《小专题复习——平面直角坐标系中的面积问题》教学设计

《小专题复习——平面直角坐标系中的面积问题》教学设计
一、考点分析
平面直角坐标系中的面积问题，在广东省初中毕业生学业考试（升中考）中常以一次函数与反比例函数、或一次函数与二次函数相结合的形式出现，难度较大，既考查学生所学知识，同时也考查学生的综合运用能力. 主要涉及面积最值、利用面积关系求点的坐标或函数关系式等方面.
解决这类问题的基础知识主要有以下几点：
”解决平面直角坐标系中的三角形面积问题.
1.用公式“ S = 1⨯底⨯高
∆2
2.用割补法求平面直角坐标系中的几何图形(如，三角形)的面积.
3.用字母表示函数图象上某个点的坐标.
4.横（或纵）坐标相同的两个点之间的距离.
5.用待定系数法求函数解析式，求交点坐标,求函数的最值.
二、学情分析
本节课是函数复习的一个小专题，是函数的一个综合应用.前面几节课复习了“平面直角坐标系和函数的概念”、“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”等内容，学生对函数的相关知识有了进一步的熟悉与巩固，为本节课的学习奠定了基础.另一方面，由于本节课的综合性较强，需要帮助学生搭好手脚架，做好知识的铺垫，以及方法的指引.
三、教学目标
1.通过小专题复习，引导学生学习如何解决“平面直角坐标系中的面积问题”.
2.利用思维导图，分析解决问题的思路和方法、小结反思解题的方法和策略，提高分析、解决问题的能力，培养学习反思的习惯.
四、教学重、难点分析
1.重点：引导学生学习如何解决“平面直角坐标系中的面积问题”.
2.难点：在综合运用知识解决面积问题的过程中，如何“选底、找高”，如何表示底和高.
五、教学策略分析
五
技能 训练
四 变式 迁移
三
课堂小结
二
例题精讲
一
“课前小练”
展示
本节课是思维导图在中考复习中的应用.主要是利用思维导图呈现解题方法的挖掘过程，让学生体会解题的“切入点”；利用思维导图展现思维的发散过程，让学生体验解题的“突破口”；利用思维导图呈现“平面直角坐标系中的面积问题”的小结反思，小结解决此类问题的基本思路、方法，帮助学生体悟基本思想和提高解题能力，突破本节课的重难点.
同时，本节课的设计也是三段六步教学法的一个尝试，“以退为进，以小见大”，强 化解题策略训练.退到恰好能看到思想全貌，退到最基础的知识点，通过课前预习案引 导学生温故知新，以便更好地突出这节课的主题——解决平面直角坐标系中的面积问题； 并通过例题精讲、变式迁移、技能训练，层层递进引导学生学会如何解决平面直角坐标 系中的面积问题.分“课前——课中——课后”三段落实基础、重点.
六、教学流程设计
七、教学过程设计
1.如图1，在平面直角坐标系中，点B
（-5,0），点C（3,6），则△OBC的
面积为.
图1
2.如图，在平面直角坐标系中，点D （-4,3），点E（4,5），DE边与y轴交点的纵坐标是4.则S
△ODE
= .
图 2
3.如图3，已知直线y =x + 2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点C 在线段AB 上，CD⊥x 轴于点D，BE⊥CD交CD 的延长线于点E，则DE 的长为，AD+BE 的值为.
【思考】若点 C 的横坐标为a ，则点C 的纵坐标为，
BE 的长为，
CE 的长为.
y
E B
C
A O x
D 师：
①引导学生分析第1题中△OBC的特殊性——OB边在x 轴上，从而得出：S =
1
⨯OB⨯点C到x轴的距离
.∆OBC 2
②通过第2题引导学生分析归纳：当三角形的三边都不在坐标轴上、且不和坐标轴平行时，常用割补法“化一般为特殊”求面积.
③通过第3题引导学生回顾“横(或纵)坐标相同的两个点之间的距离= 纵( 或横)坐标之差的绝对值”.
生：
课前完成预习案，展示“课前小练”的第1-3题.
图3
教学
步骤
教学内容师生活动设计意图
例题精讲
例1 (2014 广东第23 题)如图
4，已知A
⎛
-4,
1 ⎫
，B（-1,2）是一次
2 ⎪
⎝⎭
函数y =kx +b 与反比例函数y =
m
x
（m ≠ 0, m＜0 ）图象的两个交点，AC
⊥x 轴于 C，BD⊥y 轴于 D.
