第24讲 相似、投影与视图

第24讲 相似、投影与视图
【考点总汇】 一、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角 ，对应边的比 。

性质2：相似三角形周长的比等于 。

性质3：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 。

性质4：相似三角形的面积的比等于相似比的 。

微拨炉：
二、相似三角形的判定
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 相似（相似三角形的预备定理）。

判定2：三边 的两个三角形相似。

判定3：两边 且 的两个三角形相似。

判定4：两角 的两个三角形相似。

判定5：一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

微拨炉：
三、投影和视图的有关概念 1.⎩⎨
⎧。

发出的光线形成的投影
中心投影：由形成的投影。

平行投影：由投影________________
2.⎪⎩
⎪
⎨⎧观察物体的视图。

的左视图：在侧面内得到观察物体的视图。

到的俯视图：在水平面内得观察物体的视图。

主视图：在正面内得到视图________________________
微拨炉：
高频考点1、相似三角形的判定
【范例】在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于B A ,），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这条直线为过点P 的△ABC 的相似线。

如图，
36=∠A ，AC AB =，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点
P 的△ABC 的相似线最多有 条。

得分要领：
1.正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解答本题的关键。

2.解答本题应注意分类讨论思想的应用。

3.寻找相似的条件时，要注意公共边，公共角，对顶角等隐含条件。

【考题回放】
1.在△ABC 和△111C B A 中，下列四个命题：
（1）若11111,,A A C A AC B A AB ∠=∠==，则△ABC ≌△111C B A 。

（2）若11111,,B B C A AC B A AB ∠=∠==，则△ABC ≌△111C B A 。

（3）若11,C C A A ∠=∠∠=∠，则△ABC ∽△111C B A 。

（4）若11111,::C C B C CB C A AC ∠=∠=，则△ABC ∽△111C B A 。

其中真命题的个数为（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个 2.如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延 长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找 出一组相似的三角形： 。

3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）。

（1）将△ABC 向上平移3个单位得到△111C B A ，请画出△111C B A 。

（2）请画一个格点△222C B A ，使△222C B A ∽△ABC ，且相似比不为1。

高频考点2、相似三角形的性质
【范例】如图，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，
90=∠=∠ACB ADC ，E 为AB 的中点，
（1）求证：AD AB AC ⋅=2。

（2）求证：CE ∥AD 。

（3）若4=AD ，6=AB ，求AF
AC
的值。

得分要领：
1.将乘积式转化成比例式，利用相似三角形的性质是解答本题的关键。

2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，证边相等，从而得到相应的角相等。

【考题回放】
1.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则FC EF :等于（ ） A.3：2 B.3：1 C.1：1 D.1：2
第1题 第2题
2.如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1：2，若1=BC ，则EF 的长是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，菱形ABCD 的对角线4=AC cm ，把它沿着对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH ，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为（ ）
A.4：3
B.3：2
C.14：9
D.17：9
第3题 第4题
4.如图，在△ABC 中，两条中线CD BE ,相交于点O ，则=∆∆COB DOE S S :（ ） A.1：4 B.2：3 C.1：3 D.1：2
高频考点3、平行投影与中心投影
【范例】如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm 。

得分要领：
1.理解投影的含义，幻灯片放映得到的是位似图形。

2.正确画出图形，位似图形一定相似，利用相似图形的性质解决。

【考题回放】
1.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿2=AB m ，它的影子6.1=BC m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，
2.1=PM m ， 8.0=MN m ，则木竿PQ 的长度为 m 。

高频考点4、三视图
【范例】如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
得分要领：
1.在辨别三视图时要注意实线与虚线的区别。

2.由三视图想象实物时，要借助三个视图综合分析、想象，一个方向的视图只能了解物体的部分信息。

【考题回放】
1.图中所示的几何体为圆台，其主（正）视图正确的是（ ）
2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是（ ）
A
正方体
B
C
圆锥
D
球
3.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ） A.60π B.70π C.90π D.160π
第3题 第4题
4.如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是 。

