(完整word版)2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学(理)试题(解析版)

2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
|4120,{|2}A x x x B y y =--<==，则A B =I ( )
A.[0,6)
B.)[26，
C.(2,0]-
D.∅
【答案】B
【解析】解一元二次不等式化简集合A,求函数2y = 的值域化简B .然后求A B I .
【详解】 依题意，
{}
2|4120{|26},{|2}{|2}A x x x x x B y y y y =--<=-<<===…，故[2,6)A B =I .
故选B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算,属基础题.
2．3229i
i -=+( ) A.
1231i 8585
- B.12318585
i -
+ C.
12318585
+i D.1231i 8585
-
- 【答案】D
【解析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简可得. 【详解】
32(32)(29)6274181231
29(29)(29)858585
i i i i i i i i i ------===--++- . 故选D . 【点睛】
本题考查了复数的代数运算,属基础题.
3．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A.a b c >> B.a c b >>
C.b a c >>
D.b c a >>
【答案】A
【解析】先将,,a b c 变形化为:31log 5a =+,41log 5b =+,61log 5c =+,然后利用
3log y x =,4log y x =,6log y x =的图象比较大小可得.
【详解】 依题意，
33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+,6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+；
由3log y x =,4log y x =,6log y x =的图象如图:
可得346log 5log 5log 5>>， 故a b c >> . 故选A . 【点睛】
本题考查了对数函数的图象和性质,属中档题.
4．“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )
A.
13
B.
712
C.
512
D.
12
【答案】B
【解析】分两类计数甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况,(1)甲扮演杨贵妃;(2)甲扮演王昭君或扮演西施.然后用古典概型概率公式计算. 【详解】
依题意，所有的扮演情况为4
4A 24=种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况为322
322A 2A A 14+=种，故所求概率147
2412
P =
=. 故选B . 【点睛】
本题考查了分类计数原理以及古典概型,属中档题.
5．函数||
3()sin x e f x x x
=+的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性排除C,根据x →+∞时，()f x →+∞，排除D,根据
(0,)x π∈时,||
3()sin 0x e f x x x
=+>，排除B .
【详解】
依题意，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，定义域关于原点对称，且
||
||3
3e e ()sin()sin ()()x x f x x x f x x x -⎛⎫-=+-=-+=- ⎪-⎝⎭
，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；而当x →+∞时，()f x →+∞，排除D ；当(0,)
x π∈时,||
3()sin 0x e f x x x
=+>，排除B .
故选A . 【点睛】
本题考查了函数的图象,属中档题.
6
．7
2x ⎛⎫- ⎝
的展开式中，4x 项的系数为（ ） A.-280 B.280
C.-560
D.560
【答案】C
【解析】化简二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于4，由此求得4x 项的系数. 【详解】
7
22x ⎛⎫
⎝
展开式的通项公式为()
()4
10147273
317
7221r
r r
r r r r
r T C x
x C x -
---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭
，令101443r -=，解得3r =，
故所求系数为()3
3
47213516560C ⋅⋅-=-⨯=-.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式通项公式，考查指数运算，考查组合数的计算，属于基础题.
7．已知24419578A B C D （，），（，），（，），（，）
，现有如下四个结论：①AB AC ⊥u u u r u u u r
；
②四边形ABCD 为平行四边形；③AC u u u r 与BD u u u r
夹角的余弦值为145
，
④||AB AC +=u u u r u u u r
( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
【答案】B
【解析】根据四个点的坐标求出,,AC AB BD u u u r u u u r u u u r
的坐标,再利用向量的坐标进行运算可知①③错误,②④正确. 【详解】
(2,3),(7,1)AB AC =-=u u u r u u u r ，则0AB AC ⋅≠u u u r u u u r
，故①错；
则||AB AC +=u u u r u u u r
④正确；
(2,3),(2,3)AB DC =-=-u u u r u u u r ，故AB DC =u u u r u u u r
，且A B C D ，，，四点不共线，则四边形
ABCD 为平行四边形，故②正确；
(7,1),(3,7)AC BD ==u u u r u u u r ，则cos ,AC BD 〈〉u u u r u u u
r 145||||
AC BD AC BD ⋅==⋅u u u r u u u r
u u u
r u u u r ，故③错. 故选B. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算,属中档题.
