第5章 数字滤波器的基本结构 - 海南大学 Hainan University

M
bi z i
1
N
i0
1 a j z j
j 1
H1
(z)

W X
(z) (z)
j 1
w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k M ]
y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
优点：
1.运算速度快 2. 各基本节的误差互不影响 3. 可以单独调整极点的位置
缺点:
不能向级联型那样直接调整零点
[例]已知某三阶数字滤波器的系统函数为
3 5 z 1 2 z 2
H(z)
33
(1 1 z 1)(1 1 z 1 1 z 2 )
3
22
试画出其直接型、级联型和并联型结构。
z 1

a2
z 1
a N 1 z 1
z 1
bN
aN z 1
直接 II 型结构
x[k]
x[k]
a1
a1
z 1
z 1


aa2 2
z 1
z 1
aaNN1z1z1 1
aaNN zz1 1
b0
z 1
b1b0
b1
z 1 b2b2 z1
Kp Kp
e
f p
[k
]
y[k ]
Kp
z 1
Kp
ebp [k] yb[k]
e
f p
[k
]
反射系数
e
b p
[k
]
AZ系统的基本格形单元
反射系数Kp的确定
根据系统函数，由高阶系数递推各低阶反射系数Kp
K p a p ( p)
a p1(i)

a p (i)
Kpap
1

K
2 p
(p
i)
(i 1,2,, p 1)
对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型 结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构。
二、IIR数字滤波器的级联型结构
将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为 一阶和二阶实系数因子之积的形式
M1
M2
(1 zk z 1) (1 1,k z 1 2,k z 2 )
第5章 数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器的基本结构 FIR数字滤波器的基本结构 格型结构
IIR数字滤波器的基本结构
直接型结构 级联型结构 并联型结构
一、IIR数字滤波器的直接型结构
Y (z)
M
bi z i
H2(z) W (z)
H(z)
i0 N
1 a j z j
直接型
将系统函数H(z)表达为
3 5 z1 2 z2
H(z)
33
1 1 z1 1 z2 1 z3
63 6
x[k ]
3
y[k ]
z 1 1/ 6
5/3
z 1 1/ 3
2/3
z 1 1/ 6
级联型
将系统函数H(z)表达为一阶、二阶实系数分式之积
H(z)
L
H (z) h[0] (1 1,k z 1 2,k z 2 )
k 1
h[0]
x[k]
y[k]
z 1
11
z 1
12
z 1
1L
z 1
21
z 1
22
z 1
2L
2L=M个延迟器，2L+1=M+1个乘法器，2L=M个加法器 特点：可以分别控制每个子系统的零点
N为奇数
H (z)

1 zN N
H[0]
1

z
1

H[N / 2] 1 z 1

N 21

2 H[m] H m (z)
m1

N为偶数 其中
H (z) 1 z N N
H[0]
1

z
1
( N 1) 2

2 H[m] H m (z)
m1

N1 H[m] m01 WNm z 1
FIR子系统—梳状滤波器
zk e j2πk / N , k 0, 1,, N 1
一阶IIR子系统
pk e j2πk / N , k 0, 1,, N 1
零点与IIR子系统极点相消，使系统具有FIR特性
频率取样型结构分析
存在问题：
k 0
i0
z 1
z 1
x[k]
b0
b1
b2
z 1
bM 1
bM
h[0]
h[1]
h[2]
h[M1] h[M] y[k]
M+1个乘法器，M个延迟器，M个加法器
二、线性相位FIR DF结构
利用h[k]的对称特性： h[k]= ±h[Mk]
M为偶数
x[k]
H (z)

M 1 2
h[k](z k
y[k ]
K1
K1 e1b[k ]
z 1 e0b[k ]
e
f p
[k
]
e
b p
[k
]
Kp Kp
epf1[k ]
z 1
e
b p
1[k
]
AP系统的基本格型单元
三、有极点和零点滤波器的格型结构
x[k
]

e
f p
[k
]
e
f p
1[k
]
e
f p2
[k
]
e
b p
[k
]
第p阶
e bp1[k ]
H (z) K k1
k 1
N1
N2
(1 pk z 1) (1 1,k z 1 2,k z 2 )
k 1
k 1
二阶基本节
H(z)
A
L

1

1,i
z
1
2,i z 2
i11 1,i z 1 2,i z 2

L
A Hi (z)
01 z 1 11 z 1
1L 2L
0L z 1 1L z 1
y[k] x[k]
0
01
11
z
1

11
z
1

21
0L
1L
z 1 1L
z
1

2L
y[k ]
基于直接II型的并联型结构 基于转置直接II型的并联型结构
IIR数字滤波器的并联型结构优缺点
1
1

z
1

1 1 WN11z 1

1 1 WN(N1 1) z 1

由H[N1]= H[1]=1，和 WN(N1) WN1
H (z)

