关系1. 指数函数和对数函数是互为反函数的关系,即 y = a^x 和 x =logₐ(y) 互为反函数。
2. 指数函数和对数函数具有对称性,即 a^x 和logₐ(x) 以直线 y = x为对称轴对称。
3. 指数函数和对数函数的图像都经过点 (1, a),其中 a 是底数。
4. 指数函数和对数函数的增长速度都与底数 a 的大小相关,当 a 大于 1 时,函数增长速度较快,当 a 小于 1 且大于 0 时,函数增长速度较慢。
指数函数与对数函数
指数函数指数函数程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)(8)显然指数函数无界。
(9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。
底数的平移:对于任何一个有意义的指数函数:在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像:指数函数(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较:比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1.(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是数学中两个重要的函数概念,它们之间存在着紧密的关系。
本文将介绍指数函数与对数函数的定义、性质以及它们之间的互逆关系。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以常数e(自然对数的底数)为底的幂函数。
具体地说,指数函数可以表示为y = a^x,其中a为正实数且不等于1,x为实数。
指数函数的性质如下:1. 定义域为实数集,值域为正实数集。
2. 在x轴上有一个特殊点x=0,它对应的函数值为1,即a^0 = 1。
3. 当a>1时,指数函数是递增函数;当0<a<1时,指数函数是递减函数。
4. 指数函数的图像可分为两种情况:当a>1时,图像在y轴的右侧逐渐增大;当0<a<1时,图像在y轴的右侧逐渐减小。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
具体地说,对数函数可以表示为y= loga(x),其中a为正实数且不等于1,x为正实数。
对数函数的性质如下:1. 定义域为正实数集,值域为实数集。
2. 当x=a^y时,有loga(a^y) = y和a^loga(x) = x,即对数函数和指数函数是互逆的运算。
3. 当a>1时,对数函数是递增函数;当0<a<1时,对数函数是递减函数。
4. 对数函数的图像在y轴上有一个特殊点y=0,它对应的函数值为loga(1) = 0。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是数学中非常重要的互逆函数。
对于任意的实数x和正实数a(a≠1),有以下等式成立:1. a^loga(x) = x,其中a为指数函数的底数,loga(x)为对数函数。
2. loga(a^x) = x,其中a为指数函数的底数,对数函数为loga(x)。
指数函数和对数函数的关系使得它们可以相互转化和应用。
比如,在解指数方程和对数方程时,我们可以利用指数函数与对数函数的互逆关系来化简问题和求解未知数的值。
结论:本文介绍了指数函数与对数函数的定义、性质以及它们之间的互逆关系。
指数函数和对数函数PPT课件
调递减;③单调递减;④单调递增.
10.(2010·天津高考)设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )
(A)a<c<b
(B)b<c<a
(C)a<b<c
(D)b<a<c
【解析】选D.由对数函数y=log5x的图象, 可得0<log53<log54<1, ∴b=(log53)2<log54, 又c=log45>1,∴b<a<c.
事实上对任意的x>0,y>0,ax+y=axay恒成立,故选C.
12.(2011·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 ________.
【解题指南】本题考查的是对数函数的单调性问题,解题的关
键是找出定义域和增区间的交集.
【解析】根据对数函数的底数大于1,函数在定义域内是增函
2.(2010·浙江高考)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则 α=( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【解析】选B.∵f(α)=log2(α+1)=1,∴α+1=2,∴α=1.
3.(2010·辽宁高考)设2a=5b=m,1 1 =2,则m=( )
ab
(A) 1 0
(B)10
(A)(2,+∞)
(B)(1,+∞)
(C)[1,+∞)
(D)[2,+∞)
【解析】选B.由x-1>0得x>1.
