圆内接四边形

圆内接四边形
圆内接四边形
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的⼤⼩是（）
A．80°B．100°C．60°D．40°
【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆⼼，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）
A．B．C．D．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的⼤⼩是（）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上⼀点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若
∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（）
A．1：2：2：3 B．2：2：3：1 C．3：6：5：2 D．2：3：2：3
2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的⼀个外⾓∠BCE=65°，则∠BOD的⼤⼩为（）
A．65°B．115°C．130°D．135°
【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）
A．55°B．50°C．45°D．40°
【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外⼀点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=．
【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E=∠F时，则∠ADC=°；
（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你⽤含有α、β的代数式表⽰∠A的⼤⼩．
3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内上⼀点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）
A．5 B．4 C．3 D．4
【变式1】四边形ABCD内接于⊙O，∠A的度数是x，∠C的度数是y，则y与x的函数图象是（）
A．B．C．D．
【变式2】如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上⼀点，∠BMO=150°．
（1）求证：AB为⊙C直径；
（2）求⊙C的半径及圆⼼C的坐标．
4如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，=，过点C作CE⊥AD，垂⾜为E，若AE=3，DE=，求∠ABC的度数．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE．
【变式2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三⾓形．
【变式3】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上⼀动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；
（2）若∠A=90°，=，求证：PB﹣PD=PC．
【变式4】研究发现：当四边形的对⾓线互相垂直时，该四边形的⾯积等于对⾓线乘积的⼀半，如图1，⼰知四边形ABCD内接于⊙O，对⾓线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的⾯积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【变式5】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上⼀点．
（1）若∠C=110°，求∠E的度数；
（2）若∠E=∠C，求证：△ABD为等边三⾓形．
【变式6】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对⾓线AC上．
（1）若BC=DC，∠CBD=39°，求∠BCD的度数；
（2）若在AC上有⼀点E，且EC=BC=DC，求证：∠1=∠2．
【变式7】如图，已知四边形ABCD内接于圆，对⾓线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
【变式8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的⼀个外⾓，且AD平分∠CAE．
求证：DB=DC．
【变式9】我们学过圆内接三⾓形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下⾯我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有，．∵∠1+∠2=360°∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对⾓（相对的两个⾓）互补．
（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的⼀个外⾓，请你探究外⾓∠DCE与它的相邻内⾓的对⾓（简称内对⾓）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．
（III）应⽤：请你应⽤上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，
如果DE平分
∠FDC，求证：AB=AC．
【变式10】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆⼼O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，，试求⊙O的半径；
（3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．
【课后练习】
1．（朝阳区⼀模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上⼀点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．130°
2．（门头沟区⼆模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上⼀点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么的长为（）
A．6πB．12πC．2πD．4π
3．（丰台区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（）
A．30°B．60°C．80°D．120°
4．（西城区⼀模）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为．
5．（海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的⼀个外⾓∠DCE等于．
6．（159期中）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=，∠B=，∠C=，∠
D=．
7．（⼈⼤附期末）如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的⼀点，若∠C=45°，AB=，则∠BAD=，点B到AE的距离为．
8．（平⾕区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．
9．（北达资源期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠OAC=40°，求∠ABC的度数．
10．（东城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平⾏四边形，求∠OAD+∠OCD 的度数．。