高中数学课下能力提升十八两条直线的交点北师大版必修5
2021-2022学年数学苏教版必修3：课下能力提升(十八) 互斥事件 Word版含解析
课下力量提升(十八) 互斥大事一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列状况中是互斥但不对立的两个大事是________．①至少有一个红球；至少有一个白球 ②恰有一个红球；都是白球 ③至少有一个红球；都是白球 ④至多有一个红球；都是红球2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．3.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45，则不中靶的概率是________．4．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．5．大事A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)＝2P(B)，则P(A －)＝________.二、解答题6．推断下列给出的每对大事是否为互斥大事？是否为对立大事？并说明理由． 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参与了一支球队，具体状况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．8．甲、乙两人玩一种玩耍，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢． (1)若以A 表示“和为6”的大事，求P(A)；(2)现连玩三次， 以B 表示“甲至少赢一次”的大事，C 表示“乙至少赢两次”的大事，则B 与C 是否为互斥大事？试说明理由；(3)这种玩耍规章公正吗？试说明理由． 答案1．解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两大事可能同时发生，所以不是互斥大事；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥大事，而任取两个球还有都是红球的情形，故两大事不是对立大事；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”明显是对立大事；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立大事．答案：②2．解析：∵摸出红球的概率P 1＝45100＝0.45，∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 答案：0.323．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为大事A ，“命中圆环Ⅱ”为大事B ，“命中圆环Ⅲ”为大事C ，“不中靶”为大事D ，则A ，B ，C ，D 彼此互斥，故射手中靶概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝ 0．15＋0.20＋0.45＝0.80.由于中靶和不中靶是对立大事，所以不中靶的概率P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.80＝0.20. 答案：0.204．解析：从5个球中任取两个球含10个基本大事，取得的两球中没有白球的含3个基本大事，且此大事 与大事A ：“取得的两球中至少有一个白球”对立， 则P (A )＝1－P (A －)＝1－310＝710.答案：7105．解析：由于大事A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又由于P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－25＝35.答案：356．解：(1)是互斥大事，不是对立大事．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥大事．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立大事．(2)既是互斥大事，又是对立大事．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个大事不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥大事，又是对立大事．(3)不是互斥大事，当然不行能是对立大事．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个大事可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥大事，当然不行能是对立大事．7．解：(1)设“该队员中属于一支球队”为大事A ，则大事A 的概率为P (A )＝5＋4＋320＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为大事B ，则大事B 的概率为P (B )＝1－220＝910.8．解：(1)令x 、y 分别表示甲、乙出的手指数，则基本大事可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和． 由于S 中点的总数为5×5＝25， 所以基本大事总数n ＝25.大事A 包含的基本大事为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个， 所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥大事，如“甲赢一次，乙赢两次”的大事中，大事B 与C 是同时发生的．(3)由(1)知，和为偶数的基本大事数为13个，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种玩耍规章不公正．。
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件：2.1.4两条直线的交点
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点, 求k的值. ������-2������ = 1, 解:解方程组 2������ + ������������ = 3,
得
������ = ������ +4 , ������ =
1 , ������+4 ������+6 1 , ������+4 ������+4
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .
高中数学选择性必修一：2.3.1两条直线的交点坐标和2.3.2两点间的距离公式精选考点提升训练
第二章2.3.1两条直线的交点坐标和2.3.2两点间的距离公式A 级——基础过关练1．已知直线l 1：Ax ＋3y ＋C ＝0与l 2：2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．与A 的取值有关【答案】B 【解析】因为两条直线的交点在y 轴上，且直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是⎝⎛⎭⎫0，43，所以点⎝⎛⎭⎫0，43在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，则A ×0＋3×43＋C ＝0，解得C ＝－4. 2．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】因为|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，所以三角形为等腰三角形．3．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．3＋23 C ．6＋32D ．6＋10【答案】C 【解析】|AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC的周长为6＋3 2.4．过两条直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0【答案】B 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．因为所求直线与3x ＋y －1＝0垂直，所以所求直线斜率k ＝13，所以y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.5．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________. 【答案】2 【解析】k AB ＝b －a5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2.6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 【答案】25 【解析】设A (x,0)，B (0，y )，因为AB 的中点是P (2，－1)，所以x2＝2，y2＝－1.