基本不等式优质课ppt课件
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《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
课程导入
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
a＞0,b＞0
填表比较：
注意:从不同角度认识基本不等式
课程讲解
课程讲解
例1 已知x>0，求x＋的最小值.
分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0（=x0＋），使x>0，都有x＋≥y.观察x+，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.
解：因为x>0，所以 x＋=2当且仅当x= ，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
谢谢大家
再见
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
a＞0,b＞0
填表比较：
注意:从不同角度认识基本不等式
课程讲解
课程讲解
例1 已知x>0，求x＋的最小值.
分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0（=x0＋），使x>0，都有x＋≥y.观察x+，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.
解：因为x>0，所以 x＋=2当且仅当x= ，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.
谢谢大家
再见
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
基本不等式第一课时公开课精ppt课件
.
7
新课探究
D
G
F
A
Ha E
b
ab
B
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、 b 可得 ab2 ab,
这个不等式又如何
C
证明？
.
8
从不等式的性质推导基本不等式
ab a b 2
我们一起来分析一下：
要证 a b ab
2
只要证 a+b 2 a b
（1） （2）
要证（2），只要证 a+b-2 a b 0 （3）
基本不等式(一)
ab a b 2
武汉睿升学校
.
1
欣 情景设置
赏 体 会
丰
富
自
我
.
2
ICM2002会标
.
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。
3
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
2、已知a、b、c 为两两不相等的实
数，求证 a 2 b 2 c2a b b c ac
.
16
小结：
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
.
17
.
18
ICM 2002
International Congress of Mathematicians
Bejing
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式PPT优秀课件
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
高中数学必修5优质课件：基本不等式
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1，∴当 x＝1－ 22，y＝ 2 －1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2yx＋xy≥3 ＋2 xy·2yx＝3＋2 2，
以下同解法一．
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
A．最大值为 0
B．最小值为 0
Байду номын сангаасC．最大值为－4
D．最小值为－4
解析：∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋－1x－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号． 答案：C
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九 分。
2．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是( ) A．a＞b＞a＋2 b＞ ab B．a＞a＋2 b＞ ab＞b C．a＞a＋2 b＞b＞ ab D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
[解] (1)∵m，n＞0 且 m＋n＝16， 所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64， 当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
(2)∵x＞3，∴x－3＞0，x－4 3＞0，于是 f(x)＝x＋x－4 3＝x－3
基本不等式
【知识梳理】
1．重要不等式 当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式
a＋b （1）有关概念：当 a，b 均为正数时，把 2 叫做正 数 a，b 的算术平均数，把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数.
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
《基本不等式》教学课件优秀课件
《基本不等式》教学课件优秀课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五章《数的奇偶性》中的基本不等式。
具体内容包括：1. 理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学会运用基本不等式解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 学生能够理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学生能够运用基本不等式解决实际问题；3. 学生能够培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并掌握基本不等式的性质；2. 教学重点：学会运用基本不等式解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：课本、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过一个简单的实际问题引出基本不等式的概念，激发学生的学习兴趣；2. 概念讲解：教师通过PPT课件或板书，详细讲解基本不等式的定义和性质；3. 例题讲解：教师通过PPT课件或板书，讲解几个典型例题，引导学生掌握基本不等式的运用方法；4. 随堂练习：教师给出几个练习题，让学生现场解答，巩固所学知识；5. 作业布置：教师布置几个相关作业题，让学生课后巩固。
六、板书设计1. 基本不等式的定义；2. 基本不等式的性质；3. 典型例题的解答过程；4. 随堂练习的题目和答案。
七、作业设计1. 请用文字和图形解释基本不等式的概念；2. 请举例说明如何运用基本不等式解决实际问题；3. 请完成课后练习题：第1题、第2题、第3题。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，为下一步教学做好准备；2. 拓展延伸：教师可以给学生推荐一些相关的学习资源，让学生课后拓展学习，提高自己的数学素养。
重点和难点解析一、教学内容1. 基本不等式的定义：重点解析基本不等式中的“任意两个正数”和“乘积为定值”这两个关键点，让学生充分理解基本不等式的含义；2. 基本不等式的性质：重点讲解基本不等式的不等关系和等号成立的条件，使学生能够熟练掌握并运用；3. 基本不等式的应用：通过实际问题，让学生学会如何运用基本不等式解决问题，培养学生的实际应用能力。
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
《基本不等式》PPT课件
1 3
3x（1-3x3）≤1 3
(
3x
1 2
3x
)
2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1时 6
ymax=
1 12
2. 函数y=
x
x
1
1(x
≥
0)的最小值为____1__,此时x=____0__.
