年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题.

2005年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题
（数学类）
一． 计算题（每小题12分，满分60分）
1．计算()()
2
34
00sin ln(1)38sin 1lim x x x x x t t dt x x e →+−+−−∫ 2．计sin 3cos 4sin x dx x x
+∫ 3．计算2200501tan dx x
π
+∫ 4．设()f x 在点二阶可导，且0x =()011cos lim x f x x
→=−，求，和
的值。

()0f ()0f ′()0f ′′5．设()(),z f x y x y g x ky =−+++，f ，g 具有二阶连续偏导数，且，
如果0g ′′≠22222222z z z 4f x x y y
∂∂∂′′++≡∂∂∂∂，求常数k 的值。

二． （本题满分20分）
在某平地上向下挖一个半径为R 的半球形池塘，若某点泥土的密度为
2
2r R e ρ=，其中r 为此点离球心的距离，试求挖此池塘需作的功。

三 （本题满分20分）
判别级数(
)111.n n
∞=−∑的收敛性 四 （本题满分20分）
证明对任意连续函数()f x ，有 ()(){}
1
12211max sin ,cos 1x x f x dx x f x dx −−−−−∫∫≥ 五 （本题满分15分）
对下列函数()f x ，分别说明是否存在一个区间[],a b ，，使(0a >)()[]{}[]{},,f x x a b x x a b ∈=∈，并说明理由。

()()21133f x x =
+2 ()()12f x x = ()()131f x x =−
六（本题15分） 设()f x 在[]1,1−上二阶导数连续，证明()()()112133xf x dx f f ξξξ−′′′=+∫。