所以x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)．所以|AB |＝42＋22＝2 5. 7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，则m 的取值为________．【答案】2 【解析】关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，所以直线mx ＋4y ＝m ＋2与直线x ＋my ＝m 重合，所以m 1＝4m ＝m ＋2m ，解得m ＝2，即m 的取值为2.8．已知直线l 上两点A ，B 的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l 与直线3x ＋4y －5＝0垂直，则|AB |的值为__________．【答案】154 【解析】k AB ＝5－23－a ，又直线3x ＋4y －5＝0的斜率为－34，则5－23－a ×⎝⎛⎭⎫－34＝－1，解得a ＝34.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－342＋5－22＝154. 9．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若B 点的坐标为(1,2)．(1)求直线AC 的方程； (2)求A ，C 两点间的距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，得A (－1,0)．又k AB ＝2－01－－1＝1，x 轴为∠A 的平分线，所以k AC ＝－1.所以直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0. (2)因为BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 所以k BC ＝－2.所以直线BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得C (5，－6)． 所以|AC |＝[5－－1]2＋－6－02＝6 2.10．平行四边形ABCD 的一组邻边所在直线的方程分别为x －2y －1＝0与2x ＋3y －9＝0，对角线的交点坐标为(2,3)．(1)求已知两条直线的交点坐标；(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝0，2x ＋3y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故两条直线的交点坐标是(3,1)．(2)由(1)得已知两条直线的交点坐标为(3,1)，对角线的交点坐标为(2,3)，因此与点(3,1)相对的一个顶点为(1,5)．由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行， 所以另两边所在直线方程分别是 y －5＝－23(x －1)与y －5＝12(x －1)，即2x ＋3y －17＝0与x －2y ＋9＝0.B 级——能力提升练11．已知直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(2，p )，则p －m －n 的值为( )A ．－6B ．6C ．4D ．10【答案】C 【解析】因为直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，所以2×3＋(－2)m ＝0，解得m ＝3.由垂足在两条直线上可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3p －1＝0，6－2p ＋n ＝0，解得p ＝－1，n ＝－8，所以p －m －n ＝4.12．(多选)两条直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【答案】ABD 【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m ＝0，此时不能构成三角形；直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，整理得m (x ＋1)＋(2x －y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0的斜率k ＝m ＋2＝0，即m ＝－2时，此时直线y ＝－2，x ＋y ＝0与x 轴不能构成三角形；当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0与直线x ＋y ＝0平行时，即m ＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为0，－2或－3.13．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．【答案】2x ＋3y ＝1 【解析】由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1.14．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于点B ，且|AB |＝5，则直线l 1的方程为____________．【答案】x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0 【解析】由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 的方程为x ＝1；当x 0＝5时，AB 的方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．因为正三角形ABC 边长为a ，所以B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，0，A ⎝⎛⎭⎫0，32a . 设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， 故所求最小值为a 2，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，是正三角形ABC 的中心． 16．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：以边BC 所在直线为x 轴，以D 为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．因为|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．C 级——探究创新练17．已知直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0，则直线l 1与l 2的交点坐标为__________；过直线l 1与l 2的交点且与直线x －y －1＝0平行的直线方程为____________．【答案】(2,3) x －y ＋1＝0 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以交点坐标为(2,3)．∵所求直线与直线x －y －1＝0平行，则所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y －3＝1×(x －2)，整理得x －y ＋1＝0，∴直线方程为x －y ＋1＝0.18．试在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等． 解：由直线x －y ＋4＝0，得y ＝x ＋4，点P 在该直线上， 所以可设P 点的坐标为(a ，a ＋4)． 由已知|PM |＝|PN |， 所以[a －－2]2＋[a ＋4－－4]2＝a －42＋a ＋4－62，即a ＋22＋a ＋82＝a －42＋a －22.所以(a ＋2)2＋(a ＋8)2＝(a －4)2＋(a －2)2， 解得a ＝－32.从而a ＋4＝－32＋4＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－32，52.。
北师大版高中数学必修二课件：两条直线的交点
������ + ������-1 = 0, ������������-2������ + 3 = 0,
得
, ,
-1 2+������ 2+������
所以 l1 与 l2 的交点是 P
,
3&#以点 P 的坐标满足 l3 的方程 . 即
探究三三线共点问题 【例3】 已知三条直线l1:x+y-1=0,l2:ax-2y+3=0,l3:x-(a+1)y-5=0. 若这三条直线交于同一点,求实数a的值. 分析:先求出l1与l2的交点坐标.令该点在l3上即得a的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:解由 l1,l2 的方程组成的方程组 ������ = ������ =
-1 2+������
-(a+1)· -5=0,解得 a=-7 或 a=-2(舍去 ).