构造积为 定值
解:
y x 1 x1
x 1
1 x1
1≥2-1=1
当且仅当 x 1 1 即x 0 时取“=”号
x1
3、已知 x≥ 5
2
Ａ．最大值 5 2
Ｃ．最大值1
，则
x2 4x 5 f (x)
有（ Ｄ ）
2x 4
Ｂ．最小值 5 4
Ｄ．最小值1 拆分法
解：
y
x2 4x 5 2x 4
(x 2)2 1 2(x 2)
1 2
( x
2)
x
1
2
≥1
特别地， a＝b =0时也成立
2、公式变形：
a b 2 ab
ab ( a b)2 （当a、b ∈R成立吗？） 2
a b ab 2
(a, b是正数,当且仅当 a＝b 时取“=”号)
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
1:求函数
y
x(a
4x)(0
x
a 4
,a
课件必修基本不等式PPT课件_优秀版
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .
类型一 基本不等式常见推论的证明
则当x+y的值是常数S时， ③注意等号成立的条件.
类型二 基本不等式实际应用
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
“=”成立条件 类型二 基本不等式实际应用
矩形菜园的面积为xy m2
a=b
a=b
已知x>0，y>0，则
注意从不同角度认识基本不等式
知识点二 基本不等式及其常见推论
1.a,b R, a2 b2 2 | ab |
B
x
C
当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
因 最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0m宽xy .都1100为10m时，所用的篱笆
类型二 基本不等式实际应用
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，
问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大
菜园面积最大，最大面积是81m2 思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. xy有最大值_______； 知识点二 基本不等式及其常见推论
类型三 基本不等式和积互化
面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .
类型一 基本不等式常见推论的证明
则当x+y的值是常数S时， ③注意等号成立的条件.
类型二 基本不等式实际应用
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
“=”成立条件 类型二 基本不等式实际应用
矩形菜园的面积为xy m2
a=b
a=b
已知x>0，y>0，则
注意从不同角度认识基本不等式
知识点二 基本不等式及其常见推论
1.a,b R, a2 b2 2 | ab |
B
x
C
当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
因 最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0m宽xy .都1100为10m时，所用的篱笆
类型二 基本不等式实际应用
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，
问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大
菜园面积最大，最大面积是81m2 思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. xy有最大值_______； 知识点二 基本不等式及其常见推论
类型三 基本不等式和积互化
面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
第一讲-不等式和绝对值不等式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
周长L=2建一做八边形旳休闲场合,它旳主体造
型平面图是由两个相同旳矩形ABCD和EFGH构成旳面积
为200平方米旳十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同旳矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空
6. a > b > 0 n a > n b
（开方性）
二: 不等式旳性质
能证明它们吗?
1.如果a > b，c > d，那么a + c > b + d 2.如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd 例：已知a > b > 0,c > d > 0，求证 a > b .
dc
三: 基本不等式
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小旳根据
例：比较x + 3(x + 7)和(x + 4)(x + 6)的大小。 解：因为x + 3(x + 7)-(x + 4)(x + 6)
=(x2 +10x + 21)-(x2 +10x + 24)
所以 x + 3(x + 7)<(x + 4)(x + 6)
4.a = b ac = bc （可乘性）
a = b,c = d ac = bd （乘法法则）
a = b an = bn (n∈N,n >1) （乘方性）
5.a = b n a = n b
（开方性）
1.a > b b < a
（对称性）
2.a > b,b > c a > c类比等式旳性（质传递性） 3.a > b a + c > b +复c 习不等式性（质可加性）
型平面图是由两个相同旳矩形ABCD和EFGH构成旳面积
为200平方米旳十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同旳矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空
6. a > b > 0 n a > n b
（开方性）
二: 不等式旳性质
能证明它们吗?
1.如果a > b，c > d，那么a + c > b + d 2.如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd 例：已知a > b > 0,c > d > 0，求证 a > b .
dc
三: 基本不等式
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小旳根据
例：比较x + 3(x + 7)和(x + 4)(x + 6)的大小。 解：因为x + 3(x + 7)-(x + 4)(x + 6)
=(x2 +10x + 21)-(x2 +10x + 24)
所以 x + 3(x + 7)<(x + 4)(x + 6)
4.a = b ac = bc （可乘性）
a = b,c = d ac = bd （乘法法则）
a = b an = bn (n∈N,n >1) （乘方性）
5.a = b n a = n b
（开方性）
1.a > b b < a
（对称性）
2.a > b,b > c a > c类比等式旳性（质传递性） 3.a > b a + c > b +复c 习不等式性（质可加性）
2.2(优质课)基本不等式新教材新课标(第一课时)
分析: x+(1-2x) 不是 常数.
