高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换
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新课标高中数学人教A版必修四全册课件3.2简单的三角恒等变换
第四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例： 例3. 已知函数
f ( x) cos4 x 2sin x cos x sin4 x.
(1)求f ( x)的最小正周期;
(2)当x [0， ]时, 求f ( x)的最小值及
2 取得最小值时x 的集合.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
点评：
2
m的值及此函数当x∈R时的最小值及 取得最小值时x的集合.
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例4. 若函数 f ( x) 3 sin 2x 2cos2 x m
在区间 [0, ] 上的最大值为6，求常数
2
m的值及此函数当x∈R时的最小值及 取得最小值时x的集合.
练习. 教材P.142练习第4题.
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
2. 二倍角变式
湖南省长沙市一中第十一卫页，星编辑远于星程期日学：十三校点 十九分。
课堂小结
1. 二倍角公式
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
2. 二倍角变式
2cos2 1 2cos 2
湖南省长沙市一第中十二卫页，编星辑于远星期日程：十学三点校十九分。
3.2 简单的三角 恒等变换(二)
第一页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
三角函数的二倍角公式:
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例1.
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
讲解范例： 例3. 已知函数
f ( x) cos4 x 2sin x cos x sin4 x.
(1)求f ( x)的最小正周期;
(2)当x [0， ]时, 求f ( x)的最小值及
2 取得最小值时x 的集合.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
点评：
2
m的值及此函数当x∈R时的最小值及 取得最小值时x的集合.
第七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例4. 若函数 f ( x) 3 sin 2x 2cos2 x m
在区间 [0, ] 上的最大值为6，求常数
2
m的值及此函数当x∈R时的最小值及 取得最小值时x的集合.
练习. 教材P.142练习第4题.
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
2. 二倍角变式
湖南省长沙市一中第十一卫页，星编辑远于星程期日学：十三校点 十九分。
课堂小结
1. 二倍角公式
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
2. 二倍角变式
2cos2 1 2cos 2
湖南省长沙市一第中十二卫页，编星辑于远星期日程：十学三点校十九分。
3.2 简单的三角 恒等变换(二)
第一页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
三角函数的二倍角公式:
sin 2 2sin cos
tan
2
2 tan 1 tan2
第二页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
例1.
第三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例：
人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换1
的最小正周期为π，最大值为，最小值为。
A． 0
B．
C．
D．－1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
6．化简：
小结 对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
设矩形ABCD的面积为S,则
通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 y=Asin(+)的 函数,从而使问题 得到简化
练习
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首 先要将函数式化为单一函数．
第三章三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换
例1 解
例2
求证
解 (1)sin(+)＝sincos+cossin sin(-)＝sincos-cossin 两式相加,得 sin(+)+sin(-)＝2sincos
(2)由(1)可得 sin(+)+sin(-)＝2sincos① 设+=,-=
把,的值代入①,即得
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式； 在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
分析：利用三角恒等变换，先把函数式 化简，再求相应的值.
例4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大,可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.2简单的三角恒等变换(一)
3.2 简单的三角恒等变换（一）
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角正弦、余弦、正切公式
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1
1 2 sin2
tan 2
1
2
tan tan2
学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我 们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角 变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高 我们的推理、运算能力提供了新的平台.
证明：左边 = sin2 x cos2 x 2sin x cos x cos2 x sin2 x
(sin x cos x)2
cos x sin x
(cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x
1 tan x =右边 1 tan x
A.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)] B.－21[cos(α＋β)－cos(α－β)] C.－12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] D.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)]
1.下列各式恒成立的是（ B ）
A.tan = 1 cos 2 sin
2 tan
C.
2
1 tan2
2
22
2sin cos 22
2 cos cos
sin 1 cos
1. 2
22
4、已知 sinθ＝－35，3π<θ<72π，则 tanθ2＝___-_3____.
