【附20套高考模拟试题】2020届安徽省泗县双语中学高考数学模拟试卷含答案

2020届安徽省泗县双语中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “对任意正整数n ，不等式()()lg 1lg 1an a n a a <+>都成立”的一个必要不充分条件是（）A ．0a >B ．1a >C ．2a >D ．3a >2．一个几何体的三视图如图所示，其轴截面的面积为6，其中正视图与侧视图均为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积为 （）A ．653πB ．654πC ．6512πD ．3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为( )A ．4B ．32．2D ．234．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题，假命题的是( ) A ．公差d<0B ．在所有S n <0中，S 13最大C ．满足S n >0的n 的个数有11个D ．a 6>a 75．在直三棱柱111A B C ABC -中，113A B =，114B C =，115AC =，12AA =，则其外接球与内切球的表面积之比为A ．294B ．192 C ．292 D ．296．记设，则（）A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+2C ．48D ．16322+8．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i9．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。

某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤疏散乘客时间(s)120220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．①B ．②C ．④D ．⑤10．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为3( )A 3B ．3C ．33D ．33±11．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-312．设实数，满足不等式组则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若不等式13222ax x ---+≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.14．在中，内角，，C 的对边分别为，，，，，，平面内有一点满足，则线段________.15．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c c =且222sin sin A B +1sin sin sin 2sin 22A B A B =,则a b +的范围是__________．16．已知P 为双曲线221x y -=右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u r u u u u r__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，其中点D 在以AB 为直径的圆上，3SD =，7SC =，24AB AD ==，平面SCD ⊥平面ABCD .证明：SD ⊥平面ABCD .设点P 是线段SB （不含端点）上一动点，当三棱锥P SAC -的体积为1时，求异面直线AD 与CP 所成角的余弦值.18．（12分）按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[0.081,0.081]-内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8计算上述10件产品的误差的平均数x 及标准差s ；①利用（1）中求的平均数x ，标准差s ，估计这批产品的合格率能否达到96%；②如果产品的误差服从正态分布2(0,0.0405)N ，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少.（附：若随机变量x 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.683P x μσμσ-<≤+≈，()220.954P x μσμσ-<≤+≈，()330.997P x μσμσ-<≤+≈.100.954用0.6277，100.997用0.9743分别代替计算）19．（12分）记公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，4a 是2a 与8a 的等比中项．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．20．（12分）已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，数列{}n b 满足：112b a =，11n n b b a +-=.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．（12分）已知a ＞0，函数f （x ）=-2asin （2x+π6）+2a+b ，当x ∈[0，π2]时，-5≤f （x ）≤1．求常数a ，b 的值；设g （x ）=f （x+π2）且lg g （x ）＞0，求g （x ）的单调区间．22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，6AD BD ==，62AB =，E 是棱PC 上的一点.证明：BC ⊥平面PBD ； 若//PA 平面BDE ，求PEPC的值；在（2）的条件下，三棱锥P BDE -的体积是18，求D 点到平面PAB 的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．13-14．715．432,⎛⎤ ⎥⎝⎦ 16．1-三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）详见解析；（2）277. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，由勾股定理可得SD CD ⊥，再根据面面垂直的性质可得SD ⊥平面ABCD ；（2）设BP BS λ=，则123P ABC ABC V S SD λλ-∆=⋅=，由221P SAC S ABC P ABC V V V λ---=-=-=，解得12λ=，即点P 是线段SB 的中点. 取AB 的中点为M ，连接CM ，可证明四边形AMCD 为平行四边形，从而//CM AD ，且2CM AD ==，可得PCM ∠为异面直线AD 与CP 所成角（或补角），再利用余弦定理可得结果. 【详解】（1）连接AC ，BD ，因为点D 在以AB 为直径的圆上，所以90ADB ∠=︒. 因为24AB AD ==，所以30ABD ∠=︒，60DAB ∠=︒. 所以cos 4cos3023BD AB ABD =∠=⨯︒=因为ABCD 为等腰梯形，//AB CD ， 所以12cos6042222CD AB AD =-⋅︒=-⨯⨯=. 又因为3SD =7SC =所以222SD CD SC +=，从而得SD CD ⊥.又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，所以SD ⊥平面ABCD .（2）由（1）得1112332S ABC ABC V S SD AC BC SD -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=， 设BP BS λ=，则123P ABC ABC V S SD λλ-∆=⋅=，所以221P SAC S ABC P ABC V V V λ---=-=-=，解得12λ=， 即点P 是线段SB 的中点.取AB 的中点为M ，连接CM ，则由（1）及条件得//AM CD ，且2AM CD ==， 所以四边形AMCD 为平行四边形，从而//CM AD ，且2CM AD ==， 所以PCM ∠为异面直线AD 与CP 所成角（或补角）.因为SA =2PM =.因为SB ==222cos 2SB BC SC PBC SB BC +-∠==⋅， 所以22272cos 4CP PB BC PB BC PBC =+-⋅⋅∠=，所以222cos 2MC PC PM PCM MC PC +-∠==⋅，即异面直线AD 与CP . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定及面面垂直的性质定理，异面直线所成的角，属于难题. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.18．（1）0x =，0.05s =（2）①见解析；②0.3723P = 【解析】 【分析】（1）由题中的数据和平均数、方差的计算公式可得所求．（2）①由（1）中计算得0μ=，0.05σ=，可得()22P x μσμσ-<<+ (0.10.1)0.9540.96P x =-<<≈<，进而可得合格率不能达到96%．②根据条件求出每件产品为合格品的概率是()220.954P x μσμσ-<<+≈，由对立事件的概率可得有不合格产品的概率为1010.9540.3723P =-≈． 【详解】 （1）()10.020.0200.050.0400.10.0100.1010x =-++-+--++=．()22222210.0220.050.040.010.120.002510s =⨯++++⨯=， 所以0.05s =．（2）①由（1）中计算得0μ=，0.05σ=，所以()22P x μσμσ-<<+ (020.05020.05)(0.10.1)P x P x =-⨯<<+⨯=-<<． 