概率论与数理统计林文浩第二章习题

概率论与数理统计林文浩第二章习题

习题二一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为。

解此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有

111m0C3C2C16P(X 0) ，n3327

111C3C218m1C3P(X 1) ，3n327

111C3C3m2C33P(X 2) 。n3327

（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个P{X 1} 33 ，C735C735 213C4C318C44P{X 2} 3 ，P{X 1} 3 C735C735

1

所以X的概率分布为

2．一个口袋中有六个球，在这六个球上分别标有3, 3,1,1,1,2的数字，从这口袋中任取一个球，求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。

解由古典概型知

P{X 3} 21311 ，P{X 1} ，P{X 2} 63626

所以X的分布列为

0,x 0 3．随机变量X的分布函数为F(x) x 1,求：（1）系数A；（2）X的概 1,x 1 率密度f(x)；（3）P{0 X 0.25}。

解X为连续型随机变量，其分布函数为连续函数，故有A F(1 0) F(1) 1

于是当x 0时，f(x

) F (x) 0；

当x 0时，f (0) lim x 0F(x) F(0)0 0 lim

0，x 0xx

f (0) lim

x 0F(x) F(0) limx 0 x

；当0 x 1时，f(x) F (x)

当x 1时，f (1) lim x 1F(x) F(1) lim 0 x 1 x F(x) F(1)1 1 lim 0 x 0 x x

2 f (1) lim x 1故f(1) 0；

当x 1时，f(x) F (x) (1) 0

。

0 x 1所以所求概率密度为

f(x)

0,其它

而

P{0 X 0.25} F(0.25) F(0) 0 0.5

4．连续地掷一颗骰子，直到出现最大点数6为止，用X表示掷骰子的次数，求X的概率

分布，并求P{X 3}。

解设A {掷一次骰子出现点数6}，则P(A) 1，于是X为几何分布即6

1X~G(P) G()，其分布为6

15P{X k} (1 p)k 1p ()k 1,k 1,2, 66

而

P{X 3} 1 P{X 3} 1 P{X 1} P{X 2}

11525 1 66636

5．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列。

解由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得

P{X k} 0.9(1 0.9)k 1,k 1,2,3,4

即

P{X 1} 0.9，P{X 2} 0.09，

P{X 3} 0.009，P{X 4} 0.00 0

而由全概率公式得

P{X 5} 0.9(1 0.9)4 (1 0.9)5 0.0001

所以X的分布列为

3

6．在相同条件下相互独立进行5次射击，每次射击击中目标的概率为0.7，求击中目标的次数X的分布律及分布函数。

解X~B(5,0.7)，由二项分布概率公式可得

kk5 k pk P{X k} P,5(k) C50.7(1 0.7)k 0,1,2,3,4,5

故X的分布律为

p0 0.00243，p1 0.02835，p2 0.1323

p3 0.3087，p4 0.36015，p5 0.16807

而根据

F(x)

可得X的分布函数为 P{X k} k x

0,x 0. 0.00243,0 x 1, 0.03078,1 x 2,

F(x) 0.16308,2 x 3,

0.47178,3 x 4, 0.83193,4 x 5, 1,x 5.

7．设一个盒子中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，以X 表示取出的3个纪念章上的最大号码，（1）求X的分布列；（2）求P{X 5}。

解由题设X的所有可能取值为3，4，5，而由古典概型可得

22C323C2C416 P{X 3} 3 ，P{X 4} 3 ，P{X 5} 3 C510C510C510

所以X的分布列为

且P{X 5} P{X 3} P{X 4}

132 101054

8．袋中有四个红球，两个白球，今从中逐个取球，共取5次，在下列两种情况下求取得红球数X的分布列：（1）每次取出的球，观其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。

解（1）X~B(5,)，由二项分布概率公式可得

pk P{X k} P5(k) C5()(1 )

故X的分布律为k2323k235 k,k 0,1,2,3,4,5

11040808032，p1 ，p2 ，p3 ，p4 ，p5 243243243243243243

（2）从六个球中不放回地逐个取球5次，最后袋中剩下或红或白一球，因此X的所有可能取值为3，4。由古典概型按组合算法可得X的分布律为p0 3241C4C22C4C21 P{X 3} ， P{X 4} 55C63C63

若按排列算法，则有

3241C4C2P52C4C2P51，P{X 3} P{X 4} 55A63A63

9．从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品，设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情况下分别求出直到取得正品时抽取产品数X的分布列：

（1）每次取出产品检定后又放回，再取下一件产品；

（2）每次取出产品后不放回；

（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回这批产品中。

7)，其分布为10

73P{X k} p(1 p)k 1 ()k 1,k 1,2, 1010

（2）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为

7377 P{X 1} ，P{X 2} ，1010930

327732171P{X 3} ，P{X 4} 109812010987120

（3）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为

73824 P{X 1} ，P{X 2}，101010100 32954321106P{X 3} ，P{X 4} 1010101000101010101000解（1）X为几何分布即X~G(P) G(

5

acosx, x , 22 （1）求系数a；10．设随机变量的概率密度为f(x) （2）求

0,x 或x . 22

分布函数F(x)；（3）画出y f(x)与y F(x)的图形进行比较。

解由概率密度的性质，有