9.(2010·北京高考)给定函数
1
①y x2,②y log1 (x+1),
课件3:3.2.3 指数函数与对数函数的关系
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
求反函数
求函数y=2x+1(x<0)的反函数. [分析] 要求y=2x+1的反函数,应用y表示x,求出反函 数后,要注明反函数的定义域,即原函数的值域. [解析] 由 y=2x+1,得 2x=y-1, ∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1). 又∵x<0,∴0<2x<1,∴1<2x+1<2, ∴所求函数的反函数为 y=log2(x-1)(1<x<2).
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
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(3)∵f-1(x)>log21+k x, 即 log211+ -xx>log21+k x,
∴11+ -xx>1+k x, -1<x<1,
∴x->11<-xk<,1.
∴当 0<k<2 时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1}; 当 k≥2 时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
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[解析] (1)由 f(0)=0,得 a=1. ∴f(x)=22xx- +11. ∵f(x)+f(-x)=22xx- +11+22--xx-+11=22xx- +11+11- +22xx=0, ∴f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数. (2)∵y=22xx- +11=1-2x+2 1, ∴2x=11+-yy(-1<y<1), ∴f-1(x)=log211+-xx(-1<x<1).
指数与对数函数
指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中常见的函数类型,它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
指数函数可以用来表示增长的速度,而对数函数则可以用来解决指数式的问题。
本文将介绍指数与对数函数的定义、性质以及实际应用。
一、指数函数指数函数是一种以常数为底数的幂函数,它的一般形式可以表示为f(x) = a^x,其中a是正实数且不等于1。
指数函数的定义域为整个实数集,值域为正实数集。
指数函数的图像呈现出一种特殊的形态,即当底数大于1时,随着自变量增大,函数值也随之增大,呈现出递增趋势;而当底数小于1且大于0时,随着自变量增大,函数值反而减小,呈现出递减趋势。
指数函数在现实生活中有着广泛的应用。
举例来说,经济增长模型中常常使用指数函数来描述经济的增长趋势。
此外,放射性衰变也可以用指数函数来表示,指数函数在核物理领域起着重要的作用。
二、对数函数对数函数是指以某个正实数为底数,将正实数x映射到满足a^y = x的实数y的函数。
对数函数的定义域为正实数集,值域为整个实数集。
对数函数的一般形式可以表示为f(x) = logₐ(x),其中a是正实数且不等于1。
对数函数与指数函数是互为反函数关系,即指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。
对数函数的主要特点是,当底数大于1时,对数值随着自变量的增大而增大;当底数小于1且大于0时,对数值随着自变量的增大而减小。
对数函数广泛应用于科学和技术领域。
例如,在计算机科学中,对数函数在对数复杂性和算法分析中具有重要作用。
同时,在经济学和金融学中,对数函数常用于计算复利和持续增长的情况。
三、指数与对数函数的性质指数函数和对数函数具有一些重要的性质。
1. 指数与对数的互为反函数关系:对于任意的a>0且a≠1,和任意的x>0,有logₐ(a^x) = x和a^(logₐ(x)) = x。
也就是说,指数函数和对数函数是互为反函数的。
2. 指数与对数的运算规律:指数和对数具有一些重要的运算规律,如指数的乘方法则、指数函数的加法法则和对数的乘法法则等。
指数函数与对数函数的关系指数对数
指数函数与对数函数的关系指数对数指数函数与对数函数是数学中常见的两种函数形式,它们之间存在着密切的关系。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述,以便更加深入地了解指数函数与对数函数之间的关系。
一、指数函数的定义与性质指数函数是形如y=a^x的函数,其中a为常数,且a>0且a≠1。
指数函数具有以下几个基本性质:1. 当x为有理数时,指数函数具有封闭性,即a^x仍为实数;2. 指数函数的底数a决定了函数的增长趋势,当a>1时,函数呈现增长态势;当0<a<1时,函数呈现下降态势;3. 指数函数具有对称性,即a^x和a^(-x)关于y轴对称;4. 指数函数在x=0处必经过y=1,即a^0=1;5. 指数函数具有连续性,在定义域内连续。
二、对数函数的定义与性质对数函数是形如y=log_a(x)的函数,其中a为常数,且a>0且a≠1,x为正实数。
