高一数学试题

高一数学试题

1.（2015•兴国县一模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x

叫做函数f（x）的“新驻点”，若函

数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）

A．γ＞α＞βB．β＞α＞γC．α＞β＞γD．β＞γ＞α

【答案】A

【解析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）

=φ（x），

则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值

范围即可．

解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，

由题意得：

α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，

①∵ln（β+1）=，

∴（β+1）β+1=e，

当β≥1时，β+1≥2，

∴β+1≤＜2，

∴β＜1，这与β≥1矛盾，

∴0＜β＜1；

②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

∴3γ2＞0

∴γ3＞1，

∴γ＞1．

∴γ＞α＞β．

故答案为 A．

点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根

的范围的讨论是一个难点．

2.（2014•洛阳二模）已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x

，

f（x

）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函

数f（x）=x3﹣3x2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）

A．4027B．﹣4027C．8054D．﹣8054

【答案】D

【解析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=

﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2013对﹣4和一个f（1）=﹣2，可得答案．

解：由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，

由f″（x

0）=0得x

=1，而f（1）=﹣2，故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，

即f（x）+f（2﹣x）=﹣4．

∴f（）+f（）=﹣4，…=﹣4，，

∴（）+f（）+f（）+…+f（）=﹣4×2013+（﹣2）=﹣8054，

故选：D．

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．

3.（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f （x）﹣log

3

x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（，1）D．（0，）

【答案】B

【解析】由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log

3 x]=4，可设f（x）﹣log

3

x=c（c为常数），求

出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．

解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log

3 x]=4，

∴可设f（x）﹣log

3 x=c（c为常数），则f（x）=log

3

x+c，

∴f[f（x）﹣log

3 x]=f（c）=log

3

c+c=4，∴c=3，

∴f（x）=log

3

x+3，

∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log

3（x﹣1）﹣log

3

e在（1，+∞）上为增函数，

g（2）=﹣log

3e＜0，g（3）=log

3

2﹣log

3

e=log

3

＞0，

由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．

故选B．

点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时

考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．

4.（2014•浙江模拟）已知f（x）为R上的可导函数，且满足f（x）＞f′（x），对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）

A．

B．

C．f（a）＞e a f（0）

D．f（a）＜e a f（0）

【答案】D

【解析】根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解：设F（x）=，

则F'（x）=，

∵f（x）＞f′（x），

∴F'（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．

∵任意正实数a，满足a＞0，

∴F（a）＜F（0），

即，

∴f（a）＜e a f（0），

故选：D．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

5.（2014•大庆二模）下列四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣4）x+1（a∈R，

a≠0）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）=（）

A．B．C．﹣D．1

【答案】C

【解析】先求出f′（x）=（x+a）2﹣4，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f′（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）．

解：∵f（x）=x3+ax2+（a2﹣4）x+1，

∴f′（x）=x2+2ax+（a2﹣4）=（x+a）2﹣4，

∴开口向上，对称轴x=﹣a，

∵a∈R，a≠0

∴只有第三个图是导函数y=f′（x）的图象，

∴a2﹣4=0，x=﹣a＞0，

∴a=﹣2，

∴f（x）=x3﹣2x2+1，

∴f（1）=，

故选：C．

点评：本题主要考查了函数的图象的性质以及求函数的导数，找到图象的对称轴是关键，属于基础题．

6.（2014•碑林区一模）设函数f（x）=x（x+k）（x+2k）（x﹣3k），且f′（0）=6，则k=（）A．0B．﹣1C．3D．﹣6

【答案】B

【解析】由f（x）=x（x+k）（x+2k）（x﹣3k）=x（x﹣3k）（x﹣k）（x﹣2k）=（x2﹣3kx）2+2k2（x2﹣3kx），利用复合函数的导数的求导可得f′（x）=2（x2﹣3kx）（2x﹣3k）+2k2（2x﹣3k），由f′（0）=6可求k

解：∵f（x）=x（x+k）（x+2k）（x﹣3k）

=x（x﹣3k）（x﹣k）（x﹣2k）=（x2﹣3kx）（x2﹣3kx+2k2）

=（x2﹣3kx）2+2k2（x2﹣3kx）

∴f′（x）=2（x2﹣3kx）（2x﹣3k）+2k2（2x﹣3k）

∴f′（0）=﹣6k3=6

∴k=﹣1

故选：B

点评：本题主要考查了复合函数的求导，解题的关键是熟练掌握复合函数的求导，属于基础试题

7.（2014•葫芦岛二模）已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x

1，x

2

∈（0，π）（x

1

≠x

2

），且f

（x

1）=f（x

2

），若x

1

，x

，x

2

成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）

A．f′（x

0）＜0B．f′（x

）=0

C．f′（x

0）＞0D．f′（x

）的符号无法确定

【答案】B

【解析】利用二次函数的性质和导数的定义求解．

解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x

1，x

2

∈（0，π）（x

1

≠x

2

），且f（x

1

）=f（x

2

），