北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习培优测试卷A(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习培优测试卷A （附答案详解）
1．已知关于x 的方程20x px q -+=的两个根分别是0和2-，则p 和q 的值分别是（ ）
A ．2p =-，0q =
B ．2p =，0q =
C ．12p =，0q =
D ．12
p =-，0q =
2．关于 x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+3x+m 2﹣1=0 的一根为 0，则 m 的值是（ ） A ．±1 B ．±2 C ．﹣1 D ．﹣2
3．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在本世纪的前20年（2001～2020年），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为（ ）．
A ．（1+x ）2=2
B ．（1+x ）2=4
C ．1+2x=2
D ．（1+x ）+2（1+x ）=4
4．若关于x 的一元二次方程()20a x m b ++=的解是123,1x x =-=，（a ，b ，m 均为常数，a≠0），则方程()220a x m b +-+=的解是（ ）
A ．125,1x x ==
B ．123,7x x =-=-
C ．123,1x x ==-
D ．121,5x x =-=- 5．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠．下列论断：()1若0a b c -+=，
则它有一根为1-；()2若它有一根为c -，则一定有1ac b -=-；()3若2b a c =+，则它一定有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则
A ．2m =±
B ．2m ≠±
C ．m=–2
D ．m=2
7．将方程23610x x +-=配方，变形正确的是（ ）
A ．2(31)10x +-=
B ．2(31)20x +-=
C ．23(1)40x +-=
D ．2 3(1)10x +-=
8．将方程x 2+4x ＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )
A ．9
B ．1
C ．6
D ．4
9．我们解方程3x 2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A ．函数思想
B ．数形结合思想
C ．公理化思想
D ．转化思想
10．关于x 的方程2m(x h)k 0(m ++=，h ，k 均为常数，m 0)≠的解是
1x 3=-，2x 2=，则方程2m(x h 3)k 0+-+=的解是（ ）
A ．1x 6=-，2x 1=-
B ．1x 0=，2x 5=
C ．1x 3=-，2x 5=
D ．1x 6=-，2x 2=
11．有一个矩形铁片，长是30cm ，宽是20cm ，中间挖去2144cm 的矩形，剩下的铁框四周一样宽，若设宽度为xcm ，那么挖去的矩形长是________cm ，宽是
________cm ，根据题意可得方程________．
12．在实数范围内因式分解2243=x x +- _____________.
13．已知关于x 的方程x 2﹣kx ﹣6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为_____．
14．请写出一个根为x 1=，另一个根满足2x 1-<<的一元二次方程________．
15．关于x 的一元二次方程（x ﹣2）2=k +2有解，则k 的取值范围是_____．
16．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2＋x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝______．
17．一元二次方程x 2=4x 的根是_____．
18．一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改进后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为________．
19．已知关于x 的方程()()2
m 1x 2m 1x m 10-+-++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
20．一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于2160cm ，则两个正方形的边长分别为________．
21．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃ABCD ．设花圃的一边AB 为()x m ．
()1则BC =________（用含x 的代数式表示）
，矩形ABCD 的面积=________（用含x 的代数式表示）；
()2如果要围成面积为263m 的花圃，AB 的长是多少？
()3将()1中表示矩形ABCD 的面积的代数式通过配方，问：当AB 等于多少时，能够使矩形花圃ABCD 面积最大，最大的面积为多少？
22．解方程:
(1)(3x +8)2-(2x -3)2=0;
(2)2x 2-6x +3=0.