对数函数具有以下几个基本性质:1. 对数函数的定义域是正实数集,值域是实数集;2. 对数函数与指数函数是互逆运算,即log_a(a^x)=x和a^(log_a(x))=x;3. 对数函数的底数a决定了函数的增长趋势,当a>1时,函数呈现上升态势;当0<a<1时,函数呈现下降态势;4. 对数函数具有对称性,即log_a(x)和log_a(1/x)关于y=x对称;5. 对数函数具有连续性,在定义域内连续。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是密切相关的,它们之间存在以下等式关系:1. 指数函数和对数函数的复合函数等于自变量,即log_a(a^x)=x和a^(log_a(x))=x;2. 指数函数和对数函数是互逆变换,一个函数的增长趋势与另一个函数的减少趋势相对应;3. 对数函数可以用来求解指数方程,对数等于指数时,即log_a(x)=b等价于x=a^b。
四、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用:1. 财务与经济领域常用指数函数和对数函数来计算复利、利率和折旧等问题;2. 物理学中的指数函数描述了衰减、增长和波动等现象;3. 生物学中的指数函数描述了细菌的繁殖速率、物种的增长趋势等;4. 通信工程中的对数函数用于信号强度和信噪比的计算;5. 数据科学中的对数变换常用于数据降噪和幅度压缩等。
指数函数与对数函数
1、定义:
x a a 0 , a 1 (1)指数函数:一般地,函数 y 叫做指数函数。
(2)对数函数:一般地,函数 y loga x (a 0且a 1) 叫做对数函数。 (3)反函数:设 A、B 分别是函数y = f(x)的定义域和值域,如果由函数y = f(x)所解得的 x = φ(y)也是一个函数(即对任意一个 y ∈ B,都有唯一的一个x ∈ A与之对应) ,那么就称 x = φ(y)是函数y = f(x)的反函数,记作x = f −1 (y).习惯改写成y = f −1 (x). 注:反函数的性质:①函数y = f(x)与它的反函数y = f −1 (x)的定义域、值域恰好对调; ②若函数y = f x 图象上有一点(a,b) ,则点(b,a)必在其反函数的图象上。 2、图像与性质:
1
B.y=lg(x+ x2+1)
C.y=2x+2-x
3、函 数 y= ( 2) x +1 的 图 象 关 于 直 线 y=x 对 称 的 图 象 大 致 是
A.
2
B.
C.
D.
( )
x 2x 1 , 则 x 的取值范围是 4、若
A、R
B、(0,2)
C、 ( , 0 ) ( 2 , )
ab
a b
ab
a b
知识点二:指数函数与对数函数的性质应用
1、图象的性质
0<c<d<1<a<b 无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大;另记,作 x=1,从下往上,底 数从小到大。
C1、C2、C3、C4 分别对应 y = log a x、log b x、og c x、log d x
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数都是数学中的重要概念,它们的运用范围极为广泛,在科学、经济和工程等领域都有重要的应用。
指数函数是一种特殊的函数,它的形式表达式是 y = a^x,其中a 为指数的底数,x 为幂指数,指数函数的图像是一条“开口向上”的曲线,并且是一种“关于横轴对称”的函数,它的导数函数为 y' = a^x·ln(a)。
在稳态分析中,指数函数被用来描述数据增长或衰减的情况,如细菌培养中细菌数量的增长,温度下降的情况等。
对数函数是另一种重要的函数,它的形式表达式是y = ln x,其中ln 为自然对数的符号,x 为对数的底数,对数函数的图像是一条“开口向下”的曲线,并且是一种“关于纵轴对称”的函数,它的导数函数为 y' = 1/x。
在稳态分析中,对数函数被用来描述数据的增加或减少,如电子设备中的信号强度,金融市场中的价格波动等。
指数函数和对数函数在现实生活中都有重要的应用,它们可以让我们更好地理解自然界中的现象,更好地分析和处理问题,更好地探索科学的未知领域。
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第三讲 指数函数与对数函数
【知识要点】
1.方根的性质:1)a a n n =)(;2)n 为奇数,a a n n =;3)n 为偶数,⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n
2.幂的有关概念:
①规定:1)∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *), 2))0(10≠=a a ,
3)∈=-p a
a p p
(1
Q ,4)m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n
②性质:1)r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ),2)r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ),
3)∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q )(注)上述性质对r 、∈s R 均适用. 3.对数的概念:
①定义: N a b =⇔,log b N a =(01)a a >≠且 注:N 10log =N lg ,N e log =N ln ②基本性质:1)01log =a , 2)1log =a a , 3)对数恒等式:N a N
a =log
③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1)N M MN a a a log log )(log +=;2)N M N
M
a a a log log log -=; 3)∈=n M n M a n a (log log R ).
