2013年广东高考理科数学试题及答案解析(图片版)

2013年广东高考理科数学
试题与答案解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．〔本小题满分12分〕
[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；
(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 因为3cos 5θ=
,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-
,227
cos 2cos sin 25
θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
cos2sin 2θθ=-72417
252525
⎛⎫=---=
⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕
[解析](Ⅰ) 样本均值为171920212530132
2266+++++==；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为
21
63
=,故推断该车间12名工人中有1
1243
⨯=名优秀工人.
向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则
()
P A=
11
48
2
12
C C
C 16
33
=.
18．〔本小题满分14分〕
[解析](Ⅰ) 在图1中,
易得3,
OC AC AD
===
连结,
OD OE,在OCD
∆中,由余弦定理可得
OD==
由翻折不变性可知A D'=,
所以222
A O OD A D
''
+=,所以A O OD
'⊥,
理可证A O OE
'⊥, 又OD OE O
=,所以A O'⊥平面BCDE.
(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD
⊥交CD的延长线于H,连结A H',
因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD
'⊥,
所以A HO
'
∠为二面角A CD B
'--的平面角.
结合图1可知,H为AC中点,故
2
OH=,从而
2
A H'==
所以cos
5
OH
A HO
A H
'
∠==
'
,所以二面角A'的平面角的余弦值为.
向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-
则()
0,0,3
A',()
0,3,0
C-,()
1,2,0
D-
所以(
CA'=,(1,
DA'=-
设()
,,
n x y z
=为平面A CD
'的法向量,则
n CA
n DA
⎧'
⋅=
⎪
⎨
'
⋅=
⎪⎩
,即
30
20
y
x y
⎧=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
,解得
y
z
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
,令1
x=,得(1,1,
n=-
由(Ⅰ) 知,()
0,0,3
OA'=为平面CDB的一个法向量,
所以3
cos,
3
n OA
n OA
n OA
'
⋅
'==
⋅
'
即二面角A CD B
'--
19．〔本小题满分14分〕
[解析](Ⅰ) 依题意,
12
12
21
33
S a
=---,又111
S a
==,所以
2
4
a=；
(Ⅱ) 当2
n≥时,32
1
12
2
33
n n
S na n n n
+
=---,
()()()()
32
1
12
21111
33
n n
S n a n n n
-
=-------
两式相减得()()()
2
1
12
2133121
33
n n n
a na n a n n n
+
=----+---
整理得()()
1
11
n n
n a na n n
+
+=-+,即11
1
n n
a a
n n
+-=
+
,又211
21
a a
-=
故数列n
a
n
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是首项为11
1
a
=,公差为1的等差数列,
所以
()111n a n n n
=+-⨯=,所以2
n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714
a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；
当3n ≥时,()21111111n a n n n n n
=<=---,此时
222121111111111111
111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171
71424
4n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174
n a a a +++<.
20．〔本小题满分14分〕
[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,2
=
0c >,
解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为2
4x y =,即214y x =
,求导得12
y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中22
1212,44x x y y ==
),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212
x , 所以切线PA 的方程为()1
112
x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立方程002220
4x x y y x y
--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2
120y y y =
所以()2
2
1212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+
又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝
⎭ 所以当012
y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为
9
2
. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令f'(x )=0,得
0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:
f (x ) 极大值
极小值
右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,
令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,
所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈
所以当()()
0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()(
)
ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；
所以()(){}(){}3
max 0,max 1,1k
M f f k k e k ==--- 令()()3
11k
h k k e k =--+,则()()3k
h k k e k '=-,
令()3k
k e k ϕ=-,则()330k
k e e ϕ'=-<-<
所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-
+> ⎪⎝⎭
,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.
综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()3
1k
M k e k =--.。