初中数学二次函数知识点专题复习练习 含答案

初中数学二次函数知识点专题复习练习
一、选择题（共15题）
1．已知抛物线y ＝a 2x －3x+1与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知a<-1，点（a-1，1y ），（a ，2y ），（a+1，3y ）都在函数y=x²的图象上，则（ ） A ．1y ＜2y ＜3y
B ．1y ＜3y ＜2y
C ．3y ＜2y ＜1y
D ．2y ＜1y ＜3y
3．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CE ⊥BD ，CE =1
2BD ．若△ABD 的周长为20cm ，则△BCD 的面积S （cm 2）与AB 的长x （cm ）之间的函数关系式可以是（ ）
A ．2
1101004
S x x =
-+ B ．2240200S x x =-+ C ．220100S x x =-+
D ．220100S x x =++
4．下列二次函数的图象中经过原点的是（ ） A ．21y x =+
B ．225y x x =+
C ．2(2)y x =-
D ．223y x x =+-
5．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=x 2在第一象限上的一点，连结OA ，过点O 作OB ⊥OA ，交抛物线于点B ，若四边形AOBC 为正方形，则顶点C 的坐标为（ ） A ．
（0，1） B ．
（﹣1，1） C ．
（0，2） D ．
（0，﹣2） 6．抛物线y=﹣x 2+x+2与y 轴的交点坐标是（ ） A ．
（1，2） B ．
（0，﹣1） C ．
（0，1） D ．
（0，2） 7．若二次函数y=x 2＋bx ＋5配方后为y=(x-2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( ) A ．0，5
B ．0，1
C ．-4，5
D ．-4，1
8．一个二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，该二次函数二次项系数a 的值可能是（ ）
A ．-2
B ．3
C ．
12
D ．2.3
9．函数21
22
y x x =-++有最值为（ ） A ．最大值
32
B ．最小值
32 C ．最大值1
2-
D ．最小值1
2
-
10．如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22
y t 5
=；③直线NH 的解析式为5y t 272
=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=29
4
秒．其中正确的结论个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b+2a=0；②abc ＞0；③a ﹣2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有（ ）个．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，在平面直角坐标系中，点A （430）是x 轴上一点，以OA 为对角线作菱形OBAC ，使得BOC ∠=60°
，现将抛物线2y x 沿直线OC 平移到2()y a x m h =-+，则当抛物线与菱形的AB 边有公共点
时，则m 的取值范围是（ ）
A 333m ≤
B ．103333m ≤
C 10163333m ≤
D 16
333
m ≤13．对于抛物线y ＝2（x ＋3）2＋1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上
B ．对称轴是直线x ＝－3
C ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而减小
D ．当x ＝3时，函数值有最小值是1
14．在二次函数y=ax 2+bx +c ，x 与y 的部分对应值如下表：则下列说法中正确的是（ ） x … ﹣2 0 2 3 … y …
8
3
…
A ．图象经过原点；
B ．图象开口向下；
C ．图象经过点（﹣1，3）
； D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； E.方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．
15．表中所列x 、y 的7对值是二次函数2y ax bx c =++图象上的点所对应的坐标，其中1234567x x x x x x x <<<<<<
x ⋯ 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x
⋯ y
⋯
6 m
11 k 11 m
6
⋯
根据表中提供约信息，以下4个判断中正确的是（ ） A ．0a < B ．611m << C ．当26
2
x x x +=
时，y 的值是k D ．24()b a c k - 二、非选择题
16．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为213
y x =-，当水面离桥顶的高度为25
3米时，水面的宽度
为__________米．
17．将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位后的解析式为_____．
18．已知二次函数22y x x m =-++的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的根为________；不等式220x x m -++>的解集是________；当x ________时，y 随x 的增大而减小．
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc ＜0；②a +c ＜b ；③2a +b ＝1；④a +b ≥m （am +b ），其中全部正确的是______
20．若二次函数的图象的对称轴方程是x =1，并且图象过A （0，-4）和B （4，0），求此二次函数的解析式． 21．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y (元)与批发数量x （件）(x 为正整数)之间的函数关系如图所示.