2+������
3+������
故 a=-7.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10相交于同 一点,则a的值为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二求两条直线的交点坐标 【例2】已知两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上, 求m的值. 分析:两条直线的交点在y轴上,故交点的横坐标为0,从而可以求 解m的值.
2.3.1 两条直线的交点坐标(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
【证明】
直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x －y＋5)＝0.
缺点
不能表示 后面的那条直线：A2 x B2 y C 2 0
应用
凡是求过某交点的直线方程，都可以这样设所求直线方
程，然后根据已知条件求出 λ 即可.
能力提升
题型三
含一个参数的直线方程过定点问题
例题3
证明：不论 m 为何实数, 直线 (m－1) x＋(2m－1) y=m－5
都恒过某一定点.
(2) 解方程组
,
6 x 2 y 1 0 ———— ②
① 2 ②得9 0, 矛盾, 这个方程组无解, 所以l1 与l2 无公共点, 即l1 / / l2
结论：方程组无解 l1与l2 位置关系：平行
应用新知
例 2：判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标：
①设：设交点坐标P x0 , y0 ;
A1 x0 B1 y0 C1 0
②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组
;
A2 x0 B2 y0 C 2 0
③解：解方程组，得到交点坐标.
探究新知
几何角度
代数角度
点P
坐标：P x0 , y0
直线l
方程：Ax By C 0
1
A． 6, 2
B． , 0
6
1 1
C． ,
2 6
1 1
D． ,
6 2
2 4 k
x
2 4 kkx y 2k 10
2 k 1
x
0
6 k 1 ，
2021-2022学年高中英语外研版必修三习题：课下能力提升(十八) Word版含答案
Module 5 课下力量提升(十八)Ⅰ.依据提示写出单词的正确形式1．When he applied for a ________ (职位) in the office of the local newspaper, he was told to see the manager.2．The manager refused to comment on the news that he had planned to ________ (辞职)．3．Please take this seriously. It's a matter of ________ (原则)．4．China has been stressing the ________ (重要性) of its ties with third world countries.5．He is one of the ________ (顾问) to the President.6．Happiness is what you feel when you're not feeling ________ (stress)．7．Women want ________ (equal) of opportunity with men.8．He's one of the country's most brilliant political ________ (think)．9．She wanted to work for a bigger and more ________ (influence) newspaper.10．She was known to all for her ________ (kind)．Ⅱ.选词填空in position, in some ways, be equal to, under stress, be at war, bring up1．I want to ____________ again the first point.2．At that time，China ____________ with Japan，so travelling was extremely difficult.3．Things can easily go wrong when people are ____________．4．I don't think he ____________ this kind of work, so I can't hire him.5．To tell you the truth，I quite like Jay's new album ____________．6．All parking signs have now been placed ____________．Ⅲ.完成句子1．他不能来的缘由是由于他母亲不允许。
北师大版高中数学必修《两条直线的交点》优质课件1
因此，(1),(2) 化成同一个方程，表示同一直线，
l1, l2 重合。
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
练习:(3)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标
(1)l1 : 2x 3y 12, (2)l1 : 2x 6 y 4 0, (3)l1 : ( 2 1)x y 3,
C2
0
探究2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？
如果两条直线
和
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们
的方程组成的方程组
的解；
反之，如果方程组
A1x B1 y C1 0
A2
x
B2
y
C2
0
只有一个解，
那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x B1y C1 0
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离
(1)理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求 两条相交直线的交点坐标; (2)能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系. (两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一 次方程组有唯一解、无解和无穷多组解) （3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直 线位置关系.