因为在0.10.1x -<<内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品， 而(0.10.1)0.9540.96P x -<<≈<， 所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%． （2）因为产品重量的误差服从正态分布()20,0.0405N ，所以0μ=，0.0405σ=，又22x μσμσ-<<+即为0.0810.081x -<<，所以每件产品合格的概率为()220.954P x μσμσ-<<+≈，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为1010.95410.6277P =-≈-0.3723=．【点睛】本题主要考查概率、统计中的计算问题和正态分布的应用，考查应用所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确理解题意，并将实际问题转化为概率问题求解．解答本题时由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性． 19．（I ）2n a n =；（II ）1n n T n =+ 【解析】 【分析】（I ）由等差数列的性质列式求得公差，则通项公式可求；（II ）由（I ）写出等差数列的前n 项和，取倒数，再由裂项相消法求解． 【详解】（I ）由已知2428a a a =⋅，得()()2(23)227d d d +=++又0d ≠，解得：2d =()2212n a n n ∴=+-=（II ）由（I ）得，()()12212n n n S n n n -⨯=+=+()111111n S n n n n ∴==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．20． (1) 2nn a = , 21n b n =- (2) n T 1(23)26n n +=-⨯+【解析】 【分析】(1)先由2510a a =，()2125n n n a a a +++=，求出等比数列{}n a 的通项公式；然后由11n n b b a +-=可知数列{}n b 为等差数列，又由112b a =，即可确定其首项和公差，从而可得{}n b 的通项公式; (2)由可先出{}n c 的通项公式，再由错位相减法即可求其前n 项和. 【详解】（1）对于数列{}n a ，()()29111111125n n na q a q a q a qa q -+⎧=⎪⎨+=⎪⎩（10a q ≠，*n N ∈） 即1122a qq =⎧⎪⎨=⎪⎩或 又∵{}n a 为递增数列 则122a q =⎧⎨=⎩ ∴1222n nn a -=⨯= 对于数列{}n b ，由11112b a ==，112n n b b a +-==为定值知 数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列 ∴()11221n b n n =+-⨯=-∴2nn a =，21n b n =-（2）由（1）得()23123252212nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L∴()()23121232232212nn n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ∴()23112222222212nn n T n +=-⨯-⨯-⨯--⨯+-⨯L()()311212221212n n n -+-=--+-⨯-()12326n n +=-⨯+【点睛】本题第（1）问主要考查等比数列与等差数列的通项公式，只需熟记公式即可求解；第(2) 问主要考查错位相减法求数列的前n 项和，按错位相减法的一般步骤，认真计算即可得出结果. 21． (1) 2,5a b ==-；(2) ,,6k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 【解析】 【详解】（1）∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-， ∴2sin(2)[2,]6a x a a π-+∈-，∴()[,3]f x b a b ∈+，又∵5()1f x -≤≤，∴5b =-，31a b +=， ∴2,5a b ==-.（2）由（1）得：()4sin(2)16f x x π=-+-，7()()4sin(2)14sin(2)1266g x f x x x πππ=+=-+-=+-，又由lg ()0g x >，得()1g x >，∴4sin(2)116x π+->，∴1sin(2)62x π+>， ∴5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈， 其中，当222,662k x k k Z πππππ+<+<+∈时，单调递增，即,6k x k k Z πππ<<+∈，∴的单调递增区间为,,6k k k Zπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.22．（1）见解析 ；（2）12；（3）3【解析】 【分析】（1）推导出BC ⊥PD ，BD ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面PBD ．（2）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ，由PA ∥平面BDE ，得OE ∥PA ，由此能求出PEPC．（3）B 到平面PCD 的距离d ＝ 2PD ＝a ，则ΔPDE ΔPDC 1S S 2=＝322，由三棱锥P ﹣BDE 的体积是18，求出PD ＝a ＝6，设点D 到平面PAB 的距离为h ，由V P ﹣ABD ＝V D ﹣PAB ，能求出D 点到平面PAB 的距离． 【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．（2）连结AC交BD于O，连结OE，则O是AC的中点，∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中点，∴＝．（3）B到平面PCD的距离d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三棱锥P﹣BDE的体积是18，∴V P﹣BDE＝V B﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，∵PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，∴PA＝PB＝＝6，∴＝18，＝＝18，∵V P﹣ABD＝V D﹣PAB，∴，∴h＝＝＝2．∴D点到平面PAB的距离为2．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设集合A ＝{x|－2＜x ＜0}，B ＝{x|－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________． 2．若复数z ＝(1＋mi)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若 一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．5．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于 ▲ ． 7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．8．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12，－2)，则φ的值为▲________．9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是▲________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O)．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐（第5题图）（第4题图）（第7题图）ABCA 1B 1FC 1EANMC近线方程是▲________.11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为▲________． 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．13．已知函数f(x)＝ax 2＋x －b(a ，b 均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x|－2－t ＜x ＜－2＋t}．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠ ，则1a －1b的最大值是▲________．14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a(y －2ex)(lny －lnx)＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知α为锐角，cos (α＋π4)＝55．（1）求tan(α＋π4)的值；（2）求sin(2α＋π3)的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点． （1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .17．(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划道路2道路1ABC（第16题图）在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．