解析：根据角 θ 的范围，求出 cosθ 后代入公式计算， 即由 sinθ＝－35，3π<θ<72π，得 cosθ＝－45，从而 tanθ2＝ 1＋sincoθsθ＝1－－3554＝－3.
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角正弦、余弦、正切公式
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1
1 2 sin2
tan 2
1
2
tan tan2
学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我 们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角 变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高 我们的推理、运算能力提供了新的平台.
证明：左边 = sin2 x cos2 x 2sin x cos x cos2 x sin2 x
(sin x cos x)2
cos x sin x
(cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x
1 tan x =右边 1 tan x
A.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)] B.－21[cos(α＋β)－cos(α－β)] C.－12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] D.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)]
1.下列各式恒成立的是（ B ）
A.tan = 1 cos 2 sin
2 tan
C.
2
1 tan2
2
22
2sin cos 22
2 cos cos
sin 1 cos
1. 2
22
4、已知 sinθ＝－35，3π<θ<72π，则 tanθ2＝___-_3____.
解析：根据角 θ 的范围，求出 cosθ 后代入公式计算， 即由 sinθ＝－35，3π<θ<72π，得 cosθ＝－45，从而 tanθ2＝ 1＋sincoθsθ＝1－－3554＝－3.
人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换课件
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第三章 三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ―理―解→ 二倍角公式 ―掌―握→
化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算 及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 (1)sin(α＋β)＝____s_i_n_α_c_o_s_β_＋__co_s_α_s_i_n_β______； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (2)sin 2α＝__2_s_i_n_α_c_o_s_α________； (3)cos(α＋β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_－__si_n_α_s_i_n_β_____； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
＝12－12(2cos 2αcos 60°－cos 2α)＝12.
【名师点评】 解决三角问题时，要注意“三看”： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化； (2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把 所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切； (3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足直接使 用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
跟踪训练
4．已知函数 f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x. (1)若 f(α)＝1，α∈(0，π)，求 α 的值； (2)求 f(x)的单调增区间． 解：f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x ＝1＋cos(2x＋π6)＋sin 2x＝1＋cos 2xcosπ6－sin 2xsinπ6＋
3
2 .
答案：－2 3 2
（金戈铁骑 整理制作）
第三章 三角恒等变换
3．2 简单的三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ―理―解→ 二倍角公式 ―掌―握→
化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算 及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 (1)sin(α＋β)＝____s_i_n_α_c_o_s_β_＋__co_s_α_s_i_n_β______； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (2)sin 2α＝__2_s_i_n_α_c_o_s_α________； (3)cos(α＋β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_－__si_n_α_s_i_n_β_____； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
＝12－12(2cos 2αcos 60°－cos 2α)＝12.
【名师点评】 解决三角问题时，要注意“三看”： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化； (2)看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把 所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切； (3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足直接使 用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
跟踪训练
4．已知函数 f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x. (1)若 f(α)＝1，α∈(0，π)，求 α 的值； (2)求 f(x)的单调增区间． 解：f(x)＝2cos2(x＋1π2)＋sin 2x ＝1＋cos(2x＋π6)＋sin 2x＝1＋cos 2xcosπ6－sin 2xsinπ6＋
3
2 .
答案：－2 3 2
3.2简单的三角恒等变换
= 3sin2x - cos2x
3 1 = 2( sin2x - cos2x) 2 2
π π = 2(sin2xcos - cos2xsin ) 6 6 π = 2sin(2x - ) 6
故该函数的最小正周期是π，最小值是－2，在 0，π π 5π 上的单调增区间是 0， ， ，π。 3 6
1 5 sin（ ＋ ）＋ 2x 2 6 4
y取得最大值必须且只需
2x＋ ＋2k，k Z， 6 2
即x＝ ＋k，k Z。 6 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 ｛x |x ＝＋k π，k ∈Z｝。
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移 ，得到函数y＝sin（x＋ ）的图象； 6 6
α 1 + cosα cos = 2 2
α 1- cosα sinα 1- cosα tan = = = 2 1 + cosα 1 + cosα sinα
注意：
α α α α （1）sin 、cos 、tan 的符号有 所在的象限决定。 2 2 2 2
(2)正切半角公式的推导：
α α α α α α sin sin 2sin sin sin 2cos α α 2 = 2 2 2 = 2 2 tan = tan = 2 cos α cos α 2sin α 2 cos α cos α 2cos α 2 2 2 2 2 2
新课导入
学习了简单的和（差）角公式，倍 角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒 等变化，比如已知2α求α，已知
y=sin2xcos2x,求最小正周期、最大最小
值、单调区间是否能求呢?