23．（1）不解方程，求方程5x 2﹣1=2x 的两个根x 1、x 2的和与积；
（2）求证：无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根． 24．计算题
；
；
；
．
25．已知|a －1|＋2b +＝0,求方程a x ＋bx ＝1的解. 26．解方程： ()211(3)13
x +=； ()()22(21)327x x x -=+-． 27．已知m ，n 是一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求代数式2m 2＋4n 2－6n ＋1999的值．(提示：用根的定义和根与系数的关系来解)
28．某服装店销售一批衬衫，每件进价
元，开始以每件元的价格销售，每星期能卖出
件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件．
已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利
元，应把售价定为多
少元？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可以计算出两根之和，两根之积，然后可以求出p，q的值．
【详解】
由题意知，x1x2=q=0，x1+x2=p=-2．
∴p=-2，q=0．
故选A．
【点睛】
本题考查对韦达定理（根与系数的关系）的简单运用，由于选项中q=0是确定的，所以只要考虑p就可以了，由p=-2即可确定．
2．C
【解析】
【分析】
把x=0 代入方程得到一个关于m 的方程，求出方程的解．
【详解】
解：把x=0 代入方程得：0+0+m2﹣1=0，解得：m=±1，
∵m﹣1≠0，
∴m=﹣1，故选C．
【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，解此题的关键是能理解一元二次方程的解的含义．
3．B
【解析】试题分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案．
解：设2000年生产总值为1，
则2020年的国民生产总值为22=4，
依题意得：2010年的国民生产总值=1×（1+x）=1+x，
则2020年的国民生产总值=（1+x）（1+x）=（1+x）2=4
∴（1+x）2=4．
故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
4．C
【解析】
【分析】
先根据题意求出x与a、b、m的关系及，进而将方程a（x＋m－2）2＋b＝0变形求出解即可.
【详解】
∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣3或1.
a（x＋m－2）2＋b＝0可变形为x＝2－所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的两根
分别为x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故选C.
【点睛】
此题考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
5．C
【解析】
【分析】
（1）与（2）根据方程的根的定义，代入方程分别把x＝−1和x＝−c代入检验即可；（3）将b＝a＋2c代入△中，再判断△与0的关系即可确定方程根的个数．
【详解】
（1）∵方程有一根为−1；
∴ax2＋bx＋c＝0可变形为a−b＋c＝0；所以（1）正确；
（2）∵方程有一根为−c；
∴a（−c）2＋b（−c）＋c＝0可变形为ac2−bc＋c＝0；化简得：c（ac−b＋1）＝0，
当c≠0时，ac−b＋1＝0，ac−b＝−1；
但是当c＝0时，上面的关系不一定成立，所以（2）不一定成立；
（3）∵b＝a＋2c，
∴△＝b2−4ac＝（a＋2c）2−4ac＝a2＋4c2；
∵a≠0；
∴△＝a2＋4c2＞0；
∴方程一定有两个不相等的实数根；所以（3）正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了方程的根的定义，方程解的个数的判定可以转化为判定判别式与0的大小关系．6．D
【解析】
m=2且m+2≠0，解得m=2．故选D．
根据一元二次方程的定义可得：||
7．C
【解析】
【分析】
首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【详解】
∵3x2+6x-1=0
∴3（x2+2x）-1=0
∴3（x2+2x+1-1）-1=0
∴3（x2+2x+1）-3-1=0
∴3（x+1）2-4=0
故选：C
【点睛】
先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．A
【解析】
【分析】
在方程两边都加上4，配方即可.
【详解】
解：∵245x x +=，∴44454x x ++=+，∴()229x +=，故选：A .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方法，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键. 9．D
【解析】
【分析】
由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可.
【详解】
题目中所给的解方程的方法叫因式分解法，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体现了转化的数学思想.
故选D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想.
10．B
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得方程m （x+h ）2+k=0的解x=﹣，则﹣
h ﹣3，﹣=2，再解方程m （x+h ﹣3）2+k=0得x=3﹣x 1=0，x 2=5．
【详解】
解方程()20m x h k ++=（,,m h k 均为常数）得 ，
∵关于x 的方程m （x+h ）2+k=0（m ，h ，k 均为常数，m≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，
∴，，
∵方程()230m x h k +-+=的解为， ∴x 1=3-3=0，x 2=3+2=5．
故选B.