8．《九章算术》卷七—一盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填( )
A.20k >
B.21k >
C.22k >
D.23k >
【答案】A
【解析】根据题意可得x 为人数，y 为羊价，得：5x +45＝7x +3，解得x ＝21，模拟程序的运行可得当x ＝21，k ＝21时，退出循环，输出x ，y 的值，即可得解判断框中应填入的内容． 【详解】
模拟执行程序，可得x 为人数，y 为羊价， 由题意可得：5x +45＝7x +3，解得x ＝21， 即当x ＝20，k ＝20时，继续循环，
当x ＝21，k ＝21时，退出循环，输出x ，y 的值， 则判断框中应填入的内容为：k ＞20？ 故选：A ． 【点睛】
本题考查了程序框图, 解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( ) A.
2
2
3 C.
12
D.
13
【答案】A
【解析】先通过计算可知点P 为11A C 的中点, 连接AC 与BD 交于点O ,易证AC ⊥平
面11BDD B ,根据直线与平面所成角的定义可知CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角,然后在直角CPO ∆中可得. 【详解】
易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又
1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平
面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2
tan CO CPO PO ∠=
=
.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,属中档题.
10．已知椭圆22
:182
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过点2F 且与椭圆C 交
于M N ，两点，且MA AN =u u u r u u u r
，若2||OA AF =，则直线l 的斜率为( ) A.±1 B.1
2
±
C.13
±
D.14
±
【答案】B
【解析】设()()1122,,,M x y N x y ,利用点差法可得: 1
4
OA MN k k ⋅=-,再根据△2OAF 为等腰三角形,可得OA MN k k =-,联立两个方程可解得1
2
MN k =±,即得直线l 的斜率. 【详解】 如图:
设()()1122,,,M x y N x y ，则22
1122
22182
18
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()()()()1212121208
2
x x x x y y y y -+-++=，则1
4
OA MN
k
k ⋅=-；因为2||OA AF =，所以△2OAF 为等腰三角形,故OA MN k k =- ，解得12MN k =±，故直线l 的斜率为12
± 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程以及直线的斜率,属中档题. 11．关于函数()sin
cos 22
x x
f x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称； ②函数()f x 的最小正周期为π； ③0x ∃∈R ，()021f x =
.
其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1
C.2
D.3
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()2]f x ∈,可知③错误. 【详解】
依题意，()()()sin
cos sin cos ()2222
x x x x f x f x ---=+=+=，
故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误；
因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫
+=+++==+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时
()sin
cos 2sin [1,2]2224x x x f x π⎛⎫
=+=+∈ ⎪⎝⎭
，故②正确，③错误. 故选B . 【点睛】
本题考查了三角函数的图象和性质,属中档题.
12．在三棱锥S ABC -中，24AC AB ==，25,BC AS SC =⊥，平面ABC ⊥平面SAC ，则当CBS ∆的面积最大时，三棱锥S ABC -内切球的半径为( ) 参考数据：15
0.259615
≈++
A.0.125
B.0.25
C.0.5
D.0.75
【答案】C
【解析】先由已知推出SC SB ⊥,再设AS x =,根据勾股定理求出2BS 和2SC ,再用面积公式计算出三角形SBC 的面积,然后用基本不等式求得最大值以及取得最大值的条件,在此条件下求出四个三角形的面积,,再利用体积关系列等式可求得内球球的半径即可. 【详解】 如图所示，
4,2,25AC AB BC ===AB AC ⊥，
平面ABC ⊥平面SAC ，故AB ⊥平面SAC ，故AB SC ⊥，而AS SC ⊥，故SC ⊥平面ABS ，
则SC SB ⊥；设AS x =，则22224BS AB AS x =+=+， 而222216SC AC AS x =-=-，
则
11
22
CBS
S SB SC =⋅==V 22
1644
x x -++≤
5= ，当且仅当26x =，即26x =时，CBS ∆ 的面积最大为
5，
此时4,5ABC ABS sAC SBC S S S S ===V V V V ， 设三棱锥S ABC -内切球的半径为r ，故
()1
3
S ABC ABC SAC ABS SBC V S S S S r -=
+++⋅V V V
V ，
即11
4(45323r ⨯⨯=+
+⋅
，即0.5r =
≈ 故选C .
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定和性质,用基本不等式求最值,三棱锥的内切球问题,属中档题.