2
=1为
当且仅当 时，取“=”号.
1. 若 0<x< ，求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．
所以原不等式成立．
过程：执果索因
分析法
新探究
当且仅当a=b时，取“=”成立
基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
2.2 基本不等式（第一课时）
高一年级数学备课组
引例：已知矩形长和宽分别为a,b，求做一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
创设情境，导入新知
1.计算引例中边长 （1） ;
（2） .
问题1：猜想二者有怎样的大小关系？合作探究尝试证明你们的猜想.
自主学习 合作探究
引例：已知矩形长和宽分别为a,b，求做一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
基本不等式
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
当且仅当a=b时，取“=”成立
当x=6，y=4时，最小值为48
层次1：课本第46页练习第2,3题层次2：课本第46页练习第4,5题
1、知识层面：学习了基本不等式的三种语言的表述；
2
=1为
当且仅当 时，取“=”号.
1. 若 0<x< ，求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．
所以原不等式成立．
过程：执果索因
分析法
新探究
当且仅当a=b时，取“=”成立
基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
2.2 基本不等式（第一课时）
高一年级数学备课组
引例：已知矩形长和宽分别为a,b，求做一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
创设情境，导入新知
1.计算引例中边长 （1） ;
（2） .
问题1：猜想二者有怎样的大小关系？合作探究尝试证明你们的猜想.
自主学习 合作探究
引例：已知矩形长和宽分别为a,b，求做一个正方形：
（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？
（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？
基本不等式
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
当且仅当a=b时，取“=”成立
当x=6，y=4时，最小值为48
层次1：课本第46页练习第2,3题层次2：课本第46页练习第4,5题
1、知识层面：学习了基本不等式的三种语言的表述；
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替换后得到： ( a)2( b)2≥ 2a b
即： ab≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab (a 0,b 0)
.
8
问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
证明：要证 a b ≥ ab
只要证 2 a b≥ _2___a_b__
法分 析①
要证①，只要证 a b _2__a_b_≥0
②
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
.
10
问题导学2：
观察下图，你能得到不等式 ab a b (a 0, b 0)
2 的几何解释吗？
ACa,BCb A
.
D C
E
11
基本不等式
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
x
x
当且仅当x4,即x2时,等号成立. x
不满足“三相等”
.
28
三、归纳总结：
1. 两个不等式
(1)a, b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
解 ∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，
“1”的代换
∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16，
当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正： 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大 值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用 的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立. 。
5
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2b22ab(ab)2
a=b
a=b
.
13
二、题型探究
题型一 基本不等式与最值
例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋4x的最小值，并求此时 x 的值；
一正
二定
解 当 x>0 时，x＋4x≥2 x·4x＝4，
三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
题型二 基本不等式在实际问题中的应用 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形 的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得 xy≤81，
当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最 大面积为81 m2.
反思与感悟
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标 量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大 (小)值及取最大(小)值的条件.
当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0
所 以 a2b2≥ 2ab.
.
6
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
.
7
问题一 如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a,b, 可得到什么结论？
由x＋2 y≥ xy，可得 x＋y≥2 100，2(x＋y)≥40.
等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱 笆为40 m.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
.
12
比较重要不等式和基本不等式：
a2 b2≥2ab
a b≥ ab 2
适用范围
a,b∈R
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条 件
口诀：一正、二定、三相等
练习 1 (1)已知 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值；
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解:(1) ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2
1x2·3x＝12，
当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号.
∴f(x)的最小值为12.
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
＝240
000＋720×x＋1
600
x
≥240 000＋720×2
1 x·
6x00＝297
600(元)，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，y 取得最小值 297 600.
答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价
归纳总结 基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是 正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 定值；求和x＋y的最 小值时，应看积xy是否为 定值； (3)等号成立的条件是否满足.
你能在这个图案中找
出一些相等关系或不等关
系吗？
.
3
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
1、正方形ABCD的面积
a b 2 2
S=＿＿＿＿＿
C ２、四个直角三角形的
面积和 S’
=＿2a＿b
３、S与S’有怎样的不 等关系？
B
S>S′
那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab(a≠b)
.
4
D
D
a2 b2
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
口诀：一正、二定、三相等
.
