河北省武邑中学2017届高三下学期第一次质检考试理数试题Word版含解析

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 若复数（其中，为虚数单位）的实部与虚部相等，则（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】A
【解析】∵，且复数的实部与虚部相等，
∴，得，故选A.
3. 在等差数列中，若，，则的值是（）
A. -5
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵数列为等差数列且，∴等价于，
故，，故选B.
4. 已知双曲线的一条渐近线为，则它的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线的一条渐近线为，得，
故，故选A.
5. 将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为（）
A. 120
B. 150
C. 55
D. 35
【答案】D
6. 若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得：，∵不等式成立的必要条件是，
∴，故，故选A.
7. 在区间内随机取两个实数，则满足的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足的区域为图中阴影部分，面积为
∴满足的概率是，故选D.
点睛：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题；该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可.
8. 如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 如图，，分别是函数的一段图象与两条直线
，的两个交点，记，则图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】C
10. 已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是（）
A. 20
B. -20
C. 540
D. -540
【答案】D
【解析】根据程序框图，得初始值：；第一次循环：；
第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，
∵，跳出循环，输出，∴二项式的通项为：
，令，得，
∴展开式中的常数项是，故选D.
11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得，从而可得的周长
，确定B点横坐标的范围，即可得到结论.
12. 设函数在上存在导数，，有，在上，若
，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，∵，
∴函数为奇函数，∵时，，
故函数在上是减函数，故函数在上也是减函数，
由，可得在上是减函数，
∴
，
∴，∴，解得：，故选A.
点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题；令
，由，可得函数为奇函数，利用导数可得函数在上是
减函数，，即，可得，由此解得的范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为__________．
【答案】
14. 在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是
__________．
【答案】
15. 对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列
的前项的和）为它的各项的和，记为，即，则循环小数的分数形式是
__________．
【答案】
【解析】，故答案为.
点睛：本题通过新定义对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义
（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，“新定义”问题，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的分数形式主要是将其转化为等比数列的和，只要能正确运用这一特征，问题就能迎刃而解.
16. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意
都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道．给出下列函数：
①；②；③；④．其中在区间上通道宽度可以为1的函数有__________．（写出所有正确的序号）
【答案】①③④
考点：新概念问题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在中，已知，，且．
（1）求角的大小和边的长；
（2）若点在内运动（包括边界），且点到三边的距离之和为，设点到的距离分别为，试用表示，并求的取值范围．
【答案】（1）;（2）．
【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出，然后利用余弦定理求得的长；（2）利用三角形的面积相等用，表示，然后利用线性规划知识求得的取值范围.
试题解析：（1）因为，所以，
即．
解得：或；
又因为，所以；
18. 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）众数：8．6；中位数：8．75;（2）．
（3）所以的分布列为：
．
（3），的可能取值为0,1,2,3，
∵，
∴，
，
，
．
所以的分布列为：
．另解：．
19. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角的正弦值为．求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析;（2）．
（2）由（1），平面的一个法向量是，，设直线与平面所成的角为，
∴，解得，
∵，
∴，即．
设平面的一个法向量为，，，
由，，
∴，不妨令，则，
∴，
显然二面角的平面角是锐角，
∴二面角的余弦值为．
点睛：本题只要考查了空间向量在立体几何中的应用之证明面面垂直、二面角平面角的向量求法，难度中档；主要是通过直线的方向向量互相垂直即向量的数量积为0，得到线面垂直，由线面垂直得到面面垂直；直线的方向向量与平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，大多数情况下是根据图形判断该角的范围.
20. 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于两点，且点的坐标为，点是椭圆上的任意一点，点满足，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点的轨迹方程；
（3）当三点不共线时，求面积的最大值．
【答案】（1）;（2）;（3）的面积最大值，点为或．
，．
由，得，
即．①
同理，由，得．②①×②得．③
由于点在椭圆上，则，得，
代入③式得．
当时，有，
当，则点或，
此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程，点的轨迹方程为．
21. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若，存在两个极值点，试比较与的大小；（3）求证：．
【答案】（1），没有极大值;（2）见解析.
（2），，
，
，，
由，
，设，当时，，
设
当时，，，
在上递减，，
即恒成立．
（3）当时，恒成立，即恒成立，
设，即，∴．
∴，，，…，．
∴，
∴，∴．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形是圆内接四边形，的延长线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析;（2）．
（Ⅱ）由条件得. 6分
设，根据割线定理得，
即
所以，解得,即. 10分
考点：1、相似三角形；2、割线定理.
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上的点，是曲线上的点，求的最小值．
【答案】（1）见解析;（2）．
∵是曲线的点，是曲线上的点，
∴的最小值等于到直线的距离的最小值．
设，到直线的距离为．
则．
∴的最小值为．
点睛：本题主要考查了曲线的参数方程与直角坐标方程之间的互化以及曲线的极坐标方程与普通方程之间的互化，在互化过程中主要利用消参法以及利用，，实现互化的；在该题中还涉及转化为点到直线的距离公式，利用二次函数配方求最值的思想.
24. 选修4-5不等式选讲
已知是常数，对任意实数，不等式都成立．
（1）求的值；
（2）设，求证：．
【答案】（1）;（2）见解析;
考点：1.绝对值不等式的性质；2.不等式的证法；3.基本不等式.。