二、填空题 13．已知函数3
ln(2)()x f x x x =-，则曲线y f x =（）在11,
22f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为_______. 【答案】13744
y x =
- 【解析】由导数的几何意义可得切线的斜率为1
()2
f ',再根据点斜式可得切线方程. 【详解】
依题意，2
2
1ln(2)()3x f x x x '
-=
-，故13134244f '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而1128f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,故所求切
线方程为1131842y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即137
44
y x =- 【点睛】
本题考查了导数的几何意义,属基础题.
14．设实数x y ，满足2105x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
…
„„，则4z x y =+的最小值为______.
【答案】
53
【解析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得. 【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；
观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；
联立210
x y x y +=⎧⎨-=⎩解得13x y == 即11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
故4z x y =+的最小值为53。

【点睛】
本题考查了线性规划求最值,属中档题.
15．若随机变量ξ服从正态分布916N （，），则(313)P ξ-<=„________. 参考数据：若(
)2
~,N ξμσ
，则()0.6827P μσξμσ-<+=„，
(22)0.9545P μσξμσ-<+=„，(33)0.9973P μσξμσ-<+=„.
【答案】0.84
【解析】先求出9,4μσ==,再将(313)P ξ-<„转化为(3)P μσξμσ-<+„,根据
(3)P μσξμσ-<+„(33)()
22
P P μσξμσμσξμσ-<≤+-<≤+=
+可得.
【详解】
依题意，(
)2
~9,4
N ξ，其中9,4μσ== ，
故(313)(3)P P ξμσξμσ-<=-<+剟
(33)()
22
P P μσξμσμσξμσ-<≤+-<≤+=
+
0.68270.99730.842+==.
【点睛】
本题考查了正态分布，考查了正态曲线的性质,属基础题.
16．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在
C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，122MF a MF =+，则2
2b a
=______.
【解析】设1MF m =，2MF n =，依题意有2m a n =+，结合12MF MF ⊥，利用勾股定理得到2224m n c +=，由此得到2222mn c b =-.根据12MF MF ⊥可知M 是以
12F F 为直径的圆和双曲线的渐近线的交点，联立渐近线和圆的方程，求得M 点的坐标.
利用三角形12MF F 的面积列方程，将方程化为含有22b a 的形式，由求解得2
2b a
的值.
【详解】
不妨设点M 在第一象限，设1MF m =，2MF
n =，则2m a n =+，而12MF MF ⊥，故222
4m n c +=，联立两式可得，2222mn c b =-，
联立222b y x a x y c
⎧
=⎪⎨⎪+=⎩，可得(),M a b ，由三角形的面积公式可得
11
222
mn cb =⋅，即22c b cb -=，故a bc =2，即422a b c =，故()4
2
2
2
a b a b =+，故4
22
4
0b a b a +-=，则4
2
10b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得
22
1
2
b a =.
. 【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义，考查双曲线的渐近线方程的求法，考查直线和圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
三、解答题
17．记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
12331n
n
n n S a +⋅=- .
（1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）若()2
9(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）2211
24
n T n n =- 【解析】(1) 依题意，11213n n n
S a +⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭ ，1211213n n n S a +++⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
,再两式相减后变形可得213n n a a ++=,又213a a =,由此可证.
(2)由(1)求出1
3,n n a -=代入已知求得n b =
21
(1)(1)4
n n ⋅-⋅-,再利用2121
(43)4
n n b b n -+=
-,可求出. 【详解】
（1）依题意，11213n n n
S a +⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 1211213n n n S a +++⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
， 故213n n a a ++= 而122
2S 3
a =
，故213a a = 故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可1
3,n n a -=
所以()()2
2
12991(1)log (1)log 3
(1)(1)4n
n
n n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-
故21222
21211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣
⎦ 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ， 则22111
(15943)424
n T n n n =
+++⋯+-=- 【点睛】
本题考查了等比数列的证明,以及数列的前2n 项的和的求法：分组求和.属中档题. 18．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且其
222
222cos a c b c bc A
+-=- .
（1）求A 的值；
（2）若AM BC ⊥，垂足为M ，且12BC =，求AM 的取值范围.
【答案】（1）3
A π
=
；（2）
【解析】(1)将222222cos a c b c bc A
+-=-变成cos (2)cos a B c b A =-后,利用正弦定理边
化角后可得1cos 2A =
,可得3
A π=.
