2014六盘水市实验一中教师技能大赛试题及答案

在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程
cos t
为：
x
=
1 + sin t cos t
y
=
1 − sin t
（t 是参数）
（Ⅰ）写出曲线 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设点 A,Βιβλιοθήκη B在曲线 C上，且 ∠AOB
=
45◦，求
1 |OA|4
+
1 |OB|4 .
躲过鱼雷袭击就能成功登岛；登岛官兵至少需要1500人，才能击败守岛蓝军，成功夺岛。 红军可选用
两种方案运载官兵：
方案甲：使用4艘军舰.
方案乙：使用5艘军舰，每艘乘员400人.
（Ⅰ）如果以登岛人数论成败，红军应选择哪种方案？
（Ⅱ）如果以夺岛论成败，红军应选择哪种方案？
(看看答案)
20. (本小题满分12分) 设直线 l : y = kx + m 与抛物线C : y = ax2 + bx + c 交于 A(x1, y1), B(x2, y2) 两点.
x2
>
2x
【解法二】 x ∈ A ∩ B =⇒
，画出 y = 2x 和 y = x2 的图像得：2 < x < 4，
x
>0
由sin(πx)
·
cos(πx)
=
0
=⇒
sin(2πx)
=
0
=⇒
x
=
k ,
k
∈Z.
2
则x =
5 ,
3,
7 .
22
第2题.
【解法一】特例法（赋值法）：设圆 C : x2 + y2 − 2x − 3 = 0, P (3, 1)，则 |P T |2 = 1，经检验只有（A)正
确.
【解 法 二】方 程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ⇐⇒ |M C|2 − R2 = 0，其 中 M (x, y) 是 任 意 点，
DE C − ,−
是圆心，R 是半径，R2 = D2 + E2 − 4F ，即|M C|2 − R2 = x2 + y2 + Dx + Ey + F
e2 + e − 1 = 0(0 < e < 1) =⇒ e =
5−1 .
2
故选（D)
M O Fx
B
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第5题.
【解】点集 A 的面积为 S
=
π ,
A ∩ B的面积为 S
=S−2
1 (1 − x2 )dx = S − 2(x − 1 x3) 1 = π − 4
（Ⅱ）如果bn
=
anbn−1,
b1
=
a1,
θ
=
π 21
，求
b6
.
(看看答案)
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18. (本小题12 分)
如 图， 在 三 棱 锥 P –ABC 中， 直
P
线P A⊥平面 A√BC, AB⊥AC, P A = 1, AB = AC = 2.
= 2 交于 A,
B
两点，O
是原点，且O# A»
·
#» OB
=
2 ，则3a + 4b的
3
取值范围是
. (看看答案)
三、解答题： (共 6 个小题, 满分 70 分)
17. (本小题12 分) 已知数列 {an} 满足 a1 = cos θ, an+1 = 2a2n − 1．
（Ⅰ）求 a2, a3，并猜想 {an} 的通项公式（无需证明）；
(B) x20 + y02 + Dx0 + Ey0 (D) x20 + y02 − Dx0 − Ey0
3. i 是虚数单位，x, y, z 都是实数，且 x − 2i= z ，则 z 的值不可能等于 1 + yi
(A) −6
(B) 3
(C) 4
(看看答案)
(D) 5
4. 椭圆： x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为 F ，上下顶点分别为 A, B ，右顶点恰好是 a2 b2
2014六盘水市实验一中青年教师技能大赛 高中数学
参考答案及评分标准
一、选择题答题表：(共 12 个小题, 每小题 5 分, 满分 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D B A B C A C B D
第1题.
【解法一】（筛选法）显然 2 ∈/ A, 3 ∈ A, 4 ∈/ A，故选C.
三 视 图，则 该 几 何 体 的
外接球半径为
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
(看看答案)
12.
定义在R上的函数 f (x) 满足：f (x + π) = f (x) + sin x，当 x ∈ (0, π ]
时，f (x)
=
cos
x，则
47π f(
)
=
12
√
√
1
2
1
2
(A)
(B)
(C) −
(D) −
2
0
3 023
则概率 p = S = 1 − 8 . 故选（B)
S
3π
第6题.
