高三数学二轮复习第一部分基础送分题题型专题三平面向量教师用书理

题型专题(三) 平面向量
(1)在平面向量化简或运算中，要根据平面向量根本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接〞，结果向量是第一个向量起点指向最后一个向量终点所在向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点〞，结果向量方向是指向被减向量．
[题组练透]
1．(2021·河北三市联考)e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，假设
a ∥
b ，则m
n
等于( )
A ．－12 B.1
2
C ．－2
D ．2
解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，
解得m n ＝－2.
2．(2021·唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，M 为BC 中点，则＝( )
3．(2021·广州综合测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝6，假设
(m ，n ∈R )，则m n
＝ ( )
A ．－3
B ．－13 C.1
3
D ．3
解析：选A 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，
∴m n ＝1
－13
＝－3.
4．(2021·杭州综合测试)设P 是△ABC 所在平面内一点，且则△PAB 与△PBC
面积比值是( )
A.13
B.12
C.23
D.34 解析：选B ∵∴＝21，又△PAB 在边PA 上高与△PBC 在边PC 上高相等，∴
S △PAB
S △PBC
＝＝12
.
[技法融会]
1．平面向量线性运算2种技巧
(1)对于平面向量线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，严密结合图形几何性质进展运算．
(2)在证明两向量平行时，假设两向量坐标形式，常利用坐标运算来判断；假设两向量不是以坐标形式呈现，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．
2．(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(1)两个向量数量积是一个数量，而不是向量，它值为两个向量模与两向量夹角余弦乘积，其符号由夹角余弦值确定．
(2)求非零向量a ，b 夹角，一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
先求出夹角余弦值，然后
求夹角．
(3)向量a 在向量b 方向上投影为a ·b
|b |
＝|a |cos θ(θ为两向量夹角)． [题组练透]
1．(2021·全国丙卷)向量
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，32，＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12， 所以·＝
34＋34＝32
. 又因为
·
＝|
||
|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝
32，所以cos ∠ABC ＝3
2
. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.
2．(2021·合肥质检)不共线两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝〔a －b 〕2
＝|a |2
－2a ·b ＋|b |2
＝|b |＝2，选项B 正确．
3．(2021·重庆二测)设单位向量e 1，e 2夹角为2π
3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a
方向上投影为( )
A ．－332
B ．－ 3 C. 3 D.332
解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12，|a |＝〔e 1＋2e 2〕2＝e 21＋4e 2
2＋4e 1·e 2
＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 2
2＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上投影为a ·b |a |＝
－
9
23
＝－332，选A.
4．(2021·天津高考)△ABC 是边长为1等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 中点，连接
DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则
·值为( )
A ．－58 B.18 C.14 D.118
5．(2021·长春质检)向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2
＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
a －t
b |b |取值范围是________．
解析：由题意，b
|b |＝(0，1)，根据向量差几何意义，⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
a －t
b |b |表示同起点向量t b
|b |终点
到a 终点距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
a －t
b |b |取值范围是[1，13 ]．
答案：[1，13 ] [技法融会]
1．平面向量数量积运算2种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模基底进展转化；
(2)利用坐标来计算，向量平行和垂直都可以转化为坐标满足等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．
2．(易错提醒)两个向量夹角范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π情况，如两个向量夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．
一、平面向量与其他知识交汇
平面向量具有代数形式与几何形式“双重身份〞，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量“位置〞为：一是作为解决问题工具，二是通过运算作为命题条件．
[新题速递]
1．向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 函数f (x )＝－2x 3
＋3|a |x 2
＋6a ·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π 解析：选D 设向量a ，b 夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3
＋3|a |x 2
＋6a ·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2
＋6|a |x ＋6a ·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以
Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a ·b )≤0，解得a ·b ≤－1
4
|a |2，因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ，且
|a |＝2|b |≠0，所以|a ||b |cos θ＝12|a |2·cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－1
2，因为θ∈[0，
π]，所以向量a ，b 夹角θ取值范围是⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2π3，π，应选D.
2．(2021·广东茂名二模)向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，假设x ，y 均为正数，则3x ＋2
y
最小值是( )
A ．24
B ．8 C.83 D.5
3
解析：选B ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×1
3(2x ＋3y )
＝13(6＋9y x ＋4x y ＋6)≥13⎝
⎛
⎭
⎪⎫
12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y B.
[技法融会]
这两题考察是平面向量与函数、不等式交汇．第1题由函数性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量知识得到关于x 和y 一个等式，再利用根本不等式求解．
二、新定义下平面向量创新问题
近年，高考以新定义形式考察向量概念、线性运算、数量积运算频率较大，其形式表达了“新〞．解决此类问题，首先需要分析新定义特点，把新定义所表达问题本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题关键所在．
[新题速递]
1．向量a 与b 夹角为θ，定义a ×b 为a 与b “向量积〞，且a ×b 是一个向量，它长度|a ×b |＝|a ||b |sin θ，假设u ＝(2，0)，u －v ＝(1，－3)，则|u ×(u ＋v )|等于( )
A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 3
解析：选D 由题意v ＝u －(u －v )＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos 〈u ，u ＋v 〉＝
3
2
，得sin 〈u ，u ＋v 〉＝12，由定义知|u ×(u ＋v )|＝|u |·|u ＋v |sin 〈u ，u ＋v 〉＝2×23×1
2＝
2 3.应选D.
