定积分教学设计

定积分的简单应用
一、教学目标
1、 知识与技能目标：
（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。

2、 过程与方法目标：
通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

3、 情感态度与价值观目标：
通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。

二、 教学重点与难点
1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。

三、教学过程
（一）创设问题情境： 复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算
dx x ⎰
--2
2
2
4 2．计算 ⎰-22
sin π
πdx x
思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为
（二）研究开发新结论
1计算由抛物线2
y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S.
2计算由抛物线2
y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S.
总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
dx
x f dx x f s b a
b
a
⎰⎰-=)()(21
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分.
O 1.510.5-0.5-1
-1
1
x
y
y 2=x
（三）巩固应用结论
例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.
分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：2
01y x
x x y x
⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积S=1
1
2
xdx x dx =
-⎰
⎰，所以
⎰1
20S =(x -x )dx 32
1
3023
3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；
2.求交点；
3.用定积分表示所求的面积；
4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组2,
4
y x y x ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩ 得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .
直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S 1+S 24
8
8
4
4
2[2(4)]xdx xdx x dx =
+--⎰
⎰
⎰
y=x 2
y x
= O
x
y
y=x 1.5O 10.5
-0.5-1
-1
1
x
y
2
x
x
O y=x 2 A
B C 334
82822044
2222140||(4)|3323
x x x =++-= 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． （四）总结概括结论
求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1） 做出示意图（找到所求平面图形） （2） 求交点坐标（确定积分上、下限） （3） 确定被积函数 （4） 列式求解 （五）练习
1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：3
3
22311
32
23)3)|3
3
＝（＋－（x
S x x dx x x --=+-=
⎰
2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。

略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、 62+-=x y ，则所求图形的面积为
49346234342
23
3
2
3
2
＝＝
dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+
-+---⎰
⎰
3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

略解：所求图形的面积为
dy dy y f y g S y
⎰⎰
⨯-=
-1
1
2
24)()()(【＝
e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（
4、在曲线)0(2
≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲 线以及x 轴所围成的面积为12
1
.试求：切点A 的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为),2
00x x （，则切线方程 为2
002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为
),(
020x ，则由题可知有0
3222020002
1(2)1212x x
x x S x dx x x x x dx =+-+==⎰⎰
10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y
x
y
o
y=－x 2+4x-3。