（1）请你直接写出当100＜x ≤500且x 为整数时，y 与x 的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进200件T 恤衫，所花的钱数是多少元？(其他费用不计)；
（3）若每件T 恤衫的成本价是45元，当100＜x ≤500件(x 为正整数)时，求服装厂所获利润w (元)与x (件)之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大,最大利润是多少？
22．已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴分别交于点()0,6A ，()2,0C -，tan 1ABO ∠=，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，PAB
△的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做//
PE x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE
△为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．
参考答案
1．D 【详解】
试题分析：∵抛物线y=ax 2-3x+1与x 轴有交点， ∴a≠0，△≥0， ∴9-4a×1≥0， ∴a≤
94
， 故答案为a≤9
4
且a≠0． 故选D. 2．C 【分析】
根据函数y=x 2的图象的特点：函数y=x 2的图象的开口向上，对称轴是y 轴；在y 轴的左侧y 随x 的增大而减小；在y 轴的右侧y 随x 的增大而增大． 【详解】 解：∵1a <-， ∴110a a a -<<+<， 由函数2y
x 的图象知：当0x <时y 随着x 的增大而减小，
∴321y y y <<. 故选：C. 3．C 【分析】
先求解,BD CE 的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可. 【详解】
解： AB=AD ，△ABD 的周长为20cm ，设,AB x =
202,BD x
1
,2
CE
BD 1
20210,2
CE
x x
,CE BD
21
1
2021020100,22
BDC
S
BD CE x x x x
故选：C 4．B 【分析】
本题只需要将x=0代入函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案． 【详解】
A 、将x=0代入可得y=1，故不经过原点；
B 、将x=0代入可得y=0，故经过原点；
C 、将x=0代入可得y=4，故不经过原点；
D 、将x=0代入可得y=－3，故不经过原点；故选B ． 5．C 【分析】
根据题意和正方形的性质可以得到点C 所在的位置和点C 的坐标，从而可以解答本题． 【详解】
解：∵点A 是抛物线y=x 2在第一象限上的一点，连结OA ，过点O 作OB ⊥OA ，交抛物线于点B ，四边形AOBC 为正方形，
∴点B 和点A 关于y 轴对称，点C 在y 轴上， 设点A 的坐标为（a ，a 2）， 则a=a 2（a ＞0）， 解得，a=1，
∴点C 的坐标为（0，2）， 故选C ． 6．D 【详解】
试题分析：把x=0代入解析式求出y 的值，根据y 轴上点的特征和二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 解：当x=0时，y=2，
故抛物线y=﹣x 2+x+2与y 轴的交点坐标是（0，2）． 故选D ． 7．D 【详解】
∵y=（x-2）2+k=x 2-4x+4+k=x 2-4x+（4+k ）
，
又∵y=x2+bx+5，
∴x2-4x+（4+k）=x2+bx+5，
∴b=-4，k=1．
故选D
8．A
【分析】
根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵抛物线开口向下
∴a＜0
∴符合条件的为a=-2.
故答案为：A.
9．A
【分析】
把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】
∵y=-x2+2x+1
2
=-（x-1）2+
3
2
，
∴二次函数有最大值3
2．
故选A．
10．B
【详解】
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5cm．∴AD=BE=5，故结论①正确．
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB=4， ∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠PBF ． ∴AB 4
sin PBF sin AEB BE 5
∠=∠==． ∴PF=PBsin ∠PBF=
45
t ． ∴当0＜t≤5时，y=1
2BQ•PF=1
2t•
45t=2
2t 5
．故结论②正确． 根据5～7秒面积不变，可得ED=2，
当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE+ED+DC=11，故点H 的坐标为（11，0）．
设直线NH 的解析式为y=kx+b ，
将点H （11，0），点N （7，10）代入可得：11k b 0{7k b 10+=+=，解得：5
k 2
{55
b 2=-
=
．
∴直线NH 的解析式为：555
y t 22
=-+．故结论③错误．
如图2，当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，
∵tan ∠PBQ=tan ∠ABE=3
4
，∴
PQ 3BQ 4=，即11t 354-=． 解得：t=
29
4
．故结论④正确． 综上所述，①②④正确，共3个．故选B ． 11．D 【详解】
试题解析：根据图象可得：抛物线开口向上，则a >0.抛物线与y 交于负半轴，则c <0， 对称轴：02b
x a
=-
>， ①∵它与x 轴的两个交点分别为(−1,0),(3,0)，
∴对称轴是x =1， 12b
a
，∴-
=∴b +2a =0，故①正确； ②∵开口向上， ∴a >0， 02b
x a
=-
>，∴b <0， ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c <0，
∴abc >0，故②正确； ③∵a −b +c =0， ∴c =b −a ，
∴a −2b +4c =a −2b +4(b −a )=2b −3a ， 又由①得b =−2a ， ∴a −2b +4c =−7a <0， 故③正确；
④根据图示知，当x =4时，y >0， ∴16a +4b +c >0， 由①知，b =−2a ， ∴8a +c >0； 故④正确； 故选D. 12．D 【分析】
连接BC 交OA 于M ，由四边形OBAC 是菱形，得到OA ⊥BC ，OM=AM=1
2
∠
BOA=
1
2
∠BOC=30°
，求得BM=2，于是得到B （2），C （-2），求得直线OC
的解析式为：
，得到y=（x-m ）2，把A （0）B （2）代入y=（x-m ）
2
即可得到结论． 【详解】
连接BC交OA于M，
∵四边形OBAC是菱形，