通过复习前面所学过的公式，以已
高中数学人教A版必修4课件：3-2简单的三角恒等变换
2 25
所以 cos θ=- 1-sin2 ������=-25. 于是
5π 4
7
<
������ 2
<
3π , 2
故 sin 2=-
������
1-cos������ =2
1- -25 2
7
=-5,
4
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
答案:(1)× (2)× (3)× (4)
.
(
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
探究一
5π
用半角公式解决求值问题
24 ������ ������ ������ ������
【例 1】 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的 值.
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
3.做一做:已知 cos
������ = 2
1 α= ,且 5
α 为锐角,则 sin
������ = 2
,cos
.
解析:∵α∈ 0,
������ ∴2
∈
������ 2
π 0, 4
π 2
,
,
1-cos������ 2
∴sin
cos
������ 2
3.2 简单的三角恒等变换
-1-
首页
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
所以 cos θ=- 1-sin2 ������=-25. 于是
5π 4
7
<
������ 2
<
3π , 2
故 sin 2=-
������
1-cos������ =2
1- -25 2
7
=-5,
4
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.
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探究一
5π
用半角公式解决求值问题
24 ������ ������ ������ ������
【例 1】 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的 值.
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
3.做一做:已知 cos
������ = 2
1 α= ,且 5
α 为锐角,则 sin
������ = 2
,cos
.
解析:∵α∈ 0,
������ ∴2
∈
������ 2
π 0, 4
π 2
,
,
1-cos������ 2
∴sin
cos
������ 2
3.2 简单的三角恒等变换
-1-
首页
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I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.2简单的三角恒等变换》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 三角函数式的证明问题 sin2α＋β sin β 【例 3】 求证： sin α －2cos (α＋β)＝sin α. [思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋ β 化为(α＋β)＋α，再进行证明． 证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
课前探究学习 课堂讲练互)
活页规范训练
π π π 3 ∵0<α<2，－4<2α－4<4π， π π ∴当 2α－4＝2， 3 即 α＝ π 时，S 四边形 ABTP 最大． 8 (12 分)
【题后反思】 解答此类问题，关键是合理引入辅助角 θ，将实 际问题转化为三角函数问题， 再利用三角函数的有关知识求解， 在求解过程中要注意角的范围．
2α 2α 2α 2α 2α
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．辅助角公式 a asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)，(cos φ＝ 2 2，sin φ＝ a ＋b
2 2
b 2 2)，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b) a ＋b 决定．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 4】 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这 个矩形的面积最大？ 解 如图，设∠AOB＝θ，且 θ 为锐角，半圆的半径为 R，则面积
最大的矩形 ABCD 必内接于半圆 O， 且两边长分别为|AB|＝Rsin θ， |DA|＝2|OA|＝2Rcos θ. 这个矩形的面积为 S 矩形 ABCD＝|AB|· |DA|＝Rsin θ· 2Rcos θ＝R2sin 2θ. 所以当 sin 2θ＝1(θ 为锐角)， θ＝45° 矩形 ABCD 的面积取得 即 时， 最大值 R2. 所以当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是 1∶2∶ 2时，所截
高一数学必修4课件：3-2-1三角恒等变换
2－ 6 1 1 2 ＝－2 8－4 3＝－2 6－ 2 ＝ 2 .
