[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第9单元 计数原理、概率、随机变量及其分布听课学案 理

第九单元计数原理、概率、随机变量及其分布
第55讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课前双击巩固
题组一常识题
1.[教材改编]已知集合M=,N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标,可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是.
2.[教材改编] 6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种.
3.[教材改编]由0,1,2,3,5组成无重复数字的五位数,其中偶数共有个.
4.[教材改编]李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同颜色的裙子,另有2套不同样式的连衣裙,现在需选择1套服装参加歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法有种.
题组二常错题
◆索引:分类、分步时出错或对概念的理解出错.
5.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙2名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.
6.在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者.三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有
种.(用数字作答)
7.已知a,b∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则log a b的不同取值个数为.
8.有6 名学生,其中有3 名只会唱歌,2 名只会跳舞,1名既会唱歌又会跳舞.现从中选出2 名会唱歌的学生,1名会跳舞的学生,去参加文艺演出,则所有不同的选法种数
为.
课堂考点探究
探究点一分类加法计数原理
1 (1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有()
A.120种
B.16种
C.64种
D.39种
(2)如图9-55-1,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路,从丙地到丁地有2条路,则从甲地到丁地不同的路有 ()
图9-55-1
A.11条
B.14条
C.16条
D.48条
[总结反思] 解答此类问题的关键是充分理解题意,理解分类计数原理:
(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”;
(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法,即步与步之间的方法“相互独立,分步完成”.
式题 (1)[2017·辽宁重点高中期末]甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼,每层楼最多下2人,则下电梯的方法有()
A.210种
B.84种
C.343种
D.336种
(2)[2017·东北三省三校模拟]在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌,广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求相邻两块广告牌的底色不都为蓝色,则不同的配色方案共有()
A.20种
B.21种
C.22种
D.24种
探究点二分步乘法计数原理
2 (1)[2017·淮北一中检测]甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案的种数为()
A.5
B.24
C.32
D.64
(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有种.
[总结反思] 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.
式题 (1)[2017·杭州萧山一中月考]有六种不同颜色,给如图9-55-2所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有()
A.4320种
B.2880种
C.1440种
D.720种
图9-55-2
(2)某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排1人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是()
A.24
B.32
C.48
D.84
探究点三两个计数原理的综合
3 (1)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排2位大人,另外,2个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为()
A.144
B.124
C.72
D.36
(2)如图9-55-3,一个地区分为五个行政区域,现给该地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.(用数字作答)
图9-55-3
[总结反思] (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,但也有几种常用方法: 按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,适用于区域、点、线段等问题,用分类加法计数原理分析; 将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.
(2)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类;分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成.若综合利用两个计数原理,一般先分类再分步.
式题 (1)若自然数n作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如,32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为()
A.9
B.10
C.11
D.12
(2)“五一”黄金周将至,小明一家五口决定外出游玩,购买的车票分布如图9-55-4.
图9-55-4
若爷爷喜欢走动,需要坐靠近走廊的位置,妈妈需要照顾妹妹,两人必须坐在一起,则座位的安排方式一共有种.
第56讲排列与组合
课前双击巩固
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
=
m∈N*,且
(1)
=”表示
=
(
*,且m≤n)
(1)=
(2)=
(3)+
题组一常识题
1.[教材改编]世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者选派3名分别到这三个不同的展台担任翻译工作,则不同的选派方法有
种.
2.[教材改编]甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则不同的选法共有种.
3.[教材改编]某数学教研组准备从甲、乙等7名教师中选派4名教师发言,如果要求甲、乙两人至少有一人发言,那么不同的选派方法有种.
题组二常错题
◆索引:分类讨论中分类标准不清楚导致重复计数;不能灵活使用间接法.
4.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有种.
5.有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球,将它们排成一排,共有种不同的排列方法.
6.现有6个人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不同时相邻的排法有种.
课堂考点探究
探究点一排列问题
1 (1)[2017·江西重点中学盟校联考]将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A 与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有()
A.18种
B.20种
C.21种
D.22种
(2) 四位男演员与五位女演员排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法种数为()
A.-2
B.-
C.-2
D.-
[总结反思] (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.
式题 (1)5名学生进行知识竞赛.笔试结束后,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“你们5人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这5人的笔试名次的所有可能的种数是 ()
A.54
B.72
C.78
D.96
(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为()
A.12
B.24
C.36
D.48
探究点二组合问题
2 (1)[2017·辽宁实验中学模拟]篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含2名中锋,2名控球后卫.若要求每一套出场阵容中有且仅有1名中锋,至少包含1名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练出场阵容的选择方案共有()
A.16种
B.28种
C.84种
D.96种
(2)现有12张不同颜色的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,现从中任取3张,要求3张卡片不能全是同种颜色,且蓝色卡片至多1张,则不同的取法种数是()
A.135
B.172
C.189
D.162
[总结反思] 解决组合问题中两类题型的方法:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)对于“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型,若直接分类复杂,则间接求解.