④换底公式:),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1)1log log =⋅a b b a , 2).log log b m
n b a n
a m =
4.指数函数与对数函数的图像与性质 【经典例题】
1、下图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A.
<<1<c <d B.b <a <1<d <c C.1<a <b <c <d D.a <b <1<d <c
、3a ·6
a -等于_______3、化简
3
4
21
4132
23)(a
b
b a ab b a ⋅(a >0,b >0)的结果是______。
4、已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 2
1(3-x )]的定义域是__________.
5.若函数()()0,1x
f x a b a a =->≠的图象不经过第二象限,则,a b 满足的条件是 ;
6、计算201032log [log (log 8)]= 。
7、已知log 7[log 3(log 2x)]=0,那么x
2
1
-
等于_________。
8
、计算1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg --=__________。
9、已知:36log ,518,9log 3018求==a 值.
10、与函数y =4x
的图象关于y 轴对称的函数是_____,关于x 轴对称的是____,关于y=x 对称的是____; 11、把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度,得到函数2x y =的图象,则__________; 12、设函数()(0,1)x f x a a a -=>≠,f(2)=4,则a=__________;
13、当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3x+1必过定点 . 14、已知21
12
2
2log 5log 30,x x +-<求函数21
2
4()(log )(log )8
x f x x
=⋅的值域.
15、已知9x -10·3x
+9≤0,求函数y =(
41)x -1-4(2
1)x
+2的最大值和最小值. 16.若log 2a 1+a 2
1+a
<0,则a 的取值范围是________.
17.已知函数1
1
)(+-=x x a a x f (a >1). (1)判断函数f (x )的奇偶性;
(2)求f (x )的值域;(3)证明f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. 18 、若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是( )
(A )m>n>1 (B )n>m>1(C )0<n<m<1 (D )0<m<n<1
19.函数y=lg (
112
-+x
)的图像关于_______对称。
20、对于函数)32(log )(2
2
1+-=ax x x f ,解答下述问题:
(1)若函数的定义域为R ,则实数a 的取值范围为_________; (2)若函数的值域为R ,则实数a 的取值范围为________;
(3)若函数在),1[+∞-内有意义,则实数a 的取值范围为_________; (4)若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ,则实数a 的值为______; (5)若函数的值域为]1,(--∞,则实数a 的值为______;
(6)若函数在]1,(-∞内为增函数,则实数a 的取值范围为________。
21、设函数200,0
(),()1,lg(1),0
x x f x f x x x x ≤=>+>⎧⎨⎩若则的取值范围为__________;
22、已知函数1
()()2
x f x =,其反函数为()g x ,则)(2
x g 是( )
A .奇函数且在(0,+∞)上单调递减
B .偶函数且在(0,+∞)上单调递增
C .奇函数且在(-∞,0)上单调递减
D .偶函数且在(-∞,0)上单调递增
23、已知y =log a (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 .
24、已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤
13,2都有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围.。