2．定义平面向量一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |×|a －b |×sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 夹角，给出以下命题：①假设〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2
＋b 2
；②假设|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ·b ；③假设|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2
；④假设a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题序号是________．
解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝|a ＋b |×|a －b |＝a 2
＋b 2
，所以①成立；②中，因为|a |＝|b |，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90°，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a |×|2b |＝4|a ||b |，所以②不成立；③中，因为|a |＝|b |，所以a ⊙b ＝|a ＋b |×|a －b |×sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |×|a －b |≤|a ＋b |2
＋|a －b |2
2＝2|a |2
，所以③成立；④中，因为a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，
所以a ＋b ＝(－1，4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋b )⊙b ＝35×5×33434＝4534
34，
所以④不成立．
答案：①③ [技法融会]
此类题目是新定义下平面向量运算，破题关键是把此定义运算转化为我们所学平面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题切入口．
一、选择题
1．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .假设b ⊥c ，则实数k 值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.32
解析：选A 因为c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－3
2
.
2．(2021·山西四校联考)|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 夹角为( ) A.
π6 B.π4 C.π3 D.2π
3
解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，
b 〉＝
22，∴〈a ，b 〉＝π4
. 3．A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足
则以下结论正确是( )
4．(2021·贵州模拟)假设单位向量e 1，e 2夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )，且|a |＝32，
则λ＝( )
A ．－12 B.32－1 C.12 D.3
2
解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ
2
＋λ＋14＝0，解得λ＝－1
2
，选项A 正确．
5．(2021·湖南六校联考)设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，假设a ⊥b ，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13 B.1
3
C ．－1
D ．0
解析：选B 由可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝
tan α－11＋tan α＝1
3
，应选B. 6．向量a ，b ，c 中任意两个向量都不共线，但a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D ∵a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，∴可设a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μ a ，两式作差整理后得到(1＋λ)c ＝(1＋μ)a ，∵向量a ，c 不共线，∴1＋λ＝0，1＋μ＝0，即λ＝－1，
μ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.应选D.
7．(2021·山西质检)a ，b 是单位向量，且a ·b ＝－1
2.假设平面向量p 满足p ·a ＝p ·b ＝
1
2
，则|p |＝( ) A.1
2
B ．1 C. 2 D ．2 解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b ＝12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
2，y ＝32，
∴|p |＝
x 2＋y 2＝1，应选B.
8．(2021·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，假设
(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(1， 2 ]
D ．(－1，0) 解析：选B 由题意可得
(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所
以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1
k
>1，即λ＋μ取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．
9．(2021·江西赣南五校联考)△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，假设
则向量
方向上投影为( )
A.12
B.32
C ．－12
D ．－32
解析：选A 由
可知O 是BC 中点，即BC 为△ABC 外接圆直径，所以
由题意知
＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所
以向量
方向上投影为|
|cos ∠ABC ＝1×cos 60°＝1
2
.应选A.
10．△ABC 中，
D 为边BC 中点，则||等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
11．在平面直角坐标系中，点A 与B 关于y 轴对称．假设向量a ＝(1，k )，则满足不等式
点A (x ，y )集合为( )
A ．{(x ，y )|(x ＋1)2
＋y 2
≤1} B ．{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤k 2} C ．{(x ，y )|(x －1)2
＋y 2
≤1} D ．{(x ，y )|(x ＋1)2
＋y 2
≤k 2
}
解析：选C 由A (x ，y )可得B (－x ，y )，则＝(－2x ，0)，不等式可化
为x 2
＋y 2
－2x ≤0，即(x －1)2
＋y 2
≤1，应选C.
12．(2021·广州五校联考)Rt △AOB 面积为1，O 为直角顶点，设向量
则
最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选A 如图，
设A (m ，0)，B (0，n )，∴mn ＝2，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，＝a ＋2b ＝(1，2)，
＝
(m －1，－2)，
＝(－1，n －2)，
＝5－(m ＋2n )≤5－22nm ＝1，当且仅当m ＝2n ，
即m ＝2，n ＝1时，等号成立．
二、填空题
13．(2021·兰州模拟)m ∈R ，向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－6)，且a ⊥b ，则|a －b |＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2m －6＝0，m ＝3，∴a －b ＝(1，7)，∴|a －b |＝1＋49＝5 2. 答案：5 2
14．a ，b 是非零向量，f (x )＝(a x ＋b )·(b x －a )图象是一条直线，|a ＋b |＝2，|a |＝1，则f (x )＝________.
解析：由f (x )＝a ·b x 2
－(a 2
－b 2
)x －a ·b 图象是一条直线，可得a ·b ＝0.因为|a ＋b |＝2，所以a 2
＋b 2
＝4.
因为|a |＝1，所以a 2
＝1，b 2
＝3，所以f (x )＝2x . 答案：2x
15．(2021·合肥质检)等边△ABC 边长为2，假设＝3
，
则
＝
________.
答案：－2
16．(2021·福州模拟)非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，
则
|c |
|a |最大值为________． 解析：设
＝a ，
＝b ，则＝a －b .∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形．设
＝c ，则
＝c －a ，
＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π
3
，
∴点C 在△ABC 外接圆上(如下图)，∴当OC 为△ABC 外接圆直径时，|c ||a |取得最大值，为
1
cos 30°＝23
3
.
答案：233。