l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B2 y C2 0
思考：(1)若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？ (2)若方程组有无数解，两直线应是什么位置关系？
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
北 师 大 版 高 中数学 必修《 两条直 线的交 点》优 质课件 1（公开 课课件 ）
北师大版高中必修21.4两条直线的交点课程设计
北师大版高中必修21.4两条直线的交点课程设计背景介绍在高中数学中，直线是一个重要的概念。
直线不仅在几何图形中起着基础性的作用，在数学竞赛中也经常出现。
本次课程设计的目的是让学生通过学习求解两条直线的交点来理解和掌握直线的一些基础概念和方法。
教学目标1.掌握求解两条直线的交点的方法。
2.理解直线的斜率、截距和常见的直线方程。
3.培养分析和解决实际问题的能力。
教学内容场景模拟设想一个场景：有两个人从不同的地方出发，沿着不同的直线前进，当他们走到交点时相遇。
请运用所学知识，解决以下问题：1.求出两条直线的方程。
2.求出两个人最终到达的交点。
3.通过分析两个人的出发点和走路方向，判断出两条直线相交于一点的必要条件。
案例学习有一场雪，去玩雪的小明和小李分别走了不同的路线回家。
小明沿直线y=2x+3走，小李沿直线 $y-\\dfrac{1}{2}x=2$ 走。
请通过以下步骤来解决问题：1.想象小明和小李的行进路线，并画出两条直线的图像。
2.计算两条直线的交点。
3.评论两人的走路策略，决定谁更长得快。
开放式问题小强正在参加一场足球比赛。
他从A点向球门B点踢球，传球有一定角度。
假设他的球路可以用抛物线轨迹表示。
请思考以下问题：1.把球路表示为方程y=ax2+bx+c，并确定a,b,c的值。
2.如果球抛出后经过点(−3,0)，到达点(9,0)，求出球到达球门B点的位置和时间。
教学方法1.讲解和演示法：通过画图、示例和实例演示方法的基本操作和步骤，引导学生理解知识点。
2.师生互动式：鼓励学生自己动手计算、验证答案，并在教师的指导下发言探讨。
评价方式1.准备和参与课堂练习。
2.完成课堂任务和作业。
3.成果展示和分享经验。
总结本次课程设计通过生动形象的场景模拟和案例学习，帮助学生理解和掌握求解两条直线交点的方法，加深对直线的斜率、截距和常见的直线方程的理解，同时培养学生分析和解决实际问题的能力。
高中数学北师大版必修二2.1.4【教学课件】《两条直线的交点》
������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ = ������ 若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则 ������������ ������������ + ������������ ������������ + ������������ = ������
，令x＝0，得
������ ������＝ ������ ������������ ， ������＝ ������
������ ������������ ∴ ＝ ，∴k＝±6。 ������ ������
北京师范大学出版社| 必修二
思考：怎么求两条直线的交点？ 把直线方程联 立构成方程组 解方程组
即8x＋16y＋21＝0。
北京师范大学出版社| 必修二
（3） k为何值时，直线y＝x＋3k－2与直线y＝－x＋1的 交点在第一象限。
解析：解方程组
������＝������ + ������������ − ������ ������ ������＝ − ������ + ������ ������
两条直线相交 时，求出交点
根据方程组解的 情况判断两条直 线的位置关系
北京师范大学出版社| 必修二
例题讲解
例1 求下列两直线交点坐标，L1 ：3x+4y-2=0，L2：2x+y +2=0。
解：解方程组
������������＋������������－������＝������ ������������ + ������＋������＝������
������������(������ − ������) > ������ ������ ������������ + ������ > ������ ������
北师大版高中数学必修2：两条直线的交点_课件1
问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满 足什么关系？
由3y＝x－kx5，y－6＝0，
x＝3－65k， 得y＝3－6k5k.
又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点，
∴k－＋64＋3－65k＝0，
解得k＝－16.
故直线l的方程是y＝－16x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
直
理解教材新知
解
线
两
析
与
条
把
几 何 初 步直ຫໍສະໝຸດ 直握考点一
线 的
线
热
的
点
考点二
考
方 程
交
向
考点三
点
应用创新演练
引入平面直角坐标系后，可以用方程表示直线，并 且可以通过直线的方程来判断两直线平行或垂直，那么 怎样求直线相交时的交点坐标呢？
问题1：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎样 判断它们的位置关系？
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
得交
点P(－5,2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－23，
∴所求直线的斜率是32.
因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0， 解方程组2xx＋＋y＋y＋38＝＝00，， 得交点P(－5,2)． 把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
北师大版选择性必修第一册1.5两条直线的交点坐标课件
)
A．2x＋y＝0
B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0
D．x－2y＝0
答案：B
解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
因为l过原点，所以λ＝8.
则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.
任务
四
课中学习 合作探究
即点 1,
4Hale Waihona Puke 343满足中线所在直线的方程，
在中线所在直线上. 所以△ 的三条中线交于一点.
任务
四
课中学习
合作探究
拓展：三角形的重心是三角形三条中线的交点.
若△ 的三个顶点（1 ，1 ），（2 ，2 ），（3 ，3 ），
重心为(0 ，0 )，则
+ + 3
例4 已知（1，4），（ − 2， − 1），（4，1）是△ 的三个顶点，
求证：△ 的三条中线交于一点.
1 3
2 2
证明：易求得三边的中点坐标分别为 − ,
，（1，0），
5 5
,
2 2
.