式题 (1)[2017·银川二模]某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、外语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科,要求物理、化学、生物三科至少选一科,政治、历史、地理三科至少选一科,则可供考生选择的选考方法种数为()
A.6
B.12
C.18
D.24
(2)[2017·郴州质检]把3名男生2名女生共5名新生分配到甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为.(用数字作答)
探究点三分组分配问题
考向1整体均分问题
3 数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出1名组长,则不同的分配方案有()
A.种
B.34种
C.43种
D.43种
[总结反思] (1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列.
(2)对于分堆与分配问题应注意三点:①处理分配问题要注意先分堆再分配;②被分配的元素是不同的;③分堆时要注意是否均匀.
考向2部分均分问题
4 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编,则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为()
A.150
B.180
C.200
D.280
[总结反思] 对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m!.
考向3不等分问题
5 A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌上开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有()
A.24种
B.30种
C.48种
D.60种
[总结反思] 对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题.
强化演练
1.【考向1】[2017·汕头模拟]现有编号为A,B,C,D的四本书,将这四本书平均分给甲、乙两位同学,则A,B两本书不被同一位同学分到的概率为 ()
A. B.
C. D.
2.【考向2】6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫,要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作,且每个自然村至少有1位机关干部扶贫,则不同的分配方案有种.
3.【考向3】将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教,若4个人分到甲学校,2个人分到乙学校,1个人分到丙学校,则有种不同的分配方案.
4.【考向2】在“心连心”活动中,五名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排一名党员参加,且A,B两名党员必须在同一个村子的不同分配方法种数为.
5.【考向2】现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多有2名,若其中教师甲和教师乙均不能单独带队,则不同的带队方案有种.(用数字作答)
第57讲二项式定理
课前双击巩固
1.二项式定理
=+++b
a
二项展开式中各项的系数为,,
2.二项式系数的性质
(1)当0≤k≤n时,与的关系是.
(2)二项式系数先增后减中间项最大.
当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和第
项的二项式系数最大,最大值为或.
(3)各二项式系数和:+++…+= ,+++…=+++…= .
题组一常识题
1.[教材改编]已知(x-3y)n的展开式中,第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等,则展开式共有项.
2.[教材改编]二项式x+12的展开式中常数项是第项.
3.[教材改编]在二项式x-8的展开式中,含x5项的系数是.(用数字作答)
4.[教材改编]若x1-4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则a1+a3+a5= .
题组二常错题
◆索引:二项展开式的通项记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和致误.
5.(1-2x)7的展开式中第4项的系数是.
6.在二项式x2-n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和
为.
7.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8= .
8.[2017·惠州模拟] (x+1)5(x-2)的展开式中x2的系数为.
课堂考点探究
探究点一求展开式中的特定项或特定系数
1 (1)(1-2x)5的展开式中x3的系数为()
A.-80
B.80
C.10
D.-10
(2)二项式x-6的展开式中常数项为 ()
A.-15
B.15
C.-20
D.20
[总结反思] 本类题主要考查二项展开式的通项与系数,考查的核心是通项T r+1=a n-r b r.求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步,根据所求的指数求解所求的项.
式题 (1)[2017·贵阳二模]若x-5的展开式中x3的系数为30,则实数a=()
A.-6
B.6
C.-5
D.5
(2)[2017·株洲一模]在+2x5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)
探究点二二项式系数与各项的系数问题
2 (1)在x+n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64∶1,则x3的系数为()
A.15
B.45
C.135
D.405
(2)[2017·唐山三模]若(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=()
A.1
B.513
C.512
D.511
[总结反思] (1)“赋值法”普遍应用于恒等式,是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.
(2)当n为偶数时,展开式中第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,展开式中第项和第项的二项式系数最大,最大值为或.
式题 (1)在(x-2)6的展开式中,二项式系数的最大值为m,含x5项的系数为n,则=
()
A. B.-
C. D.-
(2)[2017·西宁一模]若x2+n的展开式中,二项式系数和为64,所有项的系数和为729,则a的值为.
探究点三多项式展开式中的特定项
考向1几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
3 在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)11的展开式中,x2项的系数是()
A.55
B.66
C.165
D.220
[总结反思] 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并.通常要用到方程或不等式的知识求解.
考向2几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
4 在(-1)4·(x-1)2的展开式中,含x项的系数为()
A.-4
B.-2
C.2
D.4
[总结反思] 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可.
考向3三项展开式中的特定项(系数)问题
5 [2017·长沙三模]x2-+34的展开式中常数项是.
[总结反思] 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解;
(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
强化演练
1.【考向2】(a+x)(1-x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a的值为()
A.-3
B.3
C.-5
D.5
2.【考向1】已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n(n∈N*),若a0+a1+…+a n=62,则log n25等于.
3.【考向3】[2017·锦州质检] (x2-x-2)3的展开式中含x项的系数为.
4.【考向2】在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中,xy3的系数为.