∴OA⊥BC，OM=AM=1
2
3∠BOA=
1
2
∠BOC=30°，
∴BM=2，
∴B（32），C（3-2），
∴直线OC的解析式为：
3，
∵抛物线y=x2沿直线OC平移，
∴
3，
∴y=a（x-m）2+h为y=（x-m）2
3，
∵当抛物线与菱形的AB边有公共点时，
把A（30）代入y=（x-m）23得0=（3）23，解得3163，∵3
163，
∴
163，
把B（32）代入y=（x-m）23得，2=（3）23，
解得103，3
1033
∴3
3
163，
故选D ．
13．CD
【分析】
根据抛物线的性质由2a =得到图像开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(3,1)-，对称轴为直线3x =-，当3x >-时，y 随x 增大而增大．
【详解】
解：由抛物线y ＝2（x ＋3）2＋1得抛物线开口向上，故A 正确，不符合题意；
由抛物线顶点式可知顶点坐标为(3,1)-，对称轴为直线3x =-，故B 正确，不符合题意； 由抛物线对称轴以及开口方向可知，当3x >-时，y 随x 增大而增大，故C 错误，符合题意； 当当x ＝－3时，函数值有最小值是1，故D 错误，符合题意；
故答案为：CD ．
14．ACE
【分析】
根据二次函数图象的性质，结合表中数据，逐一分析判断即可．
【详解】
解：A 、由表中数据可知，二次函数图象过(0,0)，选项正确；
B 、函数图象过(0,0),(2,0)，则知对称轴为1x =，当1x <时，由表中数据知，y 随x 的增大而减小；当1x >时，y 随x 的增大而增大，所以开口向上，选项错误；
C 、因为函数的对称轴为1x =，所以由函数对称性知，()()1,3,3,3-关于1x =对称，选项正确；
D 、当1x >时，y 随x 的增大而增大，选项错误；
E 、当y=0时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根120,2x x ==，选项正确
故选：ACE
15．ABD
【分析】
首先根据x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以a ＜0；然后根据函数值是先增大后减小，可得6＜m ＜11＜k ；最后根据a ＜0，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值244ac b a -，所以b 2≥4a （c -k ），据此判断即可．
【详解】
解：∵x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，其对应的函数值是先增大后减小，
∴抛物线开口向下，
∴a ＜0，A 符合题意；
∴6＜m ＜11＜k ，
∴6＜m ＜11，B 符合题意； 根据图表中的数据知，只有当262x x x +=
是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是k ，故C 不符合题意； ∵244ac b a -≥k ，a ＜0，
∴4ac -b 2≤4ak ，
∴b 2≥4a （c -k ）
，D 符合题意． 综上，可得判断正确的是：ABD ．
故选ABD ．
16．10．
【分析】 令253
y =-，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】 解：根据题意，令253
y =-， 2251=33
x -- 解得：5x =±
故水面的宽度为2×5=10米．
答：水面的宽度为10米．
故答案为：10．
17．y ＝x 2﹣1．
【分析】
通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.
【详解】
∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，
∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，
∵将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位得到新的抛物线，
∴新抛物线的顶点为(0，-1)，
∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，
故答案为：y=x 2 -1．
18．1x =-或3x = 13x -<< 1>
【分析】
根据二次函数y=-x 2+2x+m 的图象可以得到其对称轴和与x 轴一个交点，由此可以得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标，然后就可得m 的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x 轴的交点，那么x 轴上方的函数图象所对应的x 的取值即为不等式-x 2+2x+m ＞0的解集，对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
【详解】
解：∵对称轴为x=1，一个根为3， ∴32
x + =1， ∴x=-1，
∴-x 2+2x+m=0的根为x 1=-1，x 2=3，
∴不等式-x 2+2x+m ＞0的解集是-1＜x ＜3，
当x ＞1时，y 随x 的而减小．
19．①②④．
【分析】
根据抛物线开口确定a 符号，根据对称轴结合a 确定b 的符号，根据抛物线与y 轴交点确定c 的符号，即可判断①正确；把x =-1代入抛物线解析式，结合图象即可判断②正确，根据抛物线对称轴方程即可确定③错误，根据抛物线图象得到当x =1时，抛物线有最大值，即可判断④正确．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵对称轴在y 轴右侧，
∴a ，b 异号，b ＞0，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，
故①正确；
由图象得当x ＝-1时，y ＝a -b +c ＜0，
∴a +c ＜b ，
故②正确；
∵图象对称轴为直线x ＝2b a
-
＝1， ∴﹣b ＝2a ，即2a +b ＝0，
故③错误；
由a +b ≥m （am +b ）得a +b +c ≥am 2+bm +c ，
∵x ＝1时函数值y ＝a +b +c 为最大值，
故④正确．
故答案为：①②④．
20．2142y x x =-- 【分析】
先根据二次函数对称轴和B 点的坐标可以求出二次函数与x 轴的另一个交点坐标为（-2，0），由此可将二次函数解析式设为交点式，然后代入A 点坐标求解即可．
【详解】
解：∵二次函数的对称轴为直线1x =且与x 轴的一个交点为B （4，0），
∴二次函数与x 轴的另一个交点坐标为（-2，0）
， ∴设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，
又∵二次函数经过A （0，-4），
∴()()40204a -=+-， ∴12
a =， ∴二次函数的解析式为()()21124=422
y x x x x =+---． 21．
（1） 当100＜x ≤500且x 为整数，18520y x =-+；（2）15000元；（3）w =214020x x -+，一次批发400件时所获利润最大,最大利润是8000元.
