四川省隆昌市第一中学2024届九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

数学
本试卷分为A卷和B卷两部分。

A卷满分100分；B卷满分60分。

全卷满分160分，考试时间120分钟。

A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。

2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

）
1、中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则2024的相反数是（A）
A、B、C、D、
2、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5（）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响。

用科学记数法可表示为（　C　）
A、B、C、D、
3、下列运算中，正确的是（D）
A、B、
C、D、
4、下列图形一定是轴对称图形但不是中心对称图形的是（C）
A、矩形
B、菱形
C、正三角形
D、圆
5、下列说法正确的是（C）
A、打开电视，它正在播天气预报是不可能事件
B、要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查
C、在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，说明甲的射击成绩比乙稳定
6、在2024年体育中考中，某班乙学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为（A）
成绩（分）272830
人数231
A、28，28，1
B、28，27.5，1
C、3，2.5，5
D、3，2，5
7、函数中，自变量x的取值范围是（B）
A、B、且C、D、且
8、在“双减政策”的推动下，我市某中学学生每天书面作业时长明显减少，2023年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2023年下学期和2024年上学期两次调整后，2024年上学期平均每天书面作业时长为70min ，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（　C ）
A 、
B 、
C 、
D
、
9、实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ D ）A 、
B 、
C 、
D
、
10、如图，在中，，将绕点A 逆时针旋转，点B 经过的路
径为BD ，则图中阴影部分的面积为（　D ）
A 、
B 、
C 、
D
、
11、如图，把放在直角坐标系内，其中
，
，点A 、B 的坐标分别为（1，
0），（4，0）。

将点C 落在直线
上时，线段BC 扫过的面积为（ C ）
A 、4
B 、8
C 、16　
D 、
12、
如图，抛物线
与x 轴交于A
（
，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点
在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）。

则下列四个结论：①不等式
的解集为或；②
；③一元二次方程
的两个根分别为
，
；
④
.正确的个数有（ B ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）13、分解因式：
；
答案：
第9题图
第10
题图
第11题图
第12题图
第15题图
②P 2
B
C 第16题图
A
P 1
P 3
③
①
14、我们定义一种新的运算：，则不等式的解集为 ；
答案：
或
15、如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且
，
，、
、
的面积分别为S ，
，
，若
，则
；
答案：48
16、如图，在直角三角形
中，
，并且AC 在直线l 上，将绕点A 顺时针旋
转到位置①处，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②处，得到点
，…，按此规律
继续旋转，知道得到点
为止（
，
，
…在直线l 上），则
.
答案：8093
三、解答题（本大题共5小题，共44分。

解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17、（本小题两个小题，每个小题4分，满分8分）（1）计算：
答案：
解原式（2）
先化简，再从
，0，2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值
代入求值。

答案：
解原式
∵，∴x 取0
当时，原式
18、（本小题满分8分）如图，在四边形ABCD 中，的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长
线于点E
（1）求证：；
（2）若BF 恰好平分，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形。

答案：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴，
，
∴∵AE 平分∴
D
B
E F
C
A
∴
∴
∴
（2）∵BF 恰好平分，
∴
∵
∴，
∴（AAS）
∴
∴四边形ACED是平行四边形
19、（本小题满分9分）某中学决定举办校园艺术节，学生从A：书法、B：绘画、C：声乐、D：器乐、E：舞蹈五个项目中选择一项报名参加，为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图。

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图求出他们选中同一种乐器的概率。

答案：解：在这次调查中，一共抽取学生：
故答案为：100
（2）C：“声乐”人数为：（人）
补全条形统计图
（3）在扇形统计图中，“声乐”
类对应扇形圆心角的度数为：
5 0
10%
D
B
E
C
A
5 0
10%
D
B
E
C
A
D
B E
F
C
A
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为F 、G 、H 、Q
共有16种情况，其中小东和小颖选中同一种乐器有4种则刚好抽到同性别学生的概率是
20、（本小题满分9分）某数学综合实践小组开展“利用无人机测量两楼之间的水平距离”的实践活动。

过程如下：
测量方案：如图，无人机停留在两楼AB 、CD 同一平面内上方的点O 处，分别测得楼AB 底部点A 处的俯角；顶部B 处的俯角，楼CD 顶部D 处的俯角，以及楼AB 、CD 的高度。

