四川省眉山办学共同体2018_2019学年高二数学上学期1月考试试题理

眉山一中办学共同体2020届第三期12月月考试题
数学（理科）
第I 卷（选择题）
一、选择题：（共60分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．经过点(3-，2)，倾斜角为60°的直线方程是（ C ）
A ．)3(32-=
+x y B ．)
3(33
2+=-x y
C ．)3(32+=-x y
D ．)3(3
3
2-=
+x y
【解析】 由点斜式可知直线方程为 【答案】
tan 60k ==
)23y x -=+C
2．平面内动点到定点的距离之和为6，则动点的轨迹是（ C ） P 12(3,0),(3,0)F F -P A. 双曲线 B. 椭圆 C.线段 D.不存在
3．方程y ＝ax ＋表示的直线可能是(　B )
1
a
4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为(　D )
A ．－2
B ．－
C. D ．2 14314
5
【解析】　由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 答案　D
5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 2
5
C （
D ）
A. B. C. D. x y 41±
=x y 3
1
±=x y ±= x y 2
1±
=6．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
l m n 、、αβγ、、①若，则； ,,,,l l m n m n αβαβα⊂=⊂/ ∥∥l n ∥②若，则；
,αγβγ⊥⊥αβ∥③若是两条异面直线，且，则； ,m n ,,,l m l n n m αβ⊥⊥⊂⊂αβ∥l α⊥④若，则； ,,,,l m n l m l n αββ⊂⊂⊂⊥⊥αβ⊥其中正确命题的序号是( A )
A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④
7．若动点分别在直线：和：上移动，则
),(),(2211y x B y x A ∥011=-+y x 2l 01=-+y x 中点的轨迹方程为（ D ）
AB M A ． B ． C ． 06=--y x 06=++y x 06=+-y x D ．
06=-+y
x
8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为(　C )
A.
B. C. 1102510
30
D. 2
2解析　方法一　由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1， 可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，则可得A (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,1,2)，N (0,1,2)， ∴＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)． BM → AN →
∴cos 〈，〉＝
＝＝＝
. BM → AN →
BM → ·AN →
|BM → ||AN →
|－1＋4(－1)2＋(－1)2＋22×02＋12＋2236×53010
方法二　通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解． 如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN
B 1
C 1B
D ，因此有ND BM ，则ND 与1
2
NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝，AN ＝，AD ＝， 655因此cos ∠AND ＝＝.
ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA
30109．已知圆，点是圆内的一点，过点的圆的最短2
2
2
:r y x O =+)0(),,(≠ab b a P O P O 弦在直线上，直线的方程为，那么直线满足（ ）
1l 2l 2
r ay bx =-2l A ．且与圆相交 B.且与圆相切 21//l l O 21l l ⊥O C ．且与圆相离 D.且与圆相离
21//l l O 21l l ⊥O
10．已知直线y =﹣2x +1与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中
)0(122
22>>=+b a b
y a x 点在直线x ﹣4y =0上，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由A 、B 在椭圆上：
+=1， +=1，
两式相减，得： + =0，
∴k AB =
=﹣×，
由题意可知：，解得：，则线段AB 的中点（，），则：
x 1+x 2=，y 1+y 2=，
∴k AB =﹣
=﹣2， 即:
=2， ∴a 2=2b 2，
∴椭圆的离心率e ===，故选D ．
11．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1， 且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上， 则·的最小值为(　B ) PD → PB 1→
A. B ．－ C. D ．－ 52141452
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)， 设P (0,0，z )，则＝(1,0,2－z )，＝(0,1,3－z )，
PD → PB 1→
∴·＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝(z －)2－， PD → PB 1→
5214故当z ＝时，·取得最小值为－.
52PD → PB 1
→ 14
12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，
21,F F 14:22
1=+y x C 2C 分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩
B A ,21,
C C 21BF AF 形，则的离心率是 (
D ) 2C
A. B. C.
D.232
3
2
6
第II 卷（非选择题）
二、填空题（共20分，每小题5分） 13．过点
且平行于直线
的直线方程为____
_____．
14．若变量满足约束条件则的最大值是__7__．
,x y 420,0x y x y x y +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥≥⎩
=z 2x y +15．若直线y ＝kx ＋1与曲线x ＝有两个不同的交点，则
k
的取值范围是_________．
1－4y 2
解析：由x ＝，得x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，
1－4y 2又∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y 轴右侧的部分有两个公共点，
当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k ＝－，则相交时k ＜－.
323
2
答案：(－∞，－)
3
216．如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ，，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB
(0,
2
π
θ∈在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为_________．
解析　因为＝＋＋，____
AD → AB → BC → CD →
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
AD → AB → BC → CD → AB → CD → AB → BC → BC → CD →
＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以||＝，即AD 的长为.