中线所在直线的方程为＝1，
+1
+2
中线所在直线的方程为 5
＝5
2
2
+1
+2
7
6 x 2 y 1 0，②
① × 2 − ②得
9 = 0，
矛盾，这个方程组无解，
所以直线l1 与l2 无公共点，
评价
课中学习
合作探究
一
思考：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系这两种方法，你有什么体会？
1.1.5两条直线的交点坐标课件高二上学期数学北师大版选择性
m= -2
.
解析 两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.又点(1,m)在直线上,所以a+2m-1=0,
所以m=-2.
探究点四
与两条直线交点有关的证明问题
【例4】 已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三
条高所在的直线交于一点.
证明
4-(-1)
kAB=1-(-2)
取值范围.
变式训练3 (1)若直线l:y=kx- √3 与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则
直线l的倾斜角θ的取值范围是( C )
A.
π
0, 3
B.
π π
,
6 3
C.
π π
,
6 2
= -√3,
解析 由题可知 k≠-1,联立
解得
+ -3 = 0,
为
3+√3 3-√3
,
1+ 1+
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 5
-5,
1
所求直线与直线 3x+y-1=0 垂直,所以所求直线的斜率为 .故所求直线方程为
3
7
y+5
=
1
3
(x+5),即
3
5x-15y-18=0.
变式探究2求过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点与原点的直线方程.
=
2-3-3 = 0,
解 解方程组
得
+ + 2 = 0,
范围是
3
(- ,2)
2
.
=
5 + 4 = 2 + 1,
北师大版高中数学必修2：两条直线的交点_课件4共50页PPT
北师大版高中数学必修2：两ห้องสมุดไป่ตู้直线的 交点_课件4
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高中数学课下能力提升十八两条直线的交点北师大版必修5.doc
课下能力提升(十八) 两条直线的交点一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．不确定2．直线l 过直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点，且过点(－3，－1)，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＋5＝0B ．x ＋y ＋4＝0C ．x －y ＋2＝0D ．3x －y －2＝03．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k ∈R )所经过的定点为( )A ．(2,3)B ．(5,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 D ．(5,9) 4．已知点P (－1,0)，Q (1,0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0,2] 5．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直且都过点A (1，m )，则a ＝__________，b ＝________，m ＝________.7．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.8．在△ABC 中，已知B (2,1)，AC 边所在直线的方程为2x －y ＋5＝0，直线3x －2y ＋1＝0是BC 边的高线，则点C 的坐标为________．三、解答题9．求经过直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x ＋2y －5＝0的交点且与直线l 3：4x ＋y ＋1＝0平行的直线l 的方程．10．已知点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，B 分别作x ，y 轴的垂线交于点P ，求点P (x ，y )满足的关系式．答案1．解析：选C ∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13，∴k 1≠k 2.∴两直线相交． 2．解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝2，x ＋y ＝6，得直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点为(2,4)，∵直线l 过点(2,4)和(－3，－1)两点，∴直线l 的方程为y －4－1－4＝x －2－3－2，即x －y ＋2＝0.3．解析：选A 将原方程变为k (2x －y －1)－x －3y ＋11＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，∴定点为(2,3)．4．解析：选A 直线PQ 的方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b 2≤1，得－2≤b ≤2. 5．解析：选D 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或三条直线共点．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23. 6．解析：已知两直线方程可化为l 1：y ＝－a 4x ＋12，l 2：y ＝25x ＋b 5. ∵两直线垂直，∴－a 4·25＝－1，∴a ＝10， 即直线l 1方程为10x ＋4y －2＝0.又点A (1，m )在直线l 1上，∴10×1＋4m －2＝0，∴m ＝－2，即A (1，－2)．又点A 在直线l 2上，∴2×1－5×(－2)＋b ＝0，∴b ＝－12.答案：10 －12 －27．解析：因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1； 当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23. 答案：23或－1 8．解析：设BC 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，将点B 的坐标代入，可得m ＝－7，∴BC 的方程为2x ＋3y －7＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －7＝0，2x －y ＋5＝0.得C (－1,3)．答案：(－1,3)9．解：联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x ＋2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，即直线l 1与直线l 2的交点为(1,2)．∵l ∥l 3，∴l 3的方程可设为4x ＋y ＋b ＝0.将(1,2)代入，得b ＝－6.∴直线l 的方程为4x ＋y －6＝0.10．解：如图所示，∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，P 点坐标为(x ，y )，∴A 点坐标为(x,0)，B 点坐标为(0，y )，由题意可知MA ⊥MB ，当x ≠2时，k MA ·k MB ＝－1，即3－02－x ·3－y 2－0＝－1(x ≠2)，化简得2x ＋3y －13＝0. 当x ＝2时，点P 与M 重合，点P (2,3)的坐标也满足方程2x＋3y－13＝0.∴点P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.。