【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，熟练运用直接开平方法解方程是解决本题的关键.
11．18 8 ()()302202144x x -⨯-=
【解析】
【分析】
设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据矩形的面积为2144cm ，
列出方程，解方程即可.
【详解】
设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据题意可得， （30-2x ）（20-2x ）=144
解得，x=6或19（19不符合题意，舍去）
∴挖去的矩形长是30-2×6=18cm ，挖去的矩形宽是20-2×6=8cm.
答：挖去矩形的长为18cm ，宽为8cm ．
故答案为：18；8；（30-2x ）（20-2x ）=144.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设宽为xcm ，用x 表示出挖去矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列方程是解决本题的基本思路.
12．2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】
当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x 2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．
【详解】
2x 2+4x-3=0的解是x 1=22-，x 2=-22
-，
所以可分解为2x 2+4x-3=2（）（）．
即: 2x 2+4x-3=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭.
故答案为: 2x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
求根公式法分解因式：ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），其中x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根．
13．1
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
【详解】
∵x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32-3k-6=0，解此方程得到k=1．
【点睛】
本题逆用一元二次方程解的定义易得出k 的值．
14．2x x 0-=
【解析】
【分析】
在-1＜x ＜1的范围内选取x 的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程即可．本题答案不唯一．
解：由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1，
∴方程可以为：x（x-1）=0，
化简，得x2-x=0
故答案为x2-x=0．（本题答案不唯一，符合要求即可）
【点睛】
本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．本题解法不唯一，答案也不唯一，只要符合要求即可．
15．k≥﹣2．
【解析】
【分析】
由于方程左边为非负数，则k+2≥0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2=k+2有解，
∴k+2≥0，
解得k≥-2．
故答案是：k≥-2．
【点睛】
考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
16．-1
【解析】
【分析】
根据韦达定理即可解题.
【详解】
∵x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根
∴x1+x2=-b
a
=-1
本题考查根与系数的关系,属于简单题.韦达定理的掌握是解题关键.
17．10x =，24x =．
【解析】
【分析】
移项并采用因式分解的方法解方程.
【详解】
解：移项得，240x x -=，
x(x-4)=0，解得x=0或4，
故答案为10x =，24x =.
【点睛】
本题考查了因式分解法解方程.
18．20%
【解析】
【分析】
设平均每次降价的百分率为x ，根据“原来的价格×（1-x ）
2=两次降价后的价格”列出方程，解方程即可.
【详解】
设平均每次降价的百分率为x ，
根据题意得：400（1-x ）2=256
解得：x=20%或x=1.8（舍去），
故答案是：20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平
均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±
x ）2=b ． 19．5m 4
<
且m 1≠ 【解析】
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根时，b2﹣4ac＞0且m﹣1≠0列出不等式，解不等式即可．【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4×（m﹣1）（m+1）＞0，解
得：m＜5
4
．
∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴实数m的取值范围是m＜5
4
且m≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20．12cm和4cm
【解析】
【分析】
可设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为644
4
x
-
cm，又因两个正方形
的面积和等于160cm2，则可列出方程求解即可．【详解】
设一个正方形的边长为xcm，
∵正方形的四边相等，
∴此正方形的周长是4xcm,另一个正方形的边长是644
4
x
-
cm，
根据题意得x2+(644
4
x
-
)2=160，
解得x1=12,x2=4.
当x=12时,644
4
x
-
=4；
当x=4时,644
4
x
-
=12，
所以另一个正方形的边长为4或12.
答：两个正方形的边长为12cm和4cm.