【解】设a + b, a − b 的夹角为 θ，则 a2 − b2 = (a + b) · (a − b) = |a + b| · |a − b| cos θ
√√ √ |a + b| · |a − b| = 10 · 6 = 2 15.
2
2
2
2
(看看答案)
二、填空题：(共 4 个小题, 每小题 5 分, 满分 20 分)
13. 将 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 排 成 一 列， 要 求 偶 数 2, 4, 6 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列， 则 所 有 可 能 的 排 法 种 数
为
（用数字填写答案）. (看看答案)
x 14. f (x) = ln(log2 2 + x ) +
log2
8 x
−
x 的定义域为
. (看看答案)
15. 在三棱台 ABC–A B C 中，三棱锥 A –ABC 和三棱锥 B–A B C 的体积分别为1, 4，则此棱台的体积
为
. (看看答案)
16.
设直线 l ：ax + by
= 2 与圆 C ：x2 + y2
22
4
所以 |P T |2 = |P C| − R2 = x20 + y02 + Dx0 + Ey0 + F .
第3题.
【解法一】（筛选法）依次对各选项检验，如令 z = 3 时，x − 2i = 3 1 + yi
x + 2y
=
3
⇐⇒
=⇒ x2 − x + 4 = 0（无解），故选（B)
xy − 2 =
(看看答案)
24. (本小题满分10分)选修4−5：不等式选讲
（Ⅰ） f (x) = |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| 最小时，求x 的集合；
（Ⅱ）求 g(x)
=
1
+
4 sin2
x
+
1 cos2
的最小值. x
(看看答案)
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ABF 的垂· 心· ，
则该椭圆的离心率等于
1 (A)
2 (看看答案)
√ 2
(B) 2
√ 5+1
(C) 2
√ 5−1
(D) 2
√ 5. 已知点集 A = { (x, y) | 0 < y < 1 − x2 }, B = { (x, y) | y > 1 − x2 }，在 A 中随机取一个点 (a, b)，
(B) 1
(C) 2
(D) 3
10. 双曲线：x2− y2 = 1 的右焦点为 F ，P 是双曲线右支上的动点，点 A 的坐标为 (6, 6) ，则 |P A|+|P F | 的 3
最小值为
(A) 4 (看看答案)
(B) 6
(C) 8
(D) 10
11. 如 图，网 格 纸 上 正 方 形 小格的边长为1，图中粗 线画出的是某几何体的
则 (a, b) ∈ B 的概率等于
8 (A)
3π (看看答案)
8 (B) 1 −
3π
4 (C)
3π
4 (D) 1 −
3π
√
√
6. 设向量 a，b 满足：|a + b|= 10 , | a − b| = 6，则 a2−b2 的最大值为
√
(A) 2 15
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(看看答案)
7. ABC 中，A, B, C 的对边分别为 a, b, c，已知 4A, C, 4B 成等差数列，且 a, b, c 成等差数列，则 sin A : sin B =
（Ⅰ）平移 l，使之与抛物线 C 相切，切点横坐标为 x0，找出 x0, x1, x2 的关系; （Ⅱ）若b = 0, m = 0, ∠AOB 被 x 轴平分（O 是原点），求 c : m .
(看看答案)
21. (本小题满分12分)
已知函数 f (x)
=
x
−
1 ,
g(x)
=
2a ln x.
x
（Ⅰ）如果存在唯一的 x0，使曲线 y = f (x) 在 (x0, f (x0) )处的切线和 y = g(x) 在 (x0, g(x0) ) 处的切线
5 (B) 2, , 3
2
57
(C) , 3,
(D)
22
7 3, , 4
2
2. P (x0, y0) 是圆 C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 > 4F ) 外一点，过 P 作圆的切线 P T (T 是切 点)，则 |P T |2 =
(A) x20 + y02 + Dx0 + Ey0 + F (C) x20 + y02 − Dx0 − Ey0 + F (看看答案)
如图，P 是 O外一点，P T 是切线，T 为切
C
点， 割 线 P AB 与 O 相 交 于 A, B， C 是 A˜B的 P
AD
B
中点，AB 与 T C 交于点 D .