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
α 1－cosα 解法二：(用tan ＝ 来处理) 2 sinα ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα＝－ 1－cos α＝－
2
1 6 1－3＝－ 3 .
α ∴cos ＝ 2
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
5 2 α 已知sinα＝ 5 ，cosα＝5 5，则tan2等于( A．2－ 5 C. 5－2 B．2＋ 5 D．± 5－2) (
)
[答案] C
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
α α α 2 sin 2sin sin 1－ 5 2 2 2 1－cosα 5 α [解析] tan ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 5 2 α α α sinα 5 cos2 2sin2cos2 5 －2.
[答案] B
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
2．在△ABC中，若sinAsinB＝cos 2 ，则△ABC是( A．等边三角形 C．不等边三角形 B．等腰三角形 D．直角三角形
2C
)
[答案] B
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
cosC＋1 1－cosA＋B [解析] sinAsinB＝cos ＝ ＝ ，展开 2 2 2
第三章
3.2 3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用) x＋y x－y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ， x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ， x＋y x－y cosx＋cosy＝2cos 2 cos 2 ， x＋y x－y cosx－cosy＝－2sin sin . 2 2
人教版高中数学必修四《简单的三角恒等变换》课件共17页
人教版高中数学必修四《简单的三角 恒等变换》课件
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，并怡 然自乐 。
① 得 ②
tan21cos 2 1cos
结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法， 明确变形的目的．
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。— —裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
22
总结 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例２证明中用到换元以及方程的思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
达标检测
1 已知 cos 1 ，α∈(π，2π)，则cos 等于( B )
3
2
A . 6 B .6 C . 3 D .3
可表示为
:
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos
2
1 cos
称为半角公式
, 符号
由 所在象限决定
.
2
变式1：求证 tan sin
2 1cos
例2 求证
1sincos1sinsin;
2
2sinsin2sincos.
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，并怡 然自乐 。
① 得 ②
tan21cos 2 1cos
结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法， 明确变形的目的．
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。— —裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
22
总结 在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例２证明中用到换元以及方程的思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
达标检测
1 已知 cos 1 ，α∈(π，2π)，则cos 等于( B )
3
2
A . 6 B .6 C . 3 D .3
可表示为
:
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos
2
1 cos
称为半角公式
, 符号
由 所在象限决定
.
2
变式1：求证 tan sin
2 1cos
例2 求证
1sincos1sinsin;
2
2sinsin2sincos.
2015年高中数学人教A版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
与三角函数性质有关的问题 (2014·天津高考)已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋π3－ 3cos2x＋ 43，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
数学 ·必修4(A)
数学 ·必修4(A)
第三十页，编辑பைடு நூலகம்星期五：十一点 六分。
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(2)当 f(x)取得最大值时， sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kx＋π2， 即 x＝kx＋51π2(k∈Z)， ∴所求 x 的集合为 xx＝kπ＋51π2，k∈Z .
第十五页，编辑于星期五：十一点 六分。
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【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
数学 ·必修4(A)
第十六页，编辑于星期五：十一点 六分。
第二十一页，编辑于星期五：十一点 六分。
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1．(1)化简：2tanπ42－coαs2αsi－n21π4＋α. (2)求证：1＋sin α＝2cos2π4－α2.
数学 ·必修4(A)
第二十二页，编辑于星期五：十一点 六分。
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＝11＋＋22ssiinn
θ·cos θ·cos
2016秋数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换
α2－cos
α 2sin
α2＋cos
α
2
α
2sin
2
栏目 导引
第九页，编辑于星期六：点 十三分。
第三章 三角恒等变换
sin ＝
α2sin2α2－α cos2α2 ＝－sin
α 2cos α
α .