故答案为：12cm和4cm.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
21．（1）303x -，2330x x -+；（2）7；（3）当AB=5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．
【解析】
【分析】
（1）用总长减去与墙垂直的三条篱笆的长度的和即为BC 的长，然后利用长乘以宽即可求得面积；
（2）根据面积为63列出一元二次方程求解即可；
（3）配方后即可确定面积的最值及AB 的长．
【详解】
解：（1）BC =30﹣3x ，矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x ；
（2）当矩形ABCD 的面积为63时，﹣3x 2+30x =63，解此方程得：x 1=7，x 2=3，当x =7时，30﹣3x =9＜20，符合题意；
当x =3时，30﹣3x =21＞20，不符合题意，舍去；
∴当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．
（3）矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x =﹣3（x ﹣5）2+75．
∵（x ﹣5）2≥0，∴﹣3（x ﹣5）2≤0，∴﹣3（x ﹣5）2+75≤75．
∵0＜30﹣3x ≤20即：10103x ≤＜，∴当x =5时，满足10103
x ≤＜． 即当AB =5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．
【点睛】
本题考查了配方法的应用及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条件，合理地建立等量关系式，会根据等量关系列方程．
22．（1）x 1=-1,x 2=-11.（2）x 1=
32+,x 2【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.
【详解】
(1) (3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,
∴x +1=0或x +11=0,
∴x 1=-1,x 2=-11. (2) ∵a =2,b =-6,c =3, ∴b 2-4ac =36-24=12. ∴x =612623332242
±±±==⨯, ∴x 1=
332+,x 2=3-3. 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解方程时会根据所给的方程选择适当的方法解方程． 23．（1）x 1+x 2=
25，x 1x 2=﹣15；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出∆的值即可判断.
【详解】
（1）方程可化为5x 2﹣2x ﹣1=0，
∴x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15
； （2）方程可化为x 2﹣3x +2﹣p 2=0，
∴△=（﹣3）2﹣4（2﹣p 2）=4p 2+1＞0，
∴无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-
，12c x x a ⋅= . 24．
，；，，，；，
【解析】
【分析】
（1）先找a ，b ，c ，再求△，判断方程根的情况，代入求根公式计算即可．
（2）先移项，然后进行因式分解．
（3）提取公因式进行因式分解．
（4）先整理成一般式，然后进行因式分解．
【详解】
解：
∵，，，
，
∴，
，；；
，
，
或，
解方程得：，，；
，
或，
解方程得：，；．
整理得
，
或，
解方程得：，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程.
25．x1＝－1,x2＝1 2 .
【解析】
首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．解：由|a－1|2
b 0,得a＝1,b＝－2.
由方程1
x
－2x＝1得2x2＋x－1＝0,
解得x1＝－1,x2＝1 2 .
经检验,x 1＝－1,x 2＝12
是原方程的解. 点睛：本题考查非负数的性质和解分式方程.利用非负数的性质得出a 、b 的值是解题的关键.
26．(1)1 3x =-，23x =-(2)12x =，24x =．
【解析】
【分析】
【详解】
解：()1由原方程，得
2(3)3x +=，
直接开平方，得
3x +=
解得13x =-23x =-
()()22(21)327x x x -=+-，
22441327x x x x -+=+-，
2680x x -+=，
()()240x x --=，
解得12x =，24x =．
【点睛】
本题考查了学生解一元二次方程的能力，掌握配方法或者公式法解方程是解决此题的关键. 27．2011
【解析】
【分析】
根据方程的根的定义，把x=m ，x=n 分别代入方程，等式成立，然后将已知式子变形降次，结合根与系数的关系，得出结果．
【详解】
解：依题意有22
3,1,310,310,
m n mn m m n n +=⎧
⎪=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩ ∴2m 2＋4n 2－6n ＋1 999＝2(m 2＋n 2)＋2(n 2－3n)＋1999＝2[(m ＋n)2
－2]＋2×(－1)＋1999＝14－2＋1999＝2011
【点睛】
此题主要考查了方程的根的定义及根与系数的关系，将它们与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
28．应把售价定为185元或175元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率；
（2）根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价.
【详解】 解：设每次降价的百分率为，
解得，，（舍去），
即每次降价的百分率是
； 设店主将售价降价元，
解得，
， ∴，，
即应把售价定为
元或元. 【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.。