测量收集：测得
米，
，
，
解决问题：求楼AB 与CD 之间的水平距离AC 的长（结果精确到1m ，，）
答案：解：连接BD ，则四边形ABDC 是矩形∴过点O
作于F 交BD 于点E
则，，
米
设（米）
∵∴，
，
∴（米）∴（米），
米
∴∴∴（米）
∴
（米）
答：楼AB 与CD 之间的水平距离AC 的长75米。

21、（本小题满分10分）如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比
例函数
的图象交于点P ，作
轴，垂足为B ，
（1）求m 的值；
Q
G
F G H Q G
F F
H Q
G
F H H Q
G
F Q
H
（2）点M 是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接PM.
①连接OP，OM ，若，求点M的坐标；
②过点M 作交AP的延长线于点D ，若，求点M的坐标。

答案：解：（1）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C
，
当，，解得：
∴点P坐标为（6，4）
把点P（6，4）代入得：，解得：
（2）①如图，过点M 作轴于点N
对于，当时，，当时，
∴点A 坐标为（，0），点C坐标为（0，1）
∵，点P坐标为（6，4）
∴，
∴
∵
∴
由（1）得：反比例函数的解析式为：
设点M的坐标为（a ，），则，
∵
∴
即
解得：或（舍去）
∴点M的坐标为（24，1）
②如图，过点P 作过交BP的延长线于点G ，作于点H ∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∵，
∴∵∴（AAS ）∴，
设D （t ，）
∴，∴，∴M （
，
）
∵点M 在反比例函数的图象上的一点
∴解得：
，
∵点M 在点P 的右侧∴点M 坐标为（12，2）
B 卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。

）22、已知
，
是关于x 的一元二次方
程
的两个实数根，且
，则
；
答案：
23、已知非负实数a 、b 、c 满足，设的最大值为m ，最小值为n ，则
的值为
；
答案：
24、
如图，在中，，，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上，点D
是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD
，当
时，则
的最小值是
；
答案：
第24题图
A
F
N
M
第25题图
E
D
B C
A
25、如图，菱形ABCD中，，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使
AB的对应线段EF经过顶点D，当时，的值为.答案：
二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分、解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26、一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系式，下表记录的是某三周的相关数据。

x（元/件）405060
y（件）1000095009000
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件。

若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请求出m的取值范围。

答案：解：（1）设y与x的函数关系式为：
把，和，代入得：
解得：
∴
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件。

若某一周该商品的销售量不少于6000件，则
解得：
设利润为w元，根据题意得：
∵
∴当时，w随x的增大而增大
∵
∴当时，w取最大值为：（元）
（3）根据题意得：
∵对称轴为直线
∵
∴当时，w随x的增大而增大
∵商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，对称轴为，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，……149时利润一直增大
只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了
∴解得
∵
∴
27、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC、AF.
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，，求的值和线段PE的长。

答案：证明：连接OB
∵PB为⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴即OP垂直平分AB
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴直线PA是⊙O的切线
（2）线段EF、OD、OP
之间的等量关系为：
理由如下：∵，∴∽
∴
∴
∵
F P
F P
∴
（3）解：连接AE ，如图∵AC 是直径∴
∵OD 垂直平分AB ∴∴设
，则
∵OD 垂直平分AB ∴∴∴
∴在中，∴
解得：
∴，，
在中，∴
28、如图，已知直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线经过A 、C 两点，且与x 轴
的另一个交点为B ，对称轴为直线
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）D 是第二象限内抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时D 点的坐标；
（3）若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：解：（1）当时，；当时，，解得
∴C （0，4），A （，0）
∵对称轴为直线∴B （1，0）
设抛物线的解析式为：∴∴
F
P
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵C（0，4），A （，0），B（1，0）∴，，
过点D
作于F，交AC于E，如图
设D（m ，），则E（m ，）
∴
∴
∵
∴
∴当时，
当时，
∴D （，5）
（3）存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵B（1，0），C（0，4）
∴
设P（1，），如图，直线与x轴交于点P ，则
∴点P与点B关于y轴对称
∴
∴是等腰三角形，P （，0）
延长BC 交直线于点
∵
∴，
∵
∴
∴
∵B、C 、三点在同一条直线上
∴不存在以B、C 、三点为顶点的等腰三角形
如图，，且点在x轴的上方
∵
∴
解得：，
∴
如图，，且点在x 轴的下方，设直线与x轴交于点H ∵
∴
∴
如图，
∵
∴，解得：
∴
综上所述，P 点坐标为（，0）或或或。