2020版高考数学一轮复习课时规范练30等比数列及其前n项和理北师大版

课时规范练30 等比数列及其前n项和
基础巩固组
1.(2018北京师大附中期中)在等比数列{a n}中,a1=3,a1+a2+a3=9,则a4+a5+a6等于()
A.9
B.72
C.9或72
D.9或-72
2.(2018湖南岳阳一中期末)等比数列{a n}中,a n a n+1=4n-1,则数列{a n}的公比为()
A.2或-2
B.4
C.2
D.
3.(2018黑龙江仿真模拟十一)等比数列{a n}中,a n>0,a1+a2=6,a3=8,则a6=()
A.64
B.128
C.256
D.512
4.在公比为正数的等比数列{a n}中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()
A.21
B.42
C.135
D.170
5.(2018重庆梁平二调)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题;“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是;一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
6.(2018衡水中学仿真,6)已知数列{a n}为等比数列,且a2a3a4=-=-64,则tan·π=()
A.-
B.
C.±
D. -
7.(2018陕西咸阳三模)已知数列{a n}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为.
8.( 2018全国3,文17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.
9.(2018北京城六区一模)已知等比数列{a n}满足以a1=1,a5=a2.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)试判断是否存在正整数n,使得{a n}的前n项和S n为?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
综合提升组
10.(2018全国1,理14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .
11.已知数列{a n}的前n项和为S n,对任意的正整数n,都有S n=a n+n-3成立.
求证;存在实数λ,使得数列{a n+λ}为等比数列.
12.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求{b n}的前n项和.
创新应用组
13.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则()
A.a1<a3,a2<a4
B.a1>a3,a2<a4
C.a1<a3,a2>a4
D.a1>a3,a2>a4
14.我们把满足n+1=n-的数列{n}叫做牛顿数列.已知函数f()=2-1,数列{n}为牛顿数列,设a n=ln,已知a1=2,则a3= .
参考答案
课时规范练30 等比数列及其前n项和
1.D设等比数列{a n}的公比为q,∵a1=3,a1+a2+a3=9,∴3+3q+3q2=9,解得q=1或q=-2,当q=1时,a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=9.当q=-2时,a4+a5+a6=-72,故选D.
2. C设等比数列{a n}的公比为q,∵a n a n+1=4n-1>0,∴a n+1a n+2=4n且q>0,两式相除可得==4,即q2=4,∴q=2,故选C.
3.A由题意结合等比数列的通项公式可得
解得则a6=a1q5=2×25=64.
4.D(方法一)S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.
(方法二)q2==4,
又q>0,∴q=2,
∴a1(1+q)=a1(1+2)=2,
∴a1=,
∴S8==170.
5.B设塔的顶层共有盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得=3,故选B.
6.A依题意,得a2a3a4==-64,所以a3=-4.由=64,得a7=-8,或a7=8(由于a7与a3同号,故舍去),所以
a4a6=a3a7=32.tan·π=tan·π=tan11π-=-tan=-,故选A.
7. ∵{a n}是等比数列,∴a3a11+2=+2=4π,即=,∴a1a13==,tan(a1a13)=tan=.
8.解 (1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.
(2)若a n=(-2)n-1,则S n=.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
9.解 (1)设{a n}的公比为q,∵a5=a2,且a5=a2q3,
∴q3=,得q=,
∴a n=a1q n-1=(n=1,2,…).
(2)不存在n,使得{a n}的前n项和S n为,
∵a1=1,q=,
∴S n==21-.
(方法一)令S n=,则21-=,得2n=-4,该方程无解,
∴不存在n,使得{a n}的前n项和S n为.
(方法二)∵对任意n∈N+,有1-<1,
∴S n=21-<2,
∴不存在n,使{a n}的前n项和S n为.
10.-63∵S n=2a n+1,①
∴S n-1=2a n-1+1(n≥2).②
①-②,得a n=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1(n≥2).
又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6==-63.
11.证明∵S n=a n+n-3, ①
∴当n=1时,S1=a1+1-3,所以a1=4.
当n≥2时,S n-1=a n-1+n-1-3, ②
由①②两式相减得a n=a n-a n-1+1,即a n=3a n-1-2(n≥2).
变形得a n-1=3(a n-1-1),而a1-1=3,
∴数列{a n-1}是首项为3,公比为3的等比数列,
∴存在实数λ=-1,使得数列{a n-1}为等比数列.
12.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2.
所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.
(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n,得b n+1=,因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.
记{b n}的前n项和为S n,则S n==-.
13.B设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3+a4=,a1+a2+a3=.
∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),
∴a1+a2+a3=,
即a1(1+q+q2)=.
又a1>1,∴q<0.
假设1+q+q2>1,即q+q2>0,解得q<-1(q>0舍去).
由a1>1,可知a1(1+q+q2)>1,
∴a1(1+q+q2+q3)>0,即1+q+q2+q3>0,
即(1+q)+q2(1+q)>0,
即(1+q)(1+q2)>0,这与q<-1相矛盾.
∴1+q+q2<1,即-1<q<0.∴a1>a3,a2<a4.
14.8由f()=2-1,得f'()=2,则n+1=n-=,
所以n+1-1=,
+1=,
n+1
所以=,
所以ln=ln=2ln,即a n+1=2a n,
所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列,则a3=2×22=8.。