（1）根据图象直接回答：在第二象
限内，当x 取何值时，一次函
数大于反比例函数的值?
（2）求一次函数解析式及m 的值；
（3）P 是线段 AB 上的一点，连接
PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，
求点 P 坐标.
图4
例 2 如图 5 ，已知抛物线
y=x2+bx－3a过点A（1，0），B（0，
－3），与x轴交于另一点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 C 的坐标及直线 BC 的解
析式；
（3）若E 是线段 BC 上一点，作
EF//y轴与抛物线交于点 F，
求当
∆BCF 面积最大值时，点 E 的
坐标.
例1
师：重点引导学生分析第
（3）问的解题思路，利用
思维导图引导学生找“关键
词”、分析“等量关系”建
立方程解决问题.
生：①课前：在预习案中
独立完成第（1）（2）
问；
②课堂：思考、解答、
交流讨论第（3）问.
例2
师：重点引导学生分析第
（3）问的解题思路，利用
思维导图引导学生分析问
题的实质，将“求当面积最
大时，点的坐标”转化为求
函数何时取最大值，找出解
决问题的关键点——找到
点E的坐标与△BCF的面积
的关系.
设置
预习案，
让学生课
前完成第
（1）（2）
问，课堂
直接解答
本节课的
重点——
面积问
题.
例 1
渗透如何
用参数表
示三角形
的底和
高，进而
根据面积
的等量关
系建立方
程解决问
题；例2渗
透如何用
平行于坐
标轴的直
线分割三
角形求其
面积，从
而建立函
数关系式
解决问
题.
通过
两个例题
的学习，
让学生领
悟解决此
图5
生：①课前：在预习案中
独立完成第（1）（2）
问；
②课堂：思考、解答、
交流讨论第（3）问.
1．（2012 广东第 22 题）如图 6，抛物线 y = 1 x 2 - 3 x - 9 与 x 轴交
2 2
于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ， 连接 BC 、AC ． （1） 求 AB 和 OC 的长； （2） 点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点B 运动（点 E 与点A 、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行 B C ，交 AC 于点 D ．设 AE 的长为 m ，△ADE 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3） 在（2）的条件下，连接 CE ，
求△CDE 面积的最大值．
图6
师：
重点引导学生分析第
（3）问的解题思路，利用思维导图引导学生分析问题的实质，将“求面积最大问题”转化为求函数的最大值问题，找出解决问题的关
键点——找到AE 的长m 与△ CDE 的面积的关系.
生：
课后自主完成练习，思
考第（3）问与例2第（3）
问之间的变式迁移关系.
1. （2013 聊城）如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线
所围成的阴影部分的面积为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
图7
2 ．（2012 广州改编）如图 8 ，抛物线y =-x2 - 2x +8 与x 轴交于 A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C. （1）求点A、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上任意一点，当S△ACD=S△ACB 时，求点D 的坐标.
y
C
A B
O
图8 第1题：
师：引导学生利用割补法将阴影部分面积转化为边长为2的正方形的面积.
生：课后思考并独立完成习题.
第2题：
师：重点引导学生类比例1 第（3）问的解法完成第（2）问，分类讨论求得点D的纵坐标.
生：
① 课后思考并独立完成习
题；
② 交流、讨论第（2）问.
八、板书设计
例2（3）
平面直角坐标系中的面积问题
例1（3）
（投影区）
九、教学设计说明
为突出本节课的重点——解决平面直角坐标系中的面积问题，并为课堂学习做好铺垫准备，设计了预习案，由学生课前完成.预习案的内容如下：
1.考点分析.
2.课前小练的第 1-3 题 .
3.例1、例 2 的第（1）、第（2）问，其中例 2 的预习在预习案中设计如下：
如图 5，已知抛物线y=x2+bx－3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 C 的坐标及直线 BC 的解析式；
（3）若E 是线段 BC 上一点，作 EF//y 轴与抛物线交于
点F. 设点 E 的横坐标为m ，请用含m 的式子表示：
① E 的坐标：( m ，)；
② 点F 的坐标：（，），
③EF 的长：.
图5
整个小专题的复习，设计分“课前——课中——课后”三段进行.课前，完成预习案，为课堂学习做知识储备；课中，探究学习如何解决平面直角坐标系中的面积问题；课后，完成“变式迁移”和“技能训练”的习题，提升解题技能.。