29
练习2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800
m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造
价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是
多少？
解
设水池底面一边的长度为x
m，
则另一边的长度为4
800 3x
m.
又设水池总造价为y元，根据题意，
得 y＝150×4 8300＋120×(2×3x＋2×3×4 38x00)
(2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值；
一正
解 ∵0<x<32，∴3－2x>0，
二定 凑项：使和成定值
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
三相等
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
(3)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值；
一正
解 ∵x>2，∴x－2>0，
二定 凑项பைடு நூலகம்使积成定值
∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2
三相等
x－2·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立.
∴x＋x－4 2的最小值为 6.
(4)已知 x>0，y>0，且 1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值.
即：已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
错 大家来找茬： 在哪里？
(
1)已知
x
<
0, 求
x
1 x
的最值;
解
:
x
1 x
2
x×
1 x
2,
\原式有最小值 2.
第三章 不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
问题导学
题型探究
归纳总结
问题导学1：
该图是在北京召开的 第24界国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表中国 人民热情好客。
即： ab≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab (a 0,b 0)
.
8
问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
证明：要证 a b ≥ ab
只要证 2 a b≥ _2___a_b__
法分 析①
要证①，只要证 a b _2__a_b_≥0
②
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
.
10
问题导学2：
观察下图，你能得到不等式 ab a b (a 0, b 0)
2 的几何解释吗？
ACa,BCb A
.
D C
E
11
基本不等式
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
x
x
当且仅当x4,即x2时,等号成立. x
不满足“三相等”
.
28
三、归纳总结：
1. 两个不等式
(1)a, b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
解 ∵x>0，y>0，1x＋9y＝1，
“1”的代换
∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16，
当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正： 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大 值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用 的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立. 。
5
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2b22ab(ab)2
a=b
a=b
.
13
二、题型探究
题型一 基本不等式与最值
例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋4x的最小值，并求此时 x 的值；
一正
二定
解 当 x>0 时，x＋4x≥2 x·4x＝4，
三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
题型二 基本不等式在实际问题中的应用 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形 的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得 xy≤81，
当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最 大面积为81 m2.
反思与感悟
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标 量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大 (小)值及取最大(小)值的条件.
当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0
所 以 a2b2≥ 2ab.
.
6
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
.
7
问题一 如果a 0, b 0,我们用 a , b分别代替a,b, 可得到什么结论？
由x＋2 y≥ xy，可得 x＋y≥2 100，2(x＋y)≥40.
等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱 笆为40 m.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
.
12
比较重要不等式和基本不等式：
a2 b2≥2ab
a b≥ ab 2
适用范围
a,b∈R
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条 件
口诀：一正、二定、三相等
练习 1 (1)已知 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值；
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解:(1) ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2
1x2·3x＝12，
当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号.
∴f(x)的最小值为12.
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
＝240
000＋720×x＋1
600
x
≥240 000＋720×2
1 x·
6x00＝297
600(元)，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，y 取得最小值 297 600.
答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价
归纳总结 基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是 正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 定值；求和x＋y的最 小值时，应看积xy是否为 定值； (3)等号成立的条件是否满足.
你能在这个图案中找
出一些相等关系或不等关
系吗？
.
3
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
1、正方形ABCD的面积
a b 2 2
S=＿＿＿＿＿
C ２、四个直角三角形的
面积和 S’
=＿2a＿b
３、S与S’有怎样的不 等关系？
B
S>S′
那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab(a≠b)
.
4
D
D
a2 b2
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
口诀：一正、二定、三相等
.
29
练习2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800
m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造
价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是
多少？
解
设水池底面一边的长度为x
m，
则另一边的长度为4
800 3x
m.
又设水池总造价为y元，根据题意，
得 y＝150×4 8300＋120×(2×3x＋2×3×4 38x00)
(2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值；
一正
解 ∵0<x<32，∴3－2x>0，
二定 凑项：使和成定值
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
三相等
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
(3)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值；
一正
解 ∵x>2，∴x－2>0，
二定 凑项பைடு நூலகம்使积成定值
∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2
三相等
x－2·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立.
∴x＋x－4 2的最小值为 6.
(4)已知 x>0，y>0，且 1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值.
即：已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
错 大家来找茬： 在哪里？
(
1)已知
x
<
0, 求
x
1 x
的最值;
解
:
x
1 x
2
x×
1 x
2,
\原式有最小值 2.
第三章 不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
问题导学
题型探究
归纳总结
问题导学1：
该图是在北京召开的 第24界国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表中国 人民热情好客。