咸阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

咸阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
2． 4213
5
3
2,4,25a b c ===，则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
3． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（
，﹣3，﹣2
）
4． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n α
γ=，则//αβ
C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥
D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥
5． 定义运算
，例如
．若已知
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A
． B
． C
． D
．
7． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ） A
． B
．
C
．
D
．
8． 设
a=0.5，
b=0.8
，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
9． 在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ）
A ．13
B
．
C
． D ．21
10．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩
,则()5f 的值为（ ）
A ．10
B ．11 C.12 D ．13
11．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4 12．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
二、填空题
13．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
14．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．
15．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表
面积是_________（单位:
）．
16
．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程
为 ．
17．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 . 【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
18．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2
132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<
恒成立，则m 的取值范围是_______．
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨
⎧==θ
θsin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïîa
a
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
20．已知集合A={x|1＜x ＜3}，集合B={x|2m ＜x ＜1﹣m}． （1）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B=∅，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数13
1)(23
+-=
ax x x h ，设x a x h x f ln 2)(')(-=， 222ln )(a x x g +=，其中0>x ，R a ∈.
（1）若函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）记)()()(x g x f x F +=，求证：2
1)(≥x F .
22．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.
（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
24．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,4
5a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
咸阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
2．【答案】A
【解析】
试题分析：
222
353
4,4,5
a b c
===，由于4x
y=为增函数，所以a b
>.应为
2
3
y x
=为增函数，所以c a
>，故
b a c
<<.
考点：比较大小．
3．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
5．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
====．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
6．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是3××2=6+，
故选C．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
7．【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，
故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，
则易知A
H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，
1
AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：∵a=0.5，b=0.8，
∴0＜a＜b，
∵c=log20.5＜0，
∴c＜a＜b，
故选B．
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c===．
故选：B ．
10．【答案】B 【
解
析】
考
点：函数值的求解. 11．【答案】C 【解析】
考
点：茎叶图，频率分布直方图． 12．【答案】B 【解析】
试题分析：()21212121101010
2
4
2=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制
二、填空题
13．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e
-'==
，由0()0f x '<得，01x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 14．【答案】 0.3 ．
【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500，
∵P（400＜ξ＜450）=0.3，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．15．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
16．【答案】（±，0）y=±2x．
【解析】解：双曲线的a=2，b=4，
c==2，
可得焦点的坐标为（±，0），
渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．
故答案为：（±，0），y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
17．
【解析】
18．【答案】15(,)43
-
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为22)q q ，由已知得C 是以(0,0)O 2为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标为(1,1)-，极坐标为3(2,
)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，则2222
AB
k =
=-+,
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 20．【答案】
【解析】解：（1）由A ⊆B 知：
，
得m ≤﹣2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （2）由A ∩B=∅，得：
①若2m ≥1﹣m 即m ≥时，B=∅，符合题意； ②若2m ＜1﹣m 即m ＜时，需
或
，
得0≤m ＜
或∅，即0≤m ＜
，
综上知m ≥0．
即实数m 的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
21．【答案】（1）]3
4,(-∞.（2）证明见解析. 【
解
析
】
试
题解析：解：（1）函数13
1)(23
+-=
ax x x h ，ax x x h 2)('2-=，1111] 所以函数x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2
--=-=，∵函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，
∴0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f 在区间),2(+∞上恒成立，所以1
2
+≤x x a 在),2(+∞∈x 上恒成
立.
令1
)(2
+=x x x M ，则2
222)1(2)1()1(2)('++=+-+=x x x x x x x x M ，当),2(+∞∈x 时，0)('>x M ， ∴34)2(1)(2=>+=
M x x x M ，∴实数的取值范围为]3
4
,(-∞. （2）]2
ln )ln ([22ln ln 22)(222
2
2
2
x
x a x x a a x x a ax x x F ++
+-=++--=， 令2
ln )ln ()(222
x x a x x a a P +++-=，则111]
4
)ln (4)ln ()2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2
222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥+-+-=+++-+-=.
令x x x Q ln )(-=，则x x x x Q 1
11)('-=-=，显然)(x Q 在区间)1,0(上单调递减，在区间),1[+∞上单调递增，
则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故2
1
412)(=⨯≥x F .
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数()x F ,通过观察()x F 的解析式的形式,能够想到解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于4
1
即可,从而对新函数求导判单调性求出最值证得成立.
22．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t
y ＝1＋sin t
（t 为参数）得
x 2＋（y －1）2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程， 由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程． （2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α| ＝4|sin （α＋π
3
）|，α∈[0，π），
由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝1
2，
∴α＝π2或α＝5π
6
.
当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，
此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6
（x ＜0），
即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝3
2
，
∴△ABC 2的面积为S ＝1
2
|AB |·d
＝12×2×32＝32
. 即△ABC 2的面积为3
2
.
23．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()21'ax f x x -=
，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a ⎛⎫
+<
⎪+⎝⎭
，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+
-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；
②当0a >时，令()'0f x =，得1
x =
综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，，，
所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，
，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以1e x a
a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭
．
24．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤
、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出
其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增. （2）由345a b a b ++<
得7b
a
<，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤
--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
，由0b a e -+≤得 3,5b b e
e e a a e
≥∴≤≤
-.
②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
52?2230553e b b
a b e e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<.。