AD →
3－2cos θ3－2cos θ三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（本题满分10分）已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为
ABC ∆A (2,0)-B
，顶点在x 轴上．
C （1）求边所在直线的方程； （2）求直线的斜边中线所在的直线的BC ABC ∆
方程．
【答案】（1； （2）直角的斜边中线的0y +-=ABC ∆OB
方程为．
y =
（2）∵l BC ，点在坐标轴上，
0y +-=C 由，得：，即， 斜边的中点为， 0y =2x =(2,0)C ∴AC (0,0)故直角的斜边中线为（为坐标原点），
ABC ∆OB O
设直线，代入，得
:OB y kx =
B k =直角的斜边中线的方程为．
∴ABC ∆OB y =18．（本题满分12分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，
1F 2F )0,0(122
22>>=-b a b
y a x 焦距为，渐近线方程为.
6x y 2±=(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的长度.
2F 30 A B AB 解：（1）由题意：； ⇒⎪⎩⎪
⎨⎧==262a
b c ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==632
2
b a 22136x
y -=（2）由双曲线的方程得：，， 1(30)F ,-2(30)F ,所以直线AB 的方程为，
3)y x =
-将其代入双曲线方程消去y 得，，解之得.
25627
0x x +-
=1293
5
x ,x =-=将代入①，得，故,，
12x
,x 12y y =-=-(3A ,--9(5B ,-故AB =19．（本小题满分12分）已知线段AB 的端点B 的坐标，端点A 在圆()1,3()2
2:14C x y ++=上运动，C 为圆心．
（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；
（2）过B 点的直线l 与圆有两个交点M 、N . 当CM CN 时，求l 的斜率．
C ⊥解：（1）设动点M ，端点A ，则有: (),x y ()00,x y 000
012123232
x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨
+=-⎩⎪=⎪⎩ 代入圆中得到：
()22
00:14C x y ++=()2
2223:423412C x y x
y ⎛⎫+-=
⇒+-= ⎪⎝
⎭（2）设直线l 的方程为：，
3(1)y k x -=-由CM CN 知：点C 到直线l , ⊥，
()()2
22223212127
0k k k
k ⇒-=+⇒-+=．
∴3k ==20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距xOy P (0,离之和等于4．设点的轨迹为．
P C (1)求曲线C 的方程； (2)设直线与交于两点，若，求1y kx =+C A B 、OA OB ⊥
k
的值.
解：（1）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知:
点P 的轨迹C 是以、为焦点，a =2，c
=的椭圆. (0,
3短半轴1,b =
=
故曲线C 的方程为14
2
2
=+y x . 4分
（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足221,4 1.
y x y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得:2
2
(4)2k x kx ++—3=0，(*) 6分 故1212
2223
,.44
k x x x x k k +=
=-++ 若,OA OB ⊥
即12120.x x y y += 则:
22
121222233210,444
k k x x y y k k k +----+=+++， 10分
化简得2
410,k -+=所以1.
2k =± 满足(*)中，故为所求. 12分
0∆>1
2
k =±21.（本题满分12分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥
AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．
(1)
证明：B 1C 1⊥CE ；
(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；
(1)证明　如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，
E (0,1,0)．
易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝
B 1
C 1→
CE → B 1C 1→ CE → 0，所以B 1C 1⊥CE .
(2)解　＝(1，－2，－1)．
B 1
C →
设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则Error!即Error!消去x ，得y ＋2z ＝0，
不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．
B 1
C 1→
于是cos 〈m ，〉＝＝＝－，从而sin 〈m ，〉＝，
B 1
C 1→ m ·B 1C 1
→
|m |·|B 1C 1→
|
－414×
2277B 1C 1→ 217所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为.
21
7
22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1、F 2，
)0(122
22>>=+b a b
y a x 右顶点为E ，过F 1与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交，其中一个交点为M (，)． 3-2
1
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过定点（1，0）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，直线AE 、BE 的斜率为
k 1、k 2（k 1≠0，k 2≠0），证明：k 1•k 2为定值．
【解】（1）由已知中过F 1于x 轴垂直的直线与椭圆C 相交，其中一个交点为M （﹣
，）．
可得：c =
，
=，a 2﹣b 2=c 2，解得：a =2，b =1，
∴椭圆C 的方程为：
；
【证明】（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵直线l 过定点（1，0），设x =my +1，
由
得：（m 2+4）y 2+2my ﹣3=0， ∴y 1+y 2=，y 1y 2=
，
∵右顶点为E （2，0）， ∴k 1•k 2=
•
=
===﹣，∴k1•k2为定值；。