（Ⅰ）求证 ∠P T D = ∠P DT ；
O
（Ⅱ）如果P D = DB, DC · DT = 2，求 P T .
T
(看看答案)
23. (本小题满分10分)选修4−4：坐标系与参数方程
0
【解法二】由 x − 2i =
z
x + 2y
=
z
=⇒
1 + yi
xy − 2 =
0
4 =⇒ z = x + =⇒ |z|
2 x · 4 = 4，只有（B）不成立.
x
x
第4题.
【解】 如 图， M 是 ABF 的 垂 心， 则 M A⊥BF =⇒
yA
kAM kBF = −1 =⇒ b2 = ac =⇒ c√2 + ac − a2 = 0 =⇒
Q
（Ⅰ）求二面角 P –BC–A 的大小;
（Ⅱ） 设 Q 是 P B 上 的 点， 如 果 平
A
C
面
QAC ⊥平面
P BC，求
P
Q .
QB
B
(看看答案)
19. (本小题12 分)
一次登岛、夺岛军事演习中，红军2000官兵乘军舰登岛，蓝军在登岛海域布置鱼雷反登岛，每艘军
舰在登岛过程中被蓝军鱼雷击沉的概率为 p (0 < p < 1)，红军现有五艘军舰，每艘军舰最大乘员500人。
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一、选择题：(共 12 个小题, 每小题 5 分, 满分 60 分)
1. 设集合 P = {x | x2 > 2x }, Q = {x | sin(πx) · cos(πx) = 0, x > 0 }，则P ∩Q=
35 (A) , 2,
22 (看看答案)
2
2
sin A : sin B = a : b = 3 : 5. 故选（B).
第8题. 【解】该程序的目的是将 x 的值逐步变为1，y 记录赋值次数，赋值过程是： 30 → 15 → 44 → 22 → 11 → 32 → 6 → 8 → 4 → 2 → 1，显然赋值次数为10. 故选（C).
第9题. 【解】由复合函数的求导法则及 f (x) 的奇偶性知： f (−x) = f (x) =⇒ f (−x)(−x) = f (x) =⇒ −f (−x) = f (x)，即 f (x) 是奇函数， f (x) 是最小正周期为 4 的周期函数 =⇒ f (x + 4) = f (x) =⇒ f (x + 4) = f (x) =⇒ f (x + 4)(x + 4) = f (x) =⇒ f (x + 4) = f (x)，即 f (x) 也是周期函数，4是周期. =⇒ f (4) = f (0) = 0, f (3) + f (1) = f (3) − f (−1) = 0 f (2) = f (−2) 且 f (2) = −f (−2) =⇒ f (2) = 0 =⇒ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0.
(A) 1 : 3 (看看答案)
(B) 3 : 5
(C) 5 : 7
(D) 1 : 2
8. 执 行 右 面 的 程 序 框 图， 如 果 输 入 的x = 30, y = 0, 则输出的 y = (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
开始 输入x, y
是 x
x= 2
x是偶数 否 x = 3x − 1
重合，求 a；
（Ⅱ）如果f (x) = g(x) 有且仅有一个解，求 a 的取值范围.
(看看答案)
2014六盘水市实验一中青年教师技能大赛 数学试卷及答案 第3页 共13页
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)选修4−1：几何证明选讲
故选（A）.
第7题.
【解】
4A, C, 4B 成等差数列 =⇒ 2(A + B) = C
2π
=⇒ C =
A+B
+C
=
π
3
a, b, c 成等差数列，可设 a = b − d, c = b + d 由余弦定理得：
(b + d)2 = (b − d)2 + b2 + (b − d)b =⇒ b = 5d ，则 a = b − d = 3d
y = y+1