广东省江门市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(4)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题04
一．选择题（本题共10小题，每题5分，共50分）
1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么=N M
A.{21}x x -≤<
B.}2|{≤x x
C. }2|{-≥x x
D.{1}x x <
2．设i 是虚数单位，复数z ＝cos45°－i ·sin45°，则z 2
等于
A. i -
B. i
C. 1-
D. 1 3．函数x x y cos )2
sin(π
+
=的单调减区间是
A ．π(π,
π)2k k + k ∈Z B ．π
(π, ππ)2
k k ++ k ∈Z C ．(2π, π2π)k k +k ∈Z D ．(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z 4．已知直线m 、n 和平面α、β
满足m ⊥n ，α⊥β
，α⊥m 则
A ．β⊥n
B ．n //β或β⊂n
C ．α⊥n
D ．n ∥α或α⊂n
5．执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ，则输出的n 是
A ．12
B ．6
C ．3
D ．0
6．设甲：函数)(log )(2
2c bx x x f ++=的值域为R ，乙： 函数c bx x x g ++=2
)(有四个单调区间，那么甲是乙
的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 非充分非必要条件
7．三位数中十位上的数字比百位上和个位上的数字都大的数称 为“伞数”，如“132”
和“231”都是伞数，从1、2、3、4四位数字中任取三个不重复的数字组成“伞数”的概率为
A ．
1
2
B ．
13
C ．
14
D ．
15
8．已知02=+-n mx x 的两根为βα,，且βα<<<21，则 22n m +的取值范围是 A ．[)∞+,12
B ．()∞+,12
C ．[)∞+,13
D ．()∞+,13
9．函数3
)1(-=x y 与()sin 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．已知F 1、F 2分别是双曲线22a x －22
b
y =1的左、右焦点,点P 是双曲线在第一象限上的一点，
连2PF 、1PF ，直线2PF 、1PF 均与圆02
2
=-+cx y x （c 为双曲线的半焦距）相切，则双曲线的离心率为
（A
）3 （B
）4（C
（D
二．填空题（本题共7小题，每题4分，共28分）
11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计， 得到样本频率分布直方图（如图），则这1000名学生在该次 自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 ．
12．在1和4之间插入三个数，使者5个数成等比数列，则插入的三
个数的乘积为 ．
13．若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体
积是 cm 3
．
14．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，
G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG
GD
=”． 若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都 相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线
的交点，为四面体ABCD 外接球的球心，则AO
OM
= ”．
15．已知函数f （x ）＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 3
，x ≤0，
x ＋，x >0.若f （2－x 2
）>f （x ），
则实数
x 的取值范围是________．
16．如图Rt △ABC 中，AB =AC =1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，
使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点， 则这个椭圆的焦距长为 ．
17．设∠POQ =60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ·OB =6， △OAB
的最小值是 ．
三、解答题（本题共5小题，18题、19题、20题每题14分，21题、22题每题15分，共72
分） 18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知222a b c =+=,
△ABC 的面积为S ， （Ⅰ）若3
B π
=
，求S ；
sin B C -的取值范围．
正视图 图 侧视图
第（13）
0 0 0 0 0 0 0
0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 第（11）题
19．已知在数列{}n a 中，{}n n S a 是数列的前n 项和，111 1.n n n a a a +==⋅+且4S （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令1
3n n n b a -=⋅，数列{}n b 的前n 项和为.n T 求.n T
20．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE
为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =． （Ⅰ）求证：;PO ABCE ⊥面 （Ⅱ）求二面角E-AP-B 的余弦值．
21．已知函数2
()(2)()ln .f x x a x g x a x =-+=-与函数，)()()(x g x f x h -=，a 是实常
数．
（I ）若2a >时，求()h x 的单调区间；
（II ）当[]e x ,1∈时，()0h x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
22．已知抛物线的焦点为)1,0(F ． （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；
（Ⅱ）过直线042:=--y x l 上的动点P 作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A 、B 两点，
求证：直线AB 过定点Q ，并求出Q 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线PQ 交抛物线于M 、N 两点，试比较
||||PN PM 与|
||
|QN QM 的大小，并加以证明．
参考答案
1-10: BAADB BBDBC 11．600 12．8 13．40 14．3 15．21x -<<162
17．2
（18）解：（Ⅰ）
2224
b c A π
+=+∴=
sin sin a b
b A B =∴=，
sin sin()C A B =+=
1sin 2S ab C ∴=
= （Ⅱ）
sin B C -3sin(
)4
B B π
=--
(
cos )cos )222B B B B B =-+=-
sin()4
B π
=-
sin (4
4
2
2
B B
C π
π
π
-
<-
<
-∈-
（19）
（20） 解：（Ⅰ）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥……1分
取BC 的中点F ，连OF ，PF ，∴OF∥AB，∴OF⊥BC 因为
PB=PC ∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF ……3分 从而BC⊥PO …………5分，
又BC 与PO 相交，可得PO⊥面ABCE………6分
（Ⅱ）作OG∥BC 交AB 于G ，∴OG⊥OF 如图，建立直角坐标系[;,,],O OG OF OP
A （1，-1，0），
B （1，3，0），
C （-1，3，0）， P （0，0
(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)AC AP AB =-=-=…7分
设平面PAB 的法向量为1(,,
),n x y z = 0
40
n AP x y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅==⎪⎩1(2,0,1)n ⇒= 同理平面PAE 的法向量为2(1,1,0),n
=……………………10分
1212cos ||||n
n E AP B n n ⋅--=
=⋅
二面角E-AP-B 的余弦值为
…………………12分 （21）（I ）2()(2)ln (2)(1)
()2(2)h x x a x a x
a x a x h x x a x x
=-++--'=-++=
∵2a >()h x ∴
在（0，1），（+∞,2a
）上是增函数，)2
,1(a
上是减函数。