若点A(－a ，0)，B(0，a 3)，且AB→＝32BC →． （1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P(－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程；②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．19．(本小题满分16分)对于函数f(x)，在给定区间[a ，b]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N*)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝n-1∑i=0|f(x i ＋1)－f(x i )|．若存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N)均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f(x)在区间[a ，b]上具有性质V ． （1）若函数f(x)＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；（2）若函数f(x)＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；（3）对于给定的实数k ，求证：函数f(x)＝klnx －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)．（第17题图）（1）求p 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N*，P n ≠Q n ．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2 所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin(π3－θ)=32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋x|x ＋2|＞2A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23．（本小题满分10分）设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2． （1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值； （2）设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S mC m n －1|的值．数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x|－2＜x＜1} 2．－2 3．11364．9 5．5 6．19 7．8 38．－π129．[－4，2] 10．y＝±2x 11．3 12．[2－22，2＋22]13．1214．a＜0或a≥1e二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为α∈(0，π2），所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin(α＋π4)＝1－cos2(α＋π4)＝255，……………………………………………………………3分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2．………………………………………………………………………6分（2）因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin(α＋π4) cos(α＋π4)＝45，…………………………………9分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos2(α＋π4)－1＝－35，………………………………………………12分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cosπ6－cos(2α＋π2)sinπ6＝43＋310．………………14分ANBPMC16．(本小题满分14分)证：（1）因为M ，N 分别为AB ，PA 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC. ……………………………………4分 （2）因为PA ⊥PB ，MN ∥PB ，所以PA ⊥MN. ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB. ……………8分因为平面PAB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面PAB∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面PAB ． …………………………………12分 因为PA ⊂平面PAB ，所以CM ⊥PA ．因为PA ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以PA ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A(a ，0)，B(0，b)(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab|b 2＋a 2＝1．……………4分化简得 ab －2(a ＋b)＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b)－2．……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝ (a ＋b)2－2ab ＝(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4＝(a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b)． 又ab ＝2(a ＋b)－2≤(a+b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－2 2，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分所以AB ＝2－(a ＋b) ≥2－(4－2 2)＝22－2， 当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为2 2－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分 解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ． 设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，则∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，则AB ＝f(t)＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2， 当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分 所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的距离是1－( 2－1)＝2－2．答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）设C (x 0，y 0)，则AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，设Q (x 0，y 0)，则x 029＋y 025＝1．……① ………………………………………………6分因为点P(－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1， ………………………………………………8分化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……② 将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝157． 将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝－95x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx+m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，中点为N ， x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N ＝5m5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……② 又因为△＝(18km)2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜ 113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－ 113，0)∪(0， 113)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：因为函数f(x)＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f(x i ＋1)＜f(x i )，所以|f(x i ＋1)－f(x i )|＝ f(x i )－f(x i ＋1)．S ＝n-1∑i=0|f(x i ＋1)－f(x i )|＝[ f(x 0)－f(x 1)]+[ f(x 1)－f(x 2)]+…+[ f(x n-1)－f(x n )]＝f(x 0)－f(x n )＝f(－1)－f(1)＝4． …………………………………………2分(2) 解：由f ′(x)＝1－xe x＝0，得x ＝1． 