甘肃省18届高三数学下学期第一次诊断考试试题理180402163

2018年甘肃省第一次高考诊断考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集U R =，集合{}
2A x x =≥，{}
06B x x =≤<，则集合()U （ ） A ．{}02x x << B ．{}02x x <≤ C ．{}
02x x ≤< D ．{
}
02x x ≤≤ 2. 在复平面内复数34i
z i
+=
、 (i 是虚数单位)对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 3. 向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（ ）
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
4. 若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．-1
B ． 1 C. 2 D ．3
5. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23
π
，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．
2 C.
6. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（ ）
A ． 65
B ．64 C. 63 D ．62
7. 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若
7
cos 225
BAE ∠=
，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（ ）
A ．
2425 B ． 45 C. 35 D ．125
8. 过直线23y x =+上的点作圆2
2
46120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ）
A ．．
5
9. 如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数
2
()f x ax bx c =++的图象上，则1
()0
f x dx =⎰（ ）
A ．
1011 B ． 1112 C. 1312 D ．1211
10.过双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点F 作两条渐近线的垂线，
垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）
A ．11. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，
M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平
面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）
A ．
B ． C.
D ．
12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]2
2
2
(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实
数m
的最大值为（ ）
A ．．2 C. e D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 二项式6
2()x x
-的展开式中的常数项是 ．(用数字作答) 14. 已知数列{}n a 满足115a =，
12()n n a a n N n *+-=∈，则n a
n
的最小值为 ． 15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.
如果三人中只有一人说的是真的，请问 (填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 16.抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，
(2,)n a c b =+，且m n ⊥.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.
18. 四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形
ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.
（Ⅰ）求证：平面1
ABC ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.
19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)
与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5y x a =+，试确定ˆa
的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.
20.椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的
直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ，若15PF =，且2
3a b =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且
22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.
21. 已知函数()ln f x a x =，a R ∈.
（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x =
a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12
x
xe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线221:((1)4C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6
π
后得到的曲线记为2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线3
π
θ=
（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.
（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且111
23m a b c
++=，求证：239a b c ++≥.
参考答案
一、选择题
1-5: CDACB 6-10: CDABD 11、12：DB 二、填空题
13. -160 14. 274 15. 甲 16.2
三、解答题
17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=
∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-， ∴1cos 2B =-
，∴23
B π=. （Ⅱ）根据余弦定理可知2
2
2
2cos b a c ac B =+-，∴2
2
36a c ac =++，
又∵236()a c ac =+-，∴2
2
()36()2
a c a c ac ++-=≤，∴6a c <+≤
则ABC ∆周长的取值范围是(
12,6+.
18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，
又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ， ∵AC ⊂平面1ABC ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D . （Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD
∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B = 设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,A .
11111
,2)22B A BA A =
⇒-，
同理11
(,2)2
C -， 131
(
,2)22BA =，(0,2,0)BD =，
11
(,2)22
BC =-
. 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，
∴10,0,
BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
则(n =-，
设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，
10,
0,
BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
则m =， 设二面角11A BD C --为θ，13
cos 19
m n m n
θ⋅=
=
.
19. 解：（Ⅰ）如折线图数据可知
20082010201220142016
20125
x ++++=
=
236246257276286260.25
y ++++==
代入线性回归方程ˆˆ6.5y
x a =+可得ˆ12817.8a =-. 将2018x =代入方程可得ˆ299.2y
=千万立方米. （Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆， 2辆，3辆
则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时11
122
62
( 3.5)15C C P C ξ===； 当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时11132
63
( 4.4)15C C P C ξ===； 当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232
662
( 5.9)155C C P C ξ====； 当B 类抽2辆时，=5ξ，此时2
2261
(5)15
C P C ξ===；
当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631
( 6.8)155
C P C ξ====.
所以ξ的分布列为：
∴ 3.5 4.4 5.95 6.8151551555
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元） 20.解：（Ⅰ）由题可得223b P
F a ==，因为1
5PF =，由椭圆的定义得4a =，所以2
12b =，所以椭圆E 方程为
22
11612
x y +=. （Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，
由223(2)11612
y k x x y -=-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，
∴12
8(23)
234k k x k ++=
+
同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得
222
8(23)8(23)
23434k k k k x k k ---++=
=++，
∴2122
1612
34k x x k -+=+，12
24834k x x k --=+， 121212121212(2)3(2)3()41
2
AB y y k x k
x k x x k k x x x x x x --++--+-=
==
=---，
∴满足条件的直线AB 的方程为1
1(1)2
y x +=
-，即为230x y --=. 21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()a f x x '=
，()g x '= 设曲线()y f x =与曲线()g x =
00(,)x y
由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =，解得204x a =，0a >. 由00()()f x g x =
可得0ln a x =
联立2004,ln x a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2e a =. （Ⅱ）函数1()()12
x
xe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2e H x xf x x x == 与函数1()12
x
xe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点， ()()ln 2e H x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222
e e e H x x x '=+=+， 令()0H x '>，解得1(,)x e
∈+∞，此时函数()H x 单调递增； 令()0H x '<，解得1(0,)x e
∈，此时函数()H x 单调递减. ∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-. 1()12
x
xe G x -=-可得11()(1)2x G x x e -'=-， 令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增； 令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.
∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2
G =-. 因此两个函数无交点.即函数1()()12
x
xe F x xf x -=-+无零点. 22.
解：曲线221:((1)4C x y +-=
化为极坐标方程是2sin ρθθ=+ 设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转
6
π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是
2cos ρθθ=+. （Ⅱ）将3π
θ=（0ρ>）分别代入1C ，2C
的极坐标方程，得到1ρ=，24ρ=
124AB ρρ=-=-23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+ 由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =. （Ⅱ）1
1
1
123a b c ++=则
111233223(22)()111232233b c a c a b
a b c a b c a b c a a b b c c ++=++++=++++++++
233233692323b a c a c b
a b a c b c =++++++≥+=
当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，3
2b =，1c =时等号成立.。