北京市房山区高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合A={x|x2＜4}，B={0，1}，则（）
A. A∩B=∅
B. A∩B=A
C. A∩B=B
D. A=B
2.执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a值为（）
A. 7
B. 8
C. 12
D. 16
3.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心坐标为（）
A. （1，）
B. （-1，）
C. （0，1）
D. （1，0）
4.已知为单位向量，且的夹角为，，则=（）
A. 2
B. 1
C.
D.
5.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全
等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，
则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）
A.
B.
C.
D. 1
6.设a为实数，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，
则a的取值范围是（）
A. （-∞，2）
B. （-∞，e）
C. （2，e）
D. （e，+∞）
8.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日
自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）
A. 2.2天
B. 2.4天
C. 2.6天
D. 2.8天
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为______．
10.若x，y满足则x+2y的最大值为______．
11.在△ABC中，已知BC=6，AC=4，，则∠B=______．
12.已知点A（-2，0），B（0，2），若点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则△ABP
面积的最小值为______．
13.函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{a n}满足，
①函数f（x）是增函数；
②数列{a n}是递增数列．
写出一个满足①的函数f（x）的解析式______．
写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式______．
14.已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称．
设集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：
①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S；
②若（0，2）∈S，则S中至少有4个元素；
③S中元素的个数一定为偶数；
④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知函数．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围．
16.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果．某地水果批发市场销售来自5个不同产
地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
（Ⅰ）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于160元的概率；
（Ⅱ）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，
①从产地A，B共抽取n箱，求n的值；
②从这n箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X表示来自产地B的箱数，求
X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）产地F的富士苹果明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）．设今年苹果的平均批发价为每箱M1元，明年苹果的平均批发价为每箱M2元，比较M1，M2的大小．（只需写出结论）
17.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以
AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面POF；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．
19.已知函数．
（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求m的取值范围．
20.若数列{a n}满足：，且a1=1，则称{a n}为一个X数列．对于一
个X数列{a n}，若数列{b n}满足：b1=1，且，则称{b n}
为{a n}的伴随数列．
（Ⅰ）若X数列{a n}中a2=1，a3=0，a4=1，写出其伴随数列{b n}中b2，b3，b4的值；
（Ⅱ）若{a n}为一个X数列，{b n}为{a n}的伴随数列．
①证明：“{a n}为常数列”是“{b n}为等比数列”的充要条件；
②求b2019的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，
B={0，1}，
∴A∩B=B．
故选：C．
求出集合A，B，由此能求出A∩B=B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：若a=1，b=2，则a＞6否，a=2，a＞6否，a=4，a＞6否，a=8，a＞6是，输出a=8，
故选：B．
根据程序框图，进行模拟运算即可．
本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】D
【解析】【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程转化为直角坐标方程，求出坐标即可．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于基础题．
【解答】
解：圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，其圆心（1，0），
点（1，0）的极坐标为（1，0），
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：为单位向量，且的夹角为，，
可得||||cos=1，
解得=2．
故选：A．
直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
5.【答案】C
【解析】解：该多面体为一个三棱锥D-ABC，是正方体的
一部分，
如图1所示，
其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，
S△BCD==，S△BAD=S△ACD==，
S△BCA=
所以．该三棱锥的四个面的面积中最大的是：．
故选：C．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解该三棱锥的四个面的面积中最大面积即可．
本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．
6.【答案】A
【解析】解：若，则a＞0，即成立，
当a＜0时，满足但不成立，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．7.【答案】B
【解析】解：在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，
当g（x）=ln x向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，就不存在关于y轴对称的点，
所以0＜a＜e，
当g（x）=ln x向平移a（a＜0）个单位长度，总存在关于y轴对称的点，
当a=0时，显然也满足题意，
所以a＜e，
故选：B．
在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，观察图象得出结论．
本题考查函数图象上点的对称问题，数形结合是解题的切入点，属于中档题目．
8.【答案】C
【解析】解：设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．
莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为B n．则A n=，B n=，
由题意可得：=，化为：2n+=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故选：C．
设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞的长度组成等
比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】-1
【解析】解：∵=，
∴复数z的虚部为-1．
故答案为：-1．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】10
【解析】解：由x，y满足作出可
行域如图，
联立，可得A（2，4），
化目标函数z=x+2y为y=-+，
由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴
上的截距最大，z有最大值为2+2×4=10．
故答案为：10．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：∵BC=6，AC=4，，
∴由正弦定理，可得：sin B===，
∵AC＜BC，
∴可得：B为锐角，可得：B=．
故答案为：．
由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，属于基础题．
12.【答案】4
【解析】解：∵点A（-2，0），B（0，2），若点P在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，∴AB的直线方程为+=1，即x-y+2=0．
