高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(31)数列的综合应用.pdf

课时作业(三十一)　[第31讲　数列的综合应用]
[时间：45分钟　分值：100分]
1．[2012·惠州调研] “lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2011·德州二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{bn}中
，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值为( )
A．64 B．－64 C．128 D．－128
3．[2011·珠海综测] 设正项等比数列{an}，{lgan}成等差数列，公差d＝lg3，且{lgan}的前三项和为6lg3，则数列{an}的通项公式为( )
A．nlg3 B．3n C．3n D．3n－1
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为( )
A．2 B．3 C. D.
5．[2011·忻州联考] 成等比数列的三个数a＋8，a＋2，a－2分别为等差数列的第1、4、6项，则这个等差数列前n项和的最大值为( )
A．120 B．90 C．80 D．60
6．[2011·南平质检] 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)，xR，且f(1)＝，则数列{f(n)}(nN*)的前20项的和为( )
A．305 B．315 C．325 D．335
7．[2011·大连双基检测] 已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若
a1>1，a4>3，S3≤9，设bn＝，则使b1＋b2＋…＋bnbn成立的最大正整数为n0.(参考数据
：1.0516＝2.18,1.0517＝2.29,1.0518＝2.41)
(1)求an、bn关于n的表达式，直接写出n0的值，说明n0的实际意义；
(2)当n≤n0，nN*时，设第n个月中签率为yn，求证：中签率yn随着n的增加而增大．
课时作业(三十一)
【基础热身】
1．A　[解析] 若lgx，lgy，lgz成等差数列，则2lgy＝lgx＋lgz，即lgy2＝lgxz，则y2＝xz，
若y2＝xz，当x，z都取负数时，lgx，lgz无意义．
2．B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则
解得
b5＝a5＝a1＋4d＝－2，b7＝a7＝a1＋6d＝－4，
设等比数列{bn}的公比为q，则q2＝＝2，
b15＝b7q8＝－4×24＝－64.
3．B　[解析] 依题意有3lga1＋3lg3＝6lg3，即a1＝3.
设等比数列{an}的公比为q，则
q＝，lgq＝lga2－lga1＝d＝lg3，解得q＝3，
所以an＝3×3n－1＝3n.
4．D　[解析] 设公比为q，又4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得{an}的公比q＝.
【能力提升】
5．B　[解析] 由a＋8，a＋2，a－2成等比数列，得
(a＋2)2＝(a＋8)(a－2)，解得a＝10，
设等差数列为{an}，公差为d，则a1＝18，a4＝12，a6＝8，
2d＝a6－a4＝－4，d＝－2，
则这个等差数列前n项和为
Sn＝18n＋×(－2)
＝－n2＋19n＝－2＋，
当n＝10或n＝9时，Sn有最大值90.
6．D　[解析] 由已知f(x＋1)－f(x)＝，则数列{f(n)}是等差数列，公差为，其前20项和为20×＋×＝335. 7．B　[解析] 由a4>3，S3≤9，得a1＋3d>3，且3a1＋3d≤9，
3－a1<3d≤9－3a1,2a1<6，则a1<3，即10.
若m与m＋6关于原点不对称，则m＋2与m＋4也关于原点不对称，
f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，
f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾，
m与m＋6关于原点对称，则m＋2与m＋4关于原点对称，
则m＝－3，x8＝－3，x2011＝x8＋(2011－8)×2＝4003.
14．[解答] (1)依题意，An是首项为100－4＝96，公差为－4的等差数列的前n项和，
所以An＝96n＋×(－4)＝98n－2n2；
数列的前n项和为100n＋×＝100n＋50，
Bn＝100n＋50－90＝100n－40－.
(2)由(1)得，Bn－An＝－(98n－2n2)＝2n＋2n2－40－，Bn－An是数集N*上的单调递增数列，
观察并计算知B4－A4＝－0，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．
15．[解答] (1)由题意知3an－2Sn－1＝0，
则3an＋1－2Sn＋1－1＝0，
②－得an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列．
由3a1－2S1－1＝0，得a1＝1，
所以an＝3n－1.
(2)由知，2Sn＝3an－1，所以bn＝＝3n，
Tn＝＝.
f(n)＝＝＝＝≤.
当且仅当n＝，即n＝4时，等号成立．
所以f(n)的最大值为f(4)＝.
【难点突破】
16．[解答] (1)an＝10a＋(n－1)a＝(n＋9)a，bn＝＝20a(1.05n－1)，
由an>bn得，n0＝17，
说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌．
(2)证明：当n＝1时，y1＝，
当1<n≤17，nN*时，yn＝＝，
yn＝(nN*，n≤17)，
当2≤n≤17，nN*时，
－＝－＝＝<0，
bn，an－an－1>bn－bn－1>0，
0<ynyn－1，
所以y1<y2<…<y17，即yn随着n的增加而增大．。