教育最新K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测五理

课时跟踪检测（五）
一、选择题
1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6，π2上具有单调
性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.
π2 B ．π C.3π
2
D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2
＋2π
32－
π2＋π
6
2
，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( ) A ．1＋
3
2
B ．1＋
34
C.12＋32
D.1
2
＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin
A ＋sin
B ＋sin
C ＝1＋
3
2
，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D ．[－2,1]
解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m
＝
1
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所
以
m ≤－2或m ≥1，故选C.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝7
9，
则△ABC 的面积为( )
A.
152 B.523
C ．5 2
D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠
ABC －A )＝79
，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9
＋x 2
－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上
的高为22，所以S △ABC ＝1
2
×5×22＝52，故选C.
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝
1
2
b ，且a >b ，则B ＝( )
A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝1
2.又a >b ，所以A >B ，则B
∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6.
6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→·CP ―→
＝－32
，则λ＝( )
A.12
B.1±2
2 C.
1±10
2
D.－3±22
2
解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且
垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，
C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→
＝(1
－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→·CP ―→
＝(－1
－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2
－4λ＋1＝0，∴λ＝12
.
二、填空题
7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·β
β·β
.若平面向量a ，b 满足
|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n 2
|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.
解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2
＝|a |cos θ
|b |
，
①
b ∘a ＝b·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2
＝|b |cos θ
|a |
.
②
∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.
又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b |
|a |
cos θ<1，即0<b ∘a <1.
∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝1
2.
①×②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2
θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，
∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：32
8.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD 的中点，则向量AP ―→与AQ ―→
的夹角的余弦值为________．
解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
2，32，
Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，
32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32， 所以cos ∠PAQ ＝AP ―→·AQ ―→
|AP ―→||AQ ―→|＝154＋3
47×3＝321
14.
答案：321
14
9．(2017·石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为
π
3
，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组
x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.
解析：由题意，x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2
＋m·n ＋n 2
＝
m 2＋λ|m ||m |cos
π3＋λ2m 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m·n ＋m·n ＋m·n ＝3λ|m |·|m |cos π3＝
3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34>0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得
λ＝8
3
.
答案：83
三、解答题
10．已知函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )2
－2.
(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值； (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3，且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．
解：(1)f (x )＝(3sin x ＋cos x )2
－2 ＝(3sin 2
x ＋cos 2
x ＋23sin x cos x )－2 ＝2sin 2x ＋3sin 2x －1
＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，
∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，函数f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2；
当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. (2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝2，
即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.
∵A ∈(0，π)，∴2A －π6＝π2，解得A ＝π
3.
∵sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c . ∵a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，
∴3＝5c 2－4c 2
×cos π3，解得c ＝1，∴b ＝2.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×1×sin π3＝3
2
.
11．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin B ＝sin A ＋sin C ，设B 的最大值为B 0.
(1)求B 0的值；
(2)当B ＝B 0，a ＝3，c ＝6，AD ―→＝12DB ―→
时，求CD 的长．
解：(1)由题设及正弦定理知，2b ＝a ＋c ，即b ＝
a ＋c
2
.
由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b
2
2ac
＝
a 2＋c 2－⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22
2ac
＝
a 2＋c 2－2ac 8ac
≥
ac －2ac 8ac ＝1
2
，
当且仅当a 2
＝c 2
，即a ＝c 时等号成立． ∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴B 的最大值B 0＝π3
.
(2)∵B ＝B 0＝π
3，a ＝3，c ＝6，
∴b ＝a 2
＋c 2－2ac cos B ＝33， ∴c 2＝a 2＋b 2
，即C ＝π2，A ＝π6
，
由AD ―→＝12DB ―→
，知AD ＝13AB ＝2，在△ACD 中，
由余弦定理得CD ＝
AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos π
6
＝13.
12.某地拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角
形区域ABC 为主题活动区，其中∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126；
AD ，CD 为游客通道(不考虑宽度)，且∠ADC ＝120°，三角形区域ADC 为
游乐休闲中心供游客休憩．
(1)求AC 的长度；
(2)记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值． 解：(1)由正弦定理，得
AB sin ∠ACB ＝AC
sin ∠ABC
，
又∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126， 所以AC ＝126sin 45°
sin 60°
＝24.
(2)设∠CAD ＝θ(0°<θ<60°)，则∠ACD ＝60°－θ， 在△ADC 中，
由正弦定理得AC sin 120°＝CD sin θ＝
AD
－θ
，
所以L ＝AD ＋CD
＝163[sin(60°－θ)＋sin θ]
＝163(sin 60°cos θ－cos 60°sin θ＋sin θ) ＝163sin(60°＋θ)，
故当θ＝30°时，L 取到最大值16 3.。