【巧思妙解】巧用相似三角形
【例题】如图，线段CD AB ,分别表示甲、乙两建筑物的高，BC AB ⊥，
BC DC ⊥，垂足分别为C B ,，从B 点测得D 点的仰角a 为60 ，从A 点测
D
C B A 得
D 点的仰角β为30 ，已知甲建筑物的高度34=AB m ，求甲、乙两建筑物之间的距离BC 和乙建筑物的高度DC 。

（结果保留根号）
解：作DC AE ⊥于点E 。

∵BC AB ⊥，BC DC ⊥
∴四边形ABCE 为矩形，∴34==AB CE m ，BC AE =。

设x DE =m ，则)34(+=x CD m ，
在Rt △ADE 中，
30==∠βDAE ，∴x AD 2=， ∴x x x DE AD AE 3)2(2222=-=-=。

∵
60=a ，∴
306090=-=∠BDC 。

∴BDC DAE ∠=∠，∴Rt △ADE ∽Rt △DBC ， ∴
BC DE DC AE =，即x
x
x x 3343=
+，解得17=x 。

∴3173==
x BC （m ），51341734=+=+=x DC （m ）。

【实战演练】
1.形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如图所示，则其主视图是（ ）
2.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A.4：3 B.3：4 C.16：9 D.9：16
3.某几何体的三视图如图，则组成该几何体共用了几个小方块（ ） A.6块 B.7块 C.9块 D.12块
第3题 第4题
4.如图所示，△ABC 中，D F E ,,分别是边BC AC AB ,,上的点，且满足2
1
==FC AF EB AE ，则△EFD 与△ABC 的面积比为 。

5.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分。

①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么④，⑤这两块的面积比是 。

第5题 第6题
6.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
90=∠A ，1=AD ，6=BC ，5=AB ，P 为AB 上一点，若△PAD 与△PBC 相似，则=AP 。

7.如图，已知△ABC 中，
90=∠ACB ，BC AC =，点F E ,在AB 上，
45=∠EFC 。

求证：△ACF ∽△BEC 。

8.如图，BE CD ,分别是锐角△ABC 中AC AB ,边上的高线，垂足为E D ,。

（1）证明：△ADC ∽△AEB 。

（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由。

9.如图，分别是两根木杆及其影子的图形。

（1）哪个图形反应了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？(上图或下图)
（2）请你画出图中表示小树影长的线段。

【限时小测】建议用时30分钟。

总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图所示零件的左视图是（）
A B C D
2.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）
A.（3）（1）（4）（2）
B.（3）（2）（1）（4）
C.（3）（4）（1）（2）
D.（2）（4）（1）（3）
3.如图，路灯距地面8m ，身高1.6m 的小明从距离灯的底部（点O ）20m 的点A 处，沿AO 所在的直线行走14m 到点B 时，人影的长度（ ） A.增大1.5m B.减小1.5m C.增大3.5m D.减小3.5m
4.如图，正方形ABCD 的两边AB BC ,分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上，正方形''''D C B A 与正方形ABCD 是以AC 的中点'O 为中心的位似图形，已知23=AC ，若点'A 的坐标为（1，2），则正方形''''D C B A 与正方形ABCD 的相似比是（ ） A.
61 B.31 C. 21 D. 3
2
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，在□ABCD 中，6=AB m ，9=AD m ，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，AE BG ⊥，垂足为G ，24=BG cm ，则CF EF +的长为 cm 。

第5题 第6题
6.由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 。

7.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在D C ,的位置 时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5 米，甲的影子是6米，则甲、乙同学相距 米。

三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，等腰△MBC 中，MC MB =，点P A ,分别在BC MB ,上，作B APE ∠=∠。

PE 交CM 于E 。

（1）求证：
CE
BP
PE AP 。

（2）若
60=∠C ，7=BC ，3=CE ，4=AB ，求△ABP 的面积。

【培优训练】
9.（14分）如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F 。

（1）证明：△ABD ∽△DCF 。

（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形。