课时作业2：2.1.3 超几何分布

2.1.3超几何分布
一、基础达标
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为
()
A.C34C248
C552 B.
C348C24
C552
C．1－C148C44
C552 D.
C34C248＋C44C148
C552
答案 D
解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X
＝4)＝C34C248
C552＋
C44C148
C552.
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是
()
A.1
50 B.
1
25 C.
1
825 D.
1
4 950
答案 C
解析记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝C24C096
C2100＝
1
825.
3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2
个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222
C226的是
()
A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
答案 B
解析本题相当于至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
4．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至
多有1本语文课本的概率是5
7，则语文课本的本数为
( )
A ．2本
B ．3本
C ．4本
D ．5本 答案 C
解析 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且
P (X ＝k )＝C k m C 2－k 7－m
C 27
(k ＝0,1,2)．
由题意，得
P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27
＋C 1m C 17－m
C 27
＝12×(7－m )(6－m )21＋m (7－m )21＝57.
∴m 2－m －12＝0， 解得m ＝4或m ＝－3. 即7本书中语文课本有4本．
5．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________． 答案 2
3
解析 设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为N ＝10，M ＝6，n ＝3的超几何分布，且
P (X ＝k )＝C k 6C 3－k
4
C 310
(k ＝0,1,2,3)
故所求概率为
P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)
＝C 26C 14C 310＋C 36C 04C 310
＝60120＋20120＝23.
6．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m＋2n＝1.2，则m－n
2的值为________.
答案0.2
解析由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，
可得m－n
2＝0.2.
7．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝k)＝C k6C3－k
4
C310(k＝0,1,2,3)．
P(X＝0)＝C06C34
C310＝
1
30，P(X＝1)＝
C16C24
C310＝
3
10，
P(X＝2)＝C26C14
C310＝
1
2，P(X＝3)＝
C36C04
C310＝
1
6.
所以X的分布列为
(2)
1 2＋1
6＝
2
3.
二、能力提升
8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以7
10为概
率的事件是
() A．都不是一等品B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品
答案 D
解析P(都不是一等品)＝C22
C25＝
1
10，
P(恰有一件一等品)＝C13·C12
C25＝
6
10，
P(至少有一件一等品)＝1－1
10＝
9
10，
P(至多有一件一等品)＝1－C23
C25＝
7
10.
9．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于
()
A.3
10 B.
7
10 C.
21
40 D.
7
40
答案 D
解析“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故
P(X＝3)＝A27C13
A310＝
7×6×3
10×9×8
＝
7
40，选D.
10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____________(用式子表示)．
答案C13C397＋C497
C4100
解析二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台．
11．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率．
解(1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝C34
C36＝
1
5；
P(X＝1)＝C24C12
C36＝
3
5；
P(X＝2)＝C14C22
C36＝
1
5.
∴X的分布列为
(2)设“
P(C)＝C34
C36＝
1
5.
∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－1
5＝
4
5.
12．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．
解由题意得X取3,4,5,6，
且P(X＝3)＝C35C04
C39＝
5
42，P(X＝4)＝
C25C14
C39＝
10
21，
P(X＝5)＝C15C24
C39＝
5
14，P(X＝6)＝
C34
C39＝
1
21，
所以X的分布列为
13．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
解(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝
C35C12C12C12
C310＝2 3.
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝C22C12＋C12C22
C310＝
1
30；
P(X＝3)＝C24C12＋C14C22
C310＝
2
15；
P(X＝4)＝C26C12＋C16C22
C310＝
3
10；
P(X＝5)＝C28C12＋C18C22
C310＝
8
15.
所以随机变量X的概率分布列为
(3)“
则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝2
15＋
3
10＝
13
30.。