sin
2
sin
2
因为－π＜α＜0，所以－π2＜α2＜0，
所以 sin
α2＜0，所以原式＝－s－insiαn2coα2s
栏目 导引
第八页，编辑于星期六：点 十三分。
第三章 三角恒等变换
探究点一 三角函数式的化简
（1－sin α－cos α）sin
化简
2－2cos α
α2＋cos
α 2(－π＜α＜0)．
2sin2 [解]原式＝
α2－2sin
α α 2cos 2sin 2×2sin2α2
α2＋cos
α 2＝
2sin
α 2sin
第三章 三角恒等变换
1．常用的三角恒等变换思想方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们 把这种代换称为常值代换．
栏目 导引
第三十一页，编辑于星期六：点 十三分。
第三章 三角恒等变换
(2)切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基 本三角函数关系式 tan α＝csoins αα，将正切化为正弦和余弦，这 就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函 数名称．
栏目 导引
第十六页，编辑于星期六：点 十三分。
第三章 三角恒等变换
因为π2＜α＜π 且 0＜β＜π2，所以 0＜α－β＜π，
人教A版高中数学必修四3.2-4《简单的三角恒等变换》课件
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
3.2 简单的三角恒等变换
第四课时 三角函数中的三角变换问题 （习题课）
例1 已知函数
f (x) (sin x cos x)2 2cos2 x
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区
间；
（2）当 x [0, 最小值.
2
]
时，求f(x)的最大值和
T=π
[k
,k 5 ](k Z)
8
8
f (x)max
6
)
8
4 ，求关于x的不等式 的解集.
a [0,1]
(k ,k 3)(k Z)
例4 已知向量a
(cos
3 2
x,
sin
3 2
x)，
b
(cos x , sin x )，其中 x 22
[0, 2 ] ，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域.
[
3 2
,
1]
例5 已知函数 f (x) [2sin(x ) sin x]cos x 3 sin2 x
3
若函数y=f(x)的图象关于直线x a(a 0) 对称，求a的最小值.
amin
12
例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ，
P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的
周长为2时，求∠PCQ的大小.
D
C
3.2 简单的三角恒等变换
第四课时 三角函数中的三角变换问题 （习题课）
例1 已知函数
f (x) (sin x cos x)2 2cos2 x
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区
间；
（2）当 x [0, 最小值.
2
]
时，求f(x)的最大值和
T=π
[k
,k 5 ](k Z)
8
8
f (x)max
6
)
8
4 ，求关于x的不等式 的解集.
a [0,1]
(k ,k 3)(k Z)
例4 已知向量a
(cos
3 2
x,
sin
3 2
x)，
b
(cos x , sin x )，其中 x 22
[0, 2 ] ，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域.
[
3 2
,
1]
例5 已知函数 f (x) [2sin(x ) sin x]cos x 3 sin2 x
3
若函数y=f(x)的图象关于直线x a(a 0) 对称，求a的最小值.
amin
12
例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ，
P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的
周长为2时，求∠PCQ的大小.
D
C
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第三章 三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换
明目标
知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引
0102
03当堂测查疑缺 04
明目标、知重点
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.
2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
填要点·记疑点
点(a，b)
探要点·究所然
情境导学
三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并
探究点一 半角公式的推导
小结 以上各公式统称为半角公式(不要求记忆).
思考1 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整：①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ；
②sin(α＋β)－sin(α－β)＝
；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝
；④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ .
探究点二 积化和差与和差化积公式的推导
2sin αcos β2cos αsin β2cos αcos β－2sin αsin β
思考2 由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式，请你试一试写出这四个公式：
sin αcos β＝
探究点三 辅助角公式
思考2 请写出把a sin x＋b cos x化成A sin(ωx＋φ)形式的过程.答 a sin x＋b cos x
∵α为第四象限角，
解 方法一 ∵180°<θ<270°，
方法二 ∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，
例2 已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
解 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1
因此，函数f(x)的最小正周期为π.
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解 在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
反思与感悟 从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝a sin x＋b cos x的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想.
跟踪训练3 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 .
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
4当堂测·查疑缺 123
B
D
A
4.求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值.
解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝7sin(x＋20°＋φ)，
所以f(x)
max ＝7.
1234
呈重点、现规律
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握，。