22．（1）21262y x x =-++；（2）当点P 运动到153,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，PAB △的面积有最大值；（3）存
在，()4,6P ．
【分析】
（1）由题意易得OA =OB =6，则有()6,0B ，然后可设二次函数解析式为()()26y a x x =+-，进而把点A 的坐标代入求解即可；
（2）过点P 作PD ∥y 轴，交AB 于点D ，由题意易得直线AB 的解析式为6y x =-+，然后可设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则(),6D a a -+，然后可得PAB △的面积为()22113276332222S a a a ⎛⎫=⨯⨯-+=--+ ⎪⎝⎭
，进而问题可求解； （3）由题意可得如图，设21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，由（2）可得2132
PD a a =-+，二次函数对称轴为直线2x =，进而可得点E 的横坐标，然后根据等腰直角三角形的性质可得PD =PE ，则问题可求解．
【详解】
解：（1）∵点()0,6A ，
∴6OA =，
∵tan 1ABO ∠=，
∴6OB OA ==，
∴()6,0B ，
设二次函数解析式为()()26y a x x =+-，则把点A 的坐标代入得：126a -=，
∴12
a =-， ∴二次函数解析式为()()21
1262622
y x x x x =-+-=-++； （2）过点P 作PD ∥y 轴，交AB 于点D ，如图所示：
由（1）可设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把点A 、B 坐标代入得： 606k b b +=⎧⎨=⎩
，解得：16k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为6y x =-+，
∴(),6D a a -+，
∴根据铅垂法可得水平宽为点A 、B 的水平距离，即为6，铅垂高为
2211266322
PD a a a a a =-+++-=-+，则有： PAB △的面积为()22113276332222S a a a ⎛⎫=⨯⨯-+=--+ ⎪⎝⎭
， ∴当a =3时，PAB △的面积为最大，
∴点153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴当点P 运动到153,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，PAB △的面积有最大值； （3）存在一点()4,6P 使PDE △为等腰直角三角形，理由如下：
由题意可得如图所示：
由（2）仍设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则2132
PD a a =-+，由题意得二次函数的对称轴为直线2x =，
∴根据二次函数的对称性可得点E 的横坐标为4E x a =-，
∴24PE a =-，
∵PE PD =，
∴21
3242
a a a -+=-， 解得：124,2a a ==-（不符合题意，舍去），
∴点()4,6P ．
23．
（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．
【分析】
（1）根据抛物线对称轴的定义易求A （1，0），B （3，0）．所以1、3是关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两根．由韦达定理易求b 、c 的值；
（2）先求出顶点D 的坐标，再由勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形，再由对称得AD ＝BD ，进而得△ABD 是等腰直角三角形；
（3）连接CA ，延长CA 与直线x ＝2交于点P ，连接BP ，此时P 点就是PC ﹣PB 的值最大的点，求出直线AC 的解析式，再求直线AC 与直线x ＝2的交点坐标便可．
【详解】
（1）如图，∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2．
∴点A 的坐标是（1，0）
，点B 的坐标是（3，0）． ∵抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，
∴1、3是关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两根．
由韦达定理，
1+3＝﹣b ，1×3＝c ，
∴b ＝﹣4，c ＝3，
∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；
（2）∵y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，
∴D （2，﹣1）
，
∴AD 2+BD 2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，
∵AB 2＝22＝4，
∴AD 2+BD 2＝AB 2，
∴△ADB 是直角三角形，
由对称性有AD ＝BD ，
∴△ADB是等腰直角三角形；
（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，
∵A、B两点关于直线x＝2对称，
∴PB＝P A，
∴PC﹣PB＝PC﹣P A＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，
∴C（0，3），
∵A（1，0），
∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，
当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，
∴P（2，﹣3）．。