当x ＜1时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x)＜0，所以f (x)在(1，＋∞)为减函数；所以f (x)在x ＝1时取极大值1e ． …………………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝n-1∑i=0|f(x i ＋1)－f(x i )|＝|f(x 1)－f(0)|＋…＋|f(x m )－f(x m －1)|＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋|f(x m ＋2)－f(x m ＋1)|＋…＋|f(2)－f(x n －1)| ＝[f(x 1)－f(0)]＋…＋[f(x m )－f(x m －1)]＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋[f(x m ＋1)－f(x m ＋2)]＋…＋[f(x n －1)－f(2)] ＝[f(x m )－f(0)]＋|f(x m ＋1)－f(x m )|＋[f(x m ＋1)－f(2)]． …………………………………………6分 因为|f(x m ＋1)－f(x m )|≤[f(1)－f(x m )]＋[f(1)－f(x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f(x m )－f(0)＋f(1)－f(x m )＋f(1)－f(x m ＋1)＋f(x m ＋1)－f(2) ＝2 f(1)－f(0)－f(2)＝2(e －1)e 2. 所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分（3）证明：f ′(x)＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为增函数，所以S ＝n-1∑i=0|f(x i ＋1)－f(x i )|＝[ f(x 1)－f(x 0)]+[ f(x 2)－f(x 1)]+…+[ f(x n )－f(x n-1)]＝f(x n )－f(x 0)＝f(e)－f(1)＝k+12－12e 2．因此，存在正数A ＝k+12－12e 2，都有S ≤A ，因此f(x)在[1，e]上具有性质V ．…………………10分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为减函数，所以S ＝n-1∑i=0|f(x i ＋1)－f(x i )|＝[ f(x 0)－f(x 1)]+[ f(x 1)－f(x 2)]+…+[ f(x n-1)－f(x n )]＝f(x 0)－f(x n )＝ f(1)－f(e)＝ 12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f(x)在[1，e]上具有性质V ．…………………12分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x)＝0，得x ＝k ；当f ′(x)＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x)＜0，得k ＜x ≤e ，因此f(x)在[1，k)上为增函数，在(k ，e]上为减函数． 设x m ≤k ＜x m+1，m ∈N ，m ≤n －1则S ＝n －1∑i ＝1|f(x i ＋1)－f(x i )|＝|f(x 1)－f(x 0)|+…+|f(x m )－f(x m －1)|+ |f(x m+1)－f(x m )|+ |f(x m+2)－f(x m+1)|+…+|f(x n )－f(x n －1)| ＝f(x 1)－f(x 0)+…+f(x m )－f(x m －1) + |f(x m+1)－f(x m )|+ f(x m+1)－f(x m+2) +…+f(x n －1)－f(x n ) ＝f(x m )－f(x 0) + |f(x m+1)－f(x m )| + f(x m+1)－f(x n )≤f(x m )－f(x 0) + f(x m+1)－f(x n )+ f(k)－f(x m+1)+ f(k)－f(x m )＝2 f(k)－f(x 0)－f(x n )＝klnk －k －[－12+k －12e 2]＝klnk －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝klnk －2k ＋12+12e 2，都有S≤A ，因此f(x)在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f(x)＝klnx －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12． …………………………………………………………3分（2）由a n＝(－1)n S n＋(－12)n，得⎩⎨⎧a n＝(－1)n S n＋(－12)n， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N*，12n， n 为偶数，n ∈N*．………………………………………………9分（3）A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，则b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14．则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )．……………………………………………12分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分 因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n ≠Q n ． ………………………………………………………………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．…………………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2 ⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，……………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………………………………6分（2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1 5 －3．……………………8分所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 －5 4． ……………………………………………………………10分 AC ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分 由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t+sin 2t=1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分（2）联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3， x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x=0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A(0，－3)，B(85，353)，则AB=(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； …………………………………………………6分 当x≥2时，不等式化为(x －2)＋x(x ＋2)＞2,解得x≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x|－3＜x ＜－1或x ＞0}．……………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分 （2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为………………………………………………………………………………………8分所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．…………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为a k ＝(－1)k C k n ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分 （2）b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1 k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C k n ，……………………………………5分 当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C k n －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1． ……………………………………7分 当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0 C 0n －1 |＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k=1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)m C m n －1， 所以|S mC m n －1 |＝1．综上，|S mC mn －1|＝1． ……………………………………10分高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。