(2)利用面积关系得AM =,再用余弦定理和基本不等式可得0144bc <≤,进而可
得0AM <„【详解】
（1）根据题意，2222
22cos a c b c bc A +-=-，则222(2)cos 2a c b a c b A ac
+-⋅=- ，
即cos (2)cos a B c b A =-，
故 sin cos (2sin A B C =- sin )cos B A 故sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A += ， 即sin()sin 2sin cos A B C C A +==， 而(0,),sin 0C C π∈≠，故1cos 2A =，故3
A π
=； （2）因为11
sin 22
ABC S AM BC bc A =⋅=V ；
因为12,3
BC A π
==
，故6AM =
，故AM = 由余弦定理，2
2
221442cos
23
b c bc b c bc bc bc bc π
=+-=+--=…
当且仅当b c =时等号成立，故0144bc <≤，则0AM <„，
故AM 的取值范围为 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理,属中档题.
19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，
2
,,2
PDC PCD CPB CBP BC AB ∠=∠∠=∠=
，PD BC ⊥,点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点.
（1）求证：PC PA ⊥；
（2）求二面角M PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
313
13
【解析】(1)先证PC ⊥平面PAD ,进而得到PC PA ⊥.
(2) 作PO CD ⊥于O ，因为BC ⊥平面PDC ，所以平面ABCD ⊥平面PDC ， 故PO ⊥平面ABCD ，
以点O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出两个平面的法向量后,利用公式可求得. 【详解】
（1）证明：,BC PD BC DC ⊥⊥Q ，
BC ∴⊥ 平面PDC ，
AD ∴⊥ 平面PDC ，PC AD ∴⊥，
又,PDC PCD CPB CBP ∠=∠∠=∠，所以PD PC BC ==,
因为2
2
BC AB =
，
在PDC ∆中，设2PC PD == ，
则
22DC AB ==，故222PC PD DC +=，
,,PC PD AD PD D PC ∴⊥⋂=∴⊥Q 平面PAD ；
而PA ⊂平面PAD ，故PC PA ⊥ （2）作PO CD ⊥于O ， 因为BC ⊥平面PDC ， 所以平面ABCD ⊥平面PDC ， 故PO ⊥平面ABCD ，
以点O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设2PC PD ==
则2),2,0),(2,2,0)P C A ，22,0),2,3B M ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
，422,2),2,PC CM ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u u r ，(2,0,0)CB =u u u
r
设平面PMC 的法向量为(,,)x y z =n ，平面PBC 的法向量为m a b c =（，，）
220
042
020z PC n CM n x y ⎧=⋅=⎪∴⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩
u u u v u u u u v ， ∴ 不妨取(22,3,3)n =，
0220020PC m b c CB m a ⎧⎧⋅==⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩
u u u v
u u u v
∴不妨取()011m =，，，
313
cos ,||||131882
m n m n m n ⋅∴〈〉=
==
+⋅ ， 而二面角M PC B --为锐角，故二面角M PC B --313
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定与性质以及用平面的法向量求二面角的余弦值.属中档题.
20．记抛物线2
::2C y x =-的焦点为F ，点M 在抛物线上，(3,1)N -，斜率为k 的直
线l 与抛物线C 交于P Q ，两点. （1）求||||MN MF +的最小值；
（2）若(2,2)M -，直线MP MQ ，的斜率都存在，且20MP MQ k k ++=；探究：直线
l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
7
2
；（2）直线l 过定点(0,1)- 【解析】(1) 设抛物线C 的准线为l '，过点M 作1MM l '⊥，垂足为1M ，过点N 作
1NN l '⊥，垂足为1N ,利用抛物线的定义可得.
(2) 设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+，()22,Q x y ；将直线l 与抛物线C 的方程联立,利用韦达定理及20MP MQ k k ++=变形可得1b =-或22b k =+,将b 代入直线
:l y kx b =+,可得直线必过定点(0,1)-.