《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的交点》教学设计教材分析:当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易.教学目标：【知识与能力目标】掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义.【过程与方法】通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．【情感态度与价值观】通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重难点：【教学重点】两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．【教学难点】启发学生, 把研究两直线交点的解法.课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？二、新课探究：1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可. 注：⑴ 若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；⑵ 若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用：题型一 求两直线方程例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩． 【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 11 32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思：直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.。
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学 习 资 料 汇编
课下能力提升(十八) 两条直线的交点
一、选择题
1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2
＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．相交
D ．不确定
2．直线l 过直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点，且过点(－3，－1)，则直线l 的方程为
( )
A ．2x －y ＋5＝0
B ．x ＋y ＋4＝0
C ．x －y ＋2＝0
D ．3x －y －2＝0
3．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k ∈R )所经过的定点为( )
A ．(2,3)
B ．(5,2) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，3 D ．(5,9) 4．已知点P (－1,0)，Q (1,0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－1,1]
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 D ．[0,2] 5．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
6．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直且都过点A (1，m )，则a ＝__________，b ＝________，m ＝________.
7．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.
8．在△ABC 中，已知B (2,1)，AC 边所在直线的方程为2x －y ＋5＝0，直线3x －2y ＋1＝0是BC 边的高线，则点C 的坐标为________．
三、解答题
9．求经过直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x ＋2y －5＝0的交点且与直线l 3：4x ＋y ＋1＝0平行的直线l 的方程．
10．已知点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，
B 分别作x ，y 轴的垂线交于点P ，求点P (x ，y )满足的关系式．
答案
1．解析：选C ∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13
，∴k 1≠k 2.∴两直线相交． 2．解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝2，x ＋y ＝6，得直线3x －y ＝2和x ＋y ＝6的交点为(2,4)，
∵直线l 过点(2,4)和(－3，－1)两点，∴直线l 的方程为y －4－1－4＝x －2－3－2
，即x －y ＋2＝0.
3．解析：选A 将原方程变为k (2x －y －1)－x －3y ＋11＝0，令⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，∴定点为(2,3)．
4．解析：选A 直线PQ 的方程为y ＝0，
由⎩⎪⎨⎪
⎧ y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b 2≤1，得－2≤b ≤2. 5．解析：选D 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或三条直线共点．
若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；
若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16
； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 不存在；
若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，
则m ＝－1或m ＝23
. 6．解析：已知两直线方程可化为l 1：y ＝－a 4x ＋12，l 2：y ＝25x ＋b 5
. ∵两直线垂直，∴－a 4·25
＝－1，∴a ＝10， 即直线l 1方程为10x ＋4y －2＝0.
又点A (1，m )在直线l 1上，∴10×1＋4m －2＝0，
∴m ＝－2，即A (1，－2)．
又点A 在直线l 2上，∴2×1－5×(－2)＋b ＝0，∴b ＝－12.
答案：10 －12 －2
7．解析：因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －
2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12
，解得a ＝－1； 当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，
有－a 2＝－13，解得a ＝23
. 答案：23
或－1 8．解析：设BC 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，将点B 的坐标代入，可得m ＝－7，∴BC 的方程为2x ＋3y －7＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －7＝0，2x －y ＋5＝0.得C (－1,3)．
答案：(－1,3)
9．解：联立⎩⎪⎨⎪
⎧ x －y ＋1＝0，x ＋2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝1，y ＝2，
即直线l 1与直线l 2的交点为(1,2)．
∵l ∥l 3，
∴l 3的方程可设为4x ＋y ＋b ＝0.
将(1,2)代入，得b ＝－6.
∴直线l 的方程为4x ＋y －6＝0.
10．
解：如图所示，
∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，P 点坐标为(x ，y )，
∴A 点坐标为(x,0)，B 点坐标为(0，y )，
由题意可知MA ⊥MB ，当x ≠2时，
k MA ·k MB ＝－1，
即3－02－x ·3－y 2－0
＝－1(x ≠2)，化简得2x ＋3y －13＝0. 当x ＝2时，点P 与M 重合，点P (2,3)的坐标也满足方程
2x＋3y－13＝0.
∴点P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.
敬请批评指正。