抽象函数专题

抽象函数技巧总结

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知

识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求解析式：

1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式

或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 (

)211

x f x x =++,求()f x .

解析式

求：已知变解析式

求：已知变解析式（求：已知变解析式求函数已知函数：变)(,3)2(lg 4.1)(,12)1(3.1),1)11(2.1)(,11)11(1.12

2

x f x x f x f x e f x f x x f x f x x x x f x =++=-+=+-+-=+-

2. 配凑法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利

用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知2211()f x x x

x

+=+，求()f x 变2.1：已知3311()f x x x x +=+，求()f x

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知

系数。

例3． 已知()f x 为一次函数，解析式，求)(64))((x f x x f f +=:

变3.1： 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

4. 方程组法

解析式求：设例)(,4)1(2)(34x f x x

f x f =+

解析式求：若变解析式求：设变)(,32)1(2)1(32.4)(,1)(2)(1.42x f x x f x f x f x x

x f x f +=-+--=

-+

5. 利用函数奇偶性:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

变5.1：若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x ≥0时，函数

f(x)的解析式．

变5.2：.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

变5.3：已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x .

6. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 )(1)1(,2

1)()1()(2.6)(,332)(2)()(,1.6)(),12()()(,,1)0()(622x f f x f x f x f x f y x y xy x y f y x f x f y x x f y x y x f y x f y x f R x f ，求及且满足条件的定义域为自然数集，：设变的解析式

求都满足，函数：对任意实数变解析式

求有并且对任意实数上的函数，且满足是：设例=+=+*-+-++=++--

=-=

二.求定义域

____

)(log )1()1(],7,2[2(2.1____

)(],9,3[)1(1.1____

)3(],4,1[)(122定义域为则）定义域为：已知变定义域为则定义域为：已知变定义域为则定义域为：已知例x f x f x f x f x f x f x f x f --⋅++++

的定义域求）的定义域为（：函数例)2(,1,2

1)(2x f x f 的定义域求的定义域为：函数变))2

1((],8,5[)2(1.2x f x f - _____

)(log ]2,1[)2(2.3____)(log ]3,2[)1(1.3____

)(log ],3,2[)(33

12

12定义域为，则定义域为：变定义域为：，则定义域为：变定义域为：则定义域为：例x f f x f x f x f x f x ----

三．证明抽象函数单调性

1、线性函数型抽象函数（y=kx+b ）

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，

f （x ）＞0，f （－1）＝－2，

(1) 证明f(x)为奇函数

(2) 证明f(x)为R 上的增函数

(3) 求f （x ）在区间[－2，1]上的值域

变1：已知函数f （x ）对任意

，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且

当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，

（1）证明f(x)为R 上的增函数

（2）求不等式

的解集。

2、指数函数型抽象函数

例2、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在

，使得，对任何x 和y ，成立。求： （1）f （0）；

（2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负

（3）若对于任意x>0，都有f(x)>1,试判断并证明f(x)的单调性

3.对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例3：设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的函数，对任意实数x,y 满足

，且当x>1时，y>0

求：（1）f （1）；

(2) 证明f(x)为增函数

(3) 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。

4.幂函数型抽象函数

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例4.已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，

f （27）＝9，当时，。

（1）判断f （x ）的奇偶性；

（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若

，求a 的取值范围。

四．抽象函数奇偶性的判断、证明、解不等式

例1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝

2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是

减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．

练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x ≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m 的

取值范围．

例2：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，

求实数m 的取值范围．

____0)()(,0)1(0)(3的解集为则不等式）上为增函数，且，在（：设奇函数例<--=∞+x

x f x f f x f _____

0)2(),0(4)()(12的解集为则满足上的奇函数：设定义在变>->-=x f x x x f x f R 变2：已知()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，则()G x 必定为（ ）

A.增函数且为奇函数

B.增函数且为偶函数

C.减函数且为奇函数

D.减函数且为偶函数

_____)0](,[,1

22)(1____

)(0,2)2()()(4223之和为与最小值上的最大值则在：已知函数变之和为最大值与最小值）中心对称，则图像关于（，：已知例m M a a a x x x x f x f x g m x g x f >-+++=-+=____

0,)(502)()())((3____

)(,5)(,3)(23）内的最小值为在区间（，则的最大值为）上，在区间（（上的奇函数，且均为），：已知变则已知：若变∞-∞+++==-=++=x F x bg x af x F R x g x f m f m f bx ax x f