【详解】
（1）设抛物线C 的准线为l '，过点M 作1MM l '⊥，垂足为1M ， 过点N 作1NN l '⊥，垂足为1N 如图:
则117||||||2
MN MF MN MM NN +=+=… 即||||MN MF +的最小值为
72
； （2）设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+，()22,Q x y ；
将直线l 与抛物线C 的方程联立得2
2y kx b
y x =+⎧⎨=-⎩
， 222(22)0k x kb x b +++=
2
12122
222,kb b x x x x k k
--+== ① 又121222
222
MP MQ y y k k x x --+=
+=-++ 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++
()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-
将①代入得，2
22(1)0b b k b ---+= ，
即(1)(22)0b b k +--=，得1b =-或22b k =+ 当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-；
当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)M -（舍去）；
综上所述，直线l 过定点(0,1)- 【点睛】
本题考查了抛物线的定义,直线过定点问题,属难题. 21．已知函数2()2ln ,()12()f x x ax g x x f x =+=+- . （1）讨论函数()f x 在[4,)+∞上的单调性；
（2）若0a >，当(1,)x ∈+∞时，()0g x ≥，且()g x 有唯一零点，证明：1a < . 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】
(1)求导后得22()ax
f x a x x
+'=+=,再对a 分四种情况讨论可得函数的单调性; (2)令()2224()22x ax g x x a x x
'--=--==0,可知'g x （）在(1,)+∞上有唯一零点
02
a x +=,所以0020x a x -+-= ①, 要使0g x ≥（）在(1,)+∞上恒成立，且0g x =（）有唯一解，只需()00g x =，即()2
00012ln 102
x x ax -+
+-= ②，再联立①②可知，20015
2ln 022
x x --+=,然后构造函数,利用导数可得. 【详解】
（1）依题意，22()ax
f x a x x
+'=+=
若0a =，则2
()0f x x
'
=
> ， 故函数f x （）在[4,)+∞ 上单调递增；
若0a ≠，令'0f x =（
），解得2
x a
=- ； 若0a >，则2
0a
-
<，则'0f x >（
） ， 函数f x （）在[4,)+∞上单调递增；
若12-
a „，则2
4a
-„，则'0f x ≤（
） ， 则函数f x （）在[4,)+∞上单调递减；
若102a -
<<，则24a ->，则函数f x （）在24,a ⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单
调递减；
综上所述，0a ≥时，函数f x （）在[4,)+∞上单调递增，
1
2
-a „时，函数f x （）在[4,)+∞上单调递减，
102a -<<时，函数f x （）在24,a ⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
（2）依题意，2
14ln 20x x ax +--…，而()2
224()22x ax g x x a x x
'--=--=
， 令()0g x '=
，解得x =
因为0a >
1>，
故'g x （）在(1,)+∞
上有唯一零点02
a x += ；
又
2
()2
g x x a
x
⎛⎫
'=-+-
⎪
⎝⎭
，
故0
2
x a
x
-+-=①，
要使0
g x≥
（）在(1,)
+∞上恒成立，且0
g x=
（）有唯一解，
只需()00
g x=，即()
2
000
1
2ln10
2
x x ax
-++-=②，
由①②可知，2
00
15
2ln0
22
x x
--+=
令()2
000
15
2ln
22
h x x x
=--+
显然()0
h x在(1,)
+∞上单调递减，
因为
1
(1)20,(2)2ln20
2
h h
=>=-+<，
故0
12
x
<<，
又0
2
a x
x
=-+在(1,)
+∞上单调递增，
故必有1
a<
【点睛】
本题考查了利用导数讨论函数的单调性,零点存在性定理,属难题.
22．某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中0.016
a b
-=.
（1）求这300名玩家测评分数的平均数；
（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每
款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<，且每款游戏之间改进与否相互独立.
（i ）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
（ii ）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.
【答案】（1）76；（2）（i ）5432312179p p p p -+-+；（ii ）所需的最高费用将超过预算.计算见解析
【解析】(1)利用矩形面积和等于1列式可得0.032a b +=,结合0.016a b -=,可解得,a b 的值,再用各区间的中点值与该矩形的面积相乘后再相加,即得平均值.
(2)(i )利用互斥事件的概率的加法公式可得;
(ii )利用期望公式求出这600款游戏所需的最高费用的平均值后,再利用导数求出最大值即可.
【详解】
（1）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=，
故0.032a b +=；
而0.016a b -=，
联立两式解得，0.024,0.008a b ==；
所求平均数为
550.05650.24750.35850.28950.08
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；
（2）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，
一款游戏二测被认定需要改进的概率为122
3C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦，
所以某款游戏被认定需要改进的概率为：
2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦
23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦ 5432312179p p p p =-+-+；
（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；
123
(1500)C (1)P X p p ==-， 1
23(900)1C (1)P X p p ==--，
故12122
33()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ； 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ， 2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- . 当10,3p ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以g p （）的最大值为14327
g ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝
⎭ 故所需的最高费用将超过预算.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图,互斥事件的概率,随机变量的期望的应用，考查了利用导数解决最值问题的方法,属难题.。