5.【考向2】在x-(2x-1)6的展开式中,x3的系数是.(用数字作答)
6.【考向2】[2017·赣州二模]若(1+y3)x-n(n∈N+)的展开式中存在常数项,则常数项为.
探究点四二项式定理的简单应用
考向1利用二项式定理证明不等式
6 设函数f(x,y)=(1+my)x(m>0,y>0).
已知正整数n与正实数t,满足f(n,1)=m n f n,.
求证:f2017,>6f-2017,.
[总结反思] 利用二项式定理证明不等式,常取展开式的部分项朝预定目标进行不等放缩,从而得证.
考向2有关整除问题
7 若等差数列{a n}的首项为a1=-(m∈N),公差是-n的展开式中的常数项,其中n为7777-15除以19的余数,求通项公式a n.
[总结反思] 用二项式定理处理整除问题,通常把被除数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈[0,r),r是除数,切记余数不能为负;二是二项式定理的逆用.
强化演练
1.【考向2】883+6被49除所得的余数是 ()
A.-14
B.0
C.14
D.35
2.【考向2】若n是正整数,则7n+7n-1+7n-2+…+7除以9的余数是.
3.【考向1】利用二项式定理证明:<(n∈N且n≥3).
第58讲随机事件的概率与古典概型
课前双击巩固
1.事件的分类
2.频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的稳定在某个常数上,把这个记作P(A),称为事件A发生的概率,简称为A的概率.
3.事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:.
(2)必然事件的概率P(E)= .
(3)不可能事件的概率P(F)= .
(4)①若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)= .
5.古典概型
(1)基本事件的特点:
①任何两个基本事件是的;
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.
(2)古典概型的特点:
①试验中所有可能出现的基本事件只有个,即;
②每个基本事件发生的可能性,即.
(3)概率公式:P(A)= .
题组一常识题
1.[教材改编]在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”,对这句话理解正确的说法序号是.
①明天该地区有85%的地区降水,其他15%的地区不
降水;
②明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水;
③气象台的专家中,有85%的专家认为会降水,另外15%的专家认为不降水;
④明天该地区降水的可能性为85%.
2.[教材改编]抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件
为.
3.[教材改编]从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.若每次取后放回,连续取两次,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为.
4.[教材改编]中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的
概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率
为.
5.[教材改编]已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器算出0~9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
57270293714098570347
43738636964714174698
03716233261680456011
36619597742467104281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.
题组二常错题
◆索引:求基本事件时出错;确定对立事件时出错;互斥事件判定出错.
6.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为;甲赢的概率
为.
7.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率
为.
课堂考点探究
探究点一随机事件的频率与概率
1 (1)下列说法正确的是 ()
A.某人打靶,射击10次,击中7次,则此人中靶的概率为0.7
B.一位同学做抛硬币试验,抛6次,一定有3次“正面朝上”
C.某地发行福利彩票,回报率为47%,若有人花了100元钱买彩票,则一定会有47元的回报
D.发生的概率等于1的事件不一定为必然事件
(2)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A 和汽车B选择的最佳路径分别为()
A.公路1和公路2
B.公路2和公路1
C.公路2和公路2
D.公路1和公路1
[总结反思] 随机事件的频率与概率问题应注意:
(1)理解频率与概率的区别:概率可看成是频率在理论上的稳定值,频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数.
(2)理解概率的基本性质:①0≤P(A)≤1;②P(Ω)=1,P(⌀)=0.
式题 [2017·福州一中质检]规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上
为优秀.根据以往经验,某选手投掷1次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率.用计算机产生0到9之间的随机整数,用0,1表示该次投掷未在8 环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在 8 环以上,经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数:
907966191925271932812458569683 031257393527556488730113537989
据此估计,该选手投掷一轮,可以拿到优秀的概率为()
A. B.
C.D.
探究点二互斥事件与对立事件的概率
2[2017·浏阳一中模拟]公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7.为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字,整数部分3不变,那么得到的数大于3.14的概率为()
A.B.
C.D.
[总结反思] 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求概率,即运用逆向思维(正难则反).特别是对“至多”“至少”型题目,用间接求法更简便.
式题 [2017·临汾一中月考]现有4张卡片,正面分别标有1,2,3,4,背面完全相同.将卡片洗匀,背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽取一张,抽取后不放回,甲先抽,若二人约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是()
A. B.
C. D.
探究点三古典概型的概率
3 学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生,将“梅”“兰”“竹”“菊”四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三名学生,每名学生至少获得一幅,则甲得到名画“竹”的概率是()
A. B.
C. D.
[总结反思] 古典概型中基本事件的探求方法:
(1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
式题 (1)[2017·大同三模]现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀的各1人,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1或B1仅1人被选中的概率为()
A. B.
C. D.
(2)一个三位自然数abc的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a,b,c∈{4,5,6,7,8},且a,b,c互不相同,任取一个三位数abc,则它为“凹数”的概率是()
A. B.
C. D.。