数值分析思考题4

数值分析思考题4

1、 Gauss 消去法和LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？

工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？

答：Gauss 消去法所需的加，减，乘，除运算的次数为：

12321(1)(1)(21)2()2()()223n k n n n n n n k n k n O n -=---⎡⎤-+-=

+=+⎣⎦∑

由于Gauss 消去法与LU 三角分解法是等价的，因此，LU 三角分解法的工作量也是323n ，两者的工作量相同。

平方根法是A 为实对称正定矩阵时，三角分解法的变形。其工作量约为LU 三角分解法的一半，该算法的计算量为13 n 3

2、求解一个线性方程的LU 分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？分别用列主元和全主元Gauss 消去法求解下列方程组：

⎪⎩

⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x

答：（1）条件（三角分解的一个充分条件）：如果n n A R ⨯∈的顺序主子式(1,2,

1)k k k A R k n ⨯∈=-均非奇异，则存在唯一的单位下三角阵n n L R ⨯∈和上三角阵n n U R ⨯∈，满足A LU =。

并且，在三角分解过程中的除法运算要求分母不能太小，否则将可能产生不稳定的情况。

（2）.选主元的目的就是为了完成消元并且避免不稳定情况

的发生。

3、用平方根方法（Cholesky 分解法）求解下列方程组，并用紧凑格式存储。

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x 答：系数矩阵

A=⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎣⎡-22485416⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2242514

⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡-22322143333−l 3132⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣-332214

L=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-332214 L T =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡33-2214 b=(−4 3 10)T 求解方程Ly=b y=(−1 2 6)T

求解方程组L T x=y 求得x=(−

944 2) T

4、已知线性方程组

122.0002 1.999841.9998 2.00024x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ （1）求系数矩阵的逆1A -和条件数()cond A ；

（2）若方程组右端有微小扰动()44210,210T

b δ--=⨯-⨯，不用求解方程

组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。 解：（1） 得到的结果：系数矩阵的逆11000199998899991000188A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,条件数为：10000。 （2）线性方程组122.0002 1.999841.9998 2.00024x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 其解为：[]1,1T x =

若方程组右端有扰动，则原方程变为: '1'22.0002 1.9998 4.00021.9998 2.0002 3.9998x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦，其解为：

[]' 1.5,0.5x =。 '11220000x x

b x b δ∞∞∞∞-==

即解的相对误差是右端项相对误差的10000倍。