1 z (N 1) N 1

1
1

z
1
Байду номын сангаас


2 2 cos( 2 )z 1
k 0
x[k]
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
z 1 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 3] h[ M 1]
2
2
相同系数的共用乘法器，只需(M+1) /2个乘法器
三、 FIR 数字滤波器的级联型结构
将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘
K p1

a p1( p
1)

ap(p
1) K pa p (1)
1

K
2 p
二、全极点（AP）滤波器的格型结构
x[k
]

e
f p
[k
]
Kp
e pf1[k ] K p1
e
f p2
[k
]
Kp
z 1 K p1
z 1
e
b p
[k
]
ebp1[k ]
e1f [k] e0f [k ]

z (M k) )

h[ M
M
]z 2
k 0
2
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 1] 2
h[ M ] 2
相同系数的共用乘法器，只需M/2+1个乘法器
M 1
2
H (z)M为奇h数[k](z k z (M k) )
z
1

1L
2L
z
1

2L
基于转置直接II型的级联型结构
y[k ] y[k ]
IIR数字滤波器的级联型结构优点
优点： 1. 硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用 2. 每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极点 3. 对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直
接型低
三、IIR数字滤波器的并联型结构
1
3 5 z1 2 z2 3 3
1 1 z1 1 1 z1 1 z2
3
22
x[k ]
3
y[k ]
1/ 3
z 1
1 / 2 z1 5 / 3
1 / 2 z1 2 / 3
并联型
将系统函数H(z)表达为部分分式之和的形式
H(z) 2
1 z 1
1 1 z 1 1 1 z 1 1 z 2
b z 1 bN N
y[k ]
y[k ]
转置直接 II 型结构
x[k]
b0
y[k ]
b1 z 1
a1
b2 z 1 z 1
bN z 1
a2

aN

1
aN
IIR数字滤波器的直接型结构优缺点
优点：简单直观 缺点：
1. 改变某一个{ak }将影响所有的极点 2. 改变某一个{bk }将影响所有的零点 3. 对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象
将滤波器系统函数H(z)展开成部分分式之和，并 将一阶系统仍采用二阶基本节表示
L
H(z) 0
k 1
0,k 1,k z 1 1 1,k z 1 2,k z 2
画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。
并联型结构信号流图
x[k ]
0
11 21
第 p-1阶
e bp2 [k ]
e1f [k]
e0f [k]
第1阶
e1b [k ]
e0b [k ]
cp
c p1
c p2
c1
图中的方框是如下基本格型单元
c0 y[k]
e
f p
[k
]
e
b p
[k
]
Kp Kp
epf1[k ] z 1 ebp1[k ]
i1
画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联。
级联型结构信号流图
x[k] A
11 21
z 1 11 z 1 21
1L 2L
z 1 1L z 1 2L
基于直接II型的级联型结构
x[k] A
11 21
z 1 11 z 1 21
1L
N 1
1 2 cos( 2 )z 1 z 2
N 1

实系数频率取样型结构流图
x[k] zN
1/N y[k]
1
z1
1
2 cos( 2 ) z1
N
1
z1 2 cos( 2 )
N
优点：1. H[m]零点较多时，实现较为简单。
2. 可以构成滤波器组，实现信号的频谱分析。
四、 FIR 数字滤波器的频率取样型结构
H (z)
1 zN N
N 1 H[m] m01 WNm z 1
H[0] 1/N
x[k]
y[k]
zN
W N0
z 1
H[1]
W
1 N
z 1
H[N1]
W
( N
N
1)
z 1
频率取样型结构分析
H (z)
1 zN N
直接 I 型结构
设M=N w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k N ] y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
x[k]
b0
w[k]
y[k ]
z 1
b1
a1
z 1
z 1
b2
3
22
2
1/ 3
z 1
y[k ]
x[k ]
1/ 2 1/ 2
1 z 1 1 z 1
FIR数字滤波器的基本结构
直接型结构 线性相位直接型结构 级联型结构 频率取样型结构
一、 FIR 数字滤波器的直接型结构
M阶FIR 数字滤波器
M
M
H (z) h[k]z k bi z i
AZAP滤波器
n1
p
H (z) m0 bm z m B(z)
A(z) A(z)
一、全零点(AZ)滤波器的格型结构
x[k ]
e0f [k]
e1f [k] K1
z 1 e0b [k ]
K1 z1 e1b [k ]
epf1[k ]
ebp1[k ]
z 1
e2f [k] K2 K2 e2b [k ]
格型结构
全零点(AZ)滤波器的格型结构 全极点（AP）滤波器的格型结构 有极点和零点滤波器的格型结构
三种滤波器的系统函数
全零点(AZ)滤波器 p A(z) 1 a p (n)z n n1
全极点(AP)滤波器
H(z) 1
1
A(z)
p
1 a p (n)z n
在有限字长情况下，系数量化后极点不能和零 点抵消，使FIR系统不稳定。
解决方法：
在r圆上进行(r<1但近似等于1)取样，即用rz1 代替 z1，使极点和相应的零点移到单位圆内。
H (z)

1 r N zN N
N 1 H[m] m01 rWNm z 1
实系数频率取样型结构
利用H[m]和旋转因子的对称性，将二个复系数IIR 一阶子系统合并成一个实系数二阶子系统。
cos([m]) z 1 cos([m] 2m)
Hm (z)
N
1 2z 1 cos(2m) r 2 z 2
N
例：设计一M阶实系数FIR，已知H[0]=1，H[1]=1， 画出其频率取样型结构。
解：频率抽样点数N=M+1
H (z)

1 z (N 1) N 1