圆心C（3，-1）到直线AB的距离为d==3，
则△ABP面积的最小值为|AB|•（d-）=•2•2=4，
故答案为：4．
先求出AB的方程，求出圆心C到直线AB的距离，用此距离减去半径乘以，即为所
求．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
13.【答案】f（x）=x2
【解析】解：由题意，可知：
在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）=x2．
第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：
．
则这个函数在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
∴在[1，+∞）上不是增函数，不满足①．
而对应的数列为：在n∈N*上越来越大，属递增数列．
故答案为：f（x）=x2；．
本题第一个填空很简单，可用到常用的函数f（x）=x2；第二个填空要考虑到函数和对应的数列增减性不同去思考．
本题主要考查对常用函数的增减性的熟悉以及函数和数列对应的增减性的一点区别，本题属中档题．
14.【答案】①②④
【解析】解：①若（1，2）∈S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）∈S，关于x轴对称的点（2，-1）∈S，关于y轴对称的点（-2，-1）∈S；故①正确，
②若（0，2）∈S，关于x轴对称的点（0，-2）∈S，关于y=x对称的点（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此时S中至少有4个元素；故②正确，
③若（0，0）∈S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；
④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}关于y对称的集合为{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，
{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，关于y=x对称的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S，成立，故④正确，
故正确的命题是①②④
故答案为：①②④
结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，结合图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）由cos x≠0，得．
∴函数的定义域是；
（Ⅲ）
..==．
∵，即，∴，
∴，得1．
∴函数f（x）在上的取值范围为（1，2]．
【解析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x=0求解；
（Ⅱ）由分式函数的分母不为0即可求得函数定义域；
（Ⅲ）把已知函数解析式变形，再由x的范围求得相位的范围，则函数值域可求．
本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
16.【答案】（本小题13分）
（Ⅰ）设事件A：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于160 元”．由题意可得：P（A）=0.15+0.25+0.20=0.6 ……………．（3分）
（Ⅱ）（1）A地抽取20×15%=3；B地抽取20×10%=2
所以n=3+2=5……………………..（5分）
（2）X的可能取值0，1，2，
，
………………..（8分）
所以X的分布列为
………………（10分）
（Ⅲ）M1＜M2…………（13分）
【解析】（Ⅰ）设事件A：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于160 元”．利用互斥事件的概率的和求解即可．
（Ⅱ）（1）A地抽取20×15%=3；B地抽取20×10%=2，推出n的值．
（2）X的可能取值0，1，2，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
（Ⅲ）利用已知条件判断M1，M2的大小．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
17.【答案】证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
E是CD中点，
所以DA=DE即PA=PE，
又F为AE的中点，所以PF⊥AE，
又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
PF⊂平面PAE，
所以PF⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，
所以PF⊥BC，
由F，O分别为AE，BC的中点，易知FO∥AB，所以OF⊥BC，
所以BC⊥平面POF，
（Ⅱ）：过点O做平面ABCE的垂线OZ，
以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系O-xyz
则，
∴，
设平面PBC的法向量为，
由得，令z=3得，
，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值，
（Ⅲ）在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．证明如下：
点M在线段PE上，设则，
==+λ=（-1-λ，-1-λ，（1-λ）），
若AM∥平面PBC，则，
由得，
解得λ=2∉[0，1]
所以在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．
【解析】（I）证明PF⊥平面ABCE可得PF⊥BC，结合BC⊥OF可得BC⊥平面POF；（II）建立空间坐标系，计算平面PBC的法向量，通过计算法向量与的夹角得出线面角的正弦值；
（III）设设，令=0，计算λ的值得出结论．
本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意：，解得：a=2，
c=1
所以b2=a2-c2=3，
所以椭圆的方程是．
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0）F（1，0）设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=-1．
则直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），，设直线AM 的方程为，
由得：
因为x=-2是方程的根，
所以，．
同理可得．
当，即时，可得
又F的坐标为F（1，0）所以P，F，Q三点共线；
当，即，时，
，
所以k QF=k PF所以P，F，Q三点共线，
综上所述P，F，Q三点共线
【解析】（Ⅰ）根据离心率和|AF|=3，可得a=2，c=1，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，表示出P，Q坐标，求出直线PF，QF的斜率，判断即可
本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系，考查直线的斜率问题，是一道综合题．
19.【答案】解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=-x lnx，f′（x）=-ln x-1，
所以f（1）=0，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是y=-x+1；
（Ⅱ）“函数f（x）的图象在x轴的上方”，等价于“x＞0时，f（x）＞0恒成立”．由得f′（x）=（2mx-1）ln x+2mx-1=（2mx-1）（ln x+1），
①当m≤0时，因为，不合题意；
②当0＜m≤1时，令f′（x）=0得显然；
令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得，
所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，
当时，mx2-x＜0，ln x＜0，所以，
只需，所以，
所以．
【解析】（Ⅰ）求得m=0的f（x）解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）“函数f（x）的图象在x轴的上方”，等价于“x＞0时，f（x）＞0恒成立”．求得f（x）的导数，讨论m的范围，讨论单调性，可得最小值，解不等式，可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】（Ⅰ）解：，，；
（Ⅱ）①证明：充分性：若X数列{a n}为常数列，
∵a1=1，∴，
∴，
又∵b1=1≠0，∴其伴随数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列；
必要性：（方法一）假设数列{b n}为等比数列，而数列{a n}不为常数列，
∴数列{a n}中存在等于0的项，设第一个等于0的项为a k，其中k＞1，k∈N*，
∴，得等比数列{b n}的公比．
又，得等比数列{b n}的公比，与q=1矛盾．
∴假设不成立．
∴当数列{b n}为等比数列时，数列{a n}为常数列．
综上“{a n}为常数列”是“{b n}为等比数列”的充要条件；
②解：当a n=1，a n+1=1时，．
当a n=1，a n+1=0时，b n+1=b n．
当a n=0，a n+1=1时，．
当a n=0，a n+1=0时，b n+1=0．
综上，或，或0，又由题意可知b n≥0，
∴．
∴．
当数列时，．
b2019的最大值为．
【解析】（Ⅰ）直接由已知与数列递推式求b2，b3，b4的值；
（Ⅱ）①充分性，由X数列{a n}为常数列，推出；必要性，利用反证法证明；
②当a n=1，a n+1=1时，．当a n=1，a n+1=0时，b n+1=b n．当a n=0，a n+1=1时，
．当a n=0，a n+1=0时，b n+1=0．由此可得，或，或0，又由题意可知b n≥0，得到．证得．当数列
时，求得b2019的最大值为．
本题考